起重机梁沿厚度方向不同分层的比对

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摘要：

文中对于同一结构件，在面板平面网格划分尺寸相同的情况下，沿板厚度方向划分单层网格和多层网格，分别提取同一位置点的强度、刚度结果，并进行横纵向对比，以判断起重机梁在额定载荷、自重、水平惯性载荷等单载荷或组合载荷作用下，沿板厚度方向单层划分计算结果的可参考性。从而减小划分网格的难度和计算的时间成本，使仿真计算过程更简单、高效，既保证了计算结果的安全性，也有助于缩短设计周期。

关键词：

悬臂梁；实体单元；网格；有限元；Midas NFX

对于同一结构件，由理论计算可知，沿板厚网格划分越细，计算结果越精确，但对于大型结构来说，模型复杂、部件较多，沿板厚方向细化网格工作量极大。目前大部分采用三维设计，将三维模型导入有限元分析软件，可采用实体单元计算或板壳单元计算，但板壳单元需要将三维模型提取板面，也要耗费大量时间修正。

以往的论证都是结构整体细化网格，沿板厚细化的同时也沿板平面细化，导致计算结果既有沿板厚不同网格的影响，也有板平面不同网格的影响，很难确定沿板厚不同网格下计算结果的差别。对于大型结构而言，每块板沿板厚方向都按多层划分网格不太现实，只能沿板厚方向单层划分，沿板平面方向细化，至于该力学模型的求解精度如何，能否满足工程实际要求以及应注意哪些问题等尚无定论。

本文选取典型的薄壁箱形悬臂梁结构作为验证实例，采用大型有限元分析软件Midas NFX，对同一结构、同一块板，沿板厚方向划分单层网格和多层网格分别进行计算，分别提取同一位置处的应力和位移值进行比对。验证在相同条件下，同一块板在同一位置处，对比板厚方向不同网格下的计算值差别，从而确定力学模型的准确性。

1 悬臂梁结构

1.1 几何模型

某悬臂梁长5m，悬臂端受压3t，另一端固定在运行小车上。整体结构采用实体单元建模、板间焊接接触处理，可保证网格沿厚度方向划分网格，如图1所示。

以悬臂梁上盖板为研究对象，间距500mm为提取点，共计提取10个点的计算结果，具体位置如图2 所示。

1.2 基本假设

1）连续性假设悬臂梁各板结构密室无空隙，可在任一点处截取一体积单元进行研究，且满足几何相容条件。

2）均匀性假设任一体积单元的力学性能都能代表整个物体的力学性能。

3）各向同性假设材料沿各个方向的力学性能是相同的。

1.3 有限元模型

有限元法是将连续的求解划分为一系列小的单元，在每个单元内部选择一个或多个插值函数近似表示为未知函数。根据物理问题的性质建立偏微分方程或积分方程，并将其应用于每个单元，将物理问题的边界条件和初始条件转化为对单元节点上未知量的约束。所有单元上的方程组合成一个大型的线性或非线性方程组，并求解该方程组得到节点的未知量，最后根据求解结果进行必要的后处理。在仿真分析时，对于实体模型，因四面体网格精度太差，二阶六面体网格的计算量明显大于一阶六面体网格，耗时长且精度没有显著提高，一般选择一阶六面体或二阶四面体网格。

一阶四面体单元有4 个节点，试函数最多取4 项；二阶四面体单元有10 个节点，试函数最多取10 项；一阶六面体单元有8 个节点，试函数最多取8 项；二阶六面体单元有20 个节点，试函数最多取20 项；试函数项数越多，可以更精确地捕捉单元内部位移、应变和应力的变化情况，故项数越多精度越高。理论上而言，计算精度排序为：二阶六面体单元＞二阶四面体单元＞一阶六面体单元＞一阶四面体单元，但本次计算的重点为板厚方向不同网格的计算差别，因此只考虑一阶六面体单元下的计算结果对比，而对于实际工程需要则选用相应的计算单元。

影响有限元解的误差包括：

1）离散误差边界上以直线代替曲线导致离散化模型与实际物体的差异，细化网格是解决离散误差的有效方法，因此，离散化的基本要求是在网格划分时相邻单元应尽可能大小接近，以免出现刚度矩阵总装时大数与小数相加减等，导致精度损失较大；

2）位移函数误差一般情况下单元位移函数不可能与实际单元的位移场一致，解决此问题采用高次位移函数，它能更好地逼近结构的边界曲线或曲面，且阶次越高，精度越高，收敛速度也越快；

3）计算机计算误差由于计算机字长的限制、相差悬殊的数值加减运算产生。

本次计算采用实体单元，为保证沿板厚方向能绝对分层，各板间采用焊接接触绑定处理。以悬臂梁上盖板为研究对象，上盖板全部为六面体单元。六面体单元为3D8 节点，每个节点有3 个自由度，即沿节点坐标系X、Y 和Z 方向的平动位移；积分点为2×2×2，积分方式为杂交，对受弯结构使用混合法或减次积分法的单元性能更卓越，本文中单元处理方法为混合法。

