Abaqus与应力应变量(3)-应力张量不变量

1. 应力张量不变量

求解主应力的行列式为

将式 (2.6) 展开得

其中，应力张量不变量定义为：

第一不变量：

第二不变量：

第三不变量：

在确定某一点的应力状态后，该点唯一