为保证层间应力的连续性，层 j 在层坐标系下的应力-应变关系表达式为

悬臂梁上盖板厚为12mm，沿厚度分别平均划分为单层、2 层、3 层、4 层、6 层共5个有限元模型；为保证上盖板均匀分层，上盖板采用2D-3D 映射方式划分网格。综合考虑精度及计算量，悬臂梁沿面板平面划分尺寸为50 mm×50 mm，上盖板采用一阶六面体网格，其余板以一阶六面体网格为主，一阶四面体网格为辅的方式将几何模型转化为有限元模型。

有限元积分方法有高斯积分和减缩积分。高斯积分是将每个单元内部积分区域划分为一系列高斯积分点，然后根据高斯积分点的权重和位置，对积分表达式进行数值近似，通过对所有高斯积分点的贡献进行累加，可以得到单元上的刚度矩阵和荷载向量的近似值。减缩积分是一种在有限元分析中用于减少计算量和存储需求的技术，它采用了较少的高斯积分点近似计算单元的刚度矩阵，传统的高斯积分在每个单元上使用一组完整的高斯积分点，可能会导致计算量过大，尤其是对于高阶元素或复杂几何形状的单元。减缩积分的核心思想是通过在单元内部使用较少的高斯积分点以较少计算量，同时尽可能保持良好的数值稳定性。

常规的有限元分析软件单元类型众多，对于不同的计算结构及需求，需要选用不同的单元，想要精准选取单元难度较大；对于结构局部不规则位置必须人为干预进行细化操作，且和其他软件建立的三维模型的兼容性也面临问题。为避免此类问题，本文采用Midas NFX 软件，此软件为仅有的全中文界面，前处理功能中建立三维模型的操作简单，具有一系列网格生成功能，且能自动优化网格，便于生成可直接应用于分析的优质网格。对于异形结构，可人为局部细化，也可软件自动调整。此外，还提供更多的结构分析功能，如拓扑优化分析、模态分析、非线性分析、疲劳分析、振动分析等。其高性能的并行多波求解器和代数多重网格求解器AMG（Algebraic Multigrid），实现大幅度分析时间的目的，且提供高度可靠的分析结果，计算平台默认采用2种积分混合的方式平衡计算量及数值稳定性。

midas NFX 软件平台中方程求解方式有自动、多波前、稠密和AMG。计算时一般选取自动求解，软件根据计算需求，自动寻优，匹配最佳方程求解方式，从而减少了繁琐复杂的理论知识，也使操作更加方便、人性化。

1.4 约束及加载

筛选合适的对比工况至关重要，弯曲载荷工况中沿厚度方向的应力变化模式与扭转工况中沿径向的应力变化模式具有相似性，即变化更显著，梯度更大。相比之下，虽然扭转工况截面应力变化也复杂，但弯曲工况因其典型的沿长度方向的变形模式和内力分布特点（包含常规的弯曲、拉伸、剪切和扭转效应），其应力状态更具综合性。因此，将弯曲载荷作为典型受载进行网格收敛性对比更为合适，即如果弯曲工况下网格能够满足精度要求，理论上也能更好地适用于其他工况。

本次计算选用典型的薄壁箱形悬臂梁结构，一端固定在小车架上，由于结构整体选用实体单元，而实体单元只有位移自由度，故约束方式选用悬臂梁端部面板3个方向位移自由度全约束。

载荷组合说明如下：

载荷组合1，竖向载荷P；

载荷组合2，结构自重G+ 竖向载荷P+ 水平惯性载荷（由小车加速度决定）；其中竖向载荷P=3t。

2 有限元计算结果

2.1 载荷组合1

悬臂梁上盖板除厚度外沿板平面方向划分网格为50mm×50mm，载荷组合1 沿板厚度方向划分不同层数的计算应力值及竖向位移值，如表1、表2 和图8 所示。

由载荷组合1 计算应力对比结果可知：在约束、载荷、板平面方向网格等条件相同的情况下，悬臂梁上盖板沿厚度方向划分层数对应力值影响较小；以单层计算值为基础，划分6 层网格、点10 处与单层计算差值最大，最大差比为8.79%，处于突变状态，因此点最靠近加载区，应力计算值只能作为参考，不采纳；其余点各层与单层的差值比都比较小，不超1.5%，如表3 所示。

由竖向位移对比结果可知：在约束、载荷、板平面方向网格等条件相同的情况下，沿厚度方向划分层数对应力值影响较小；以单层计算值为基础，划分6 层网格、点1 处与单层计算差值最大，最大差比为1.05%，差值较小，如表4所示。

2.2 载荷组合2

悬臂梁上盖板除厚度外沿平面划分网格为50mm×50mm，载荷组合2沿厚度划分不同层数的计算应力值及总位移值，如表5、表6、图9 所示。

由载荷组合2 计算应力对比结果可知：在约束、载荷、板平面方向网格等条件相同的情况下，悬臂梁上盖板沿厚度方向划分层数对应力值影响较小；以单层计算值为基础，划分6 层网格、点10 处与单层计算差值最大，最大差比为8.76%，处于突变状态，因此点最靠近加载区，应力计算值只能作为参考，不能采纳；其余点各层与单层的差值比都较小，不超1.5%，如表7 所示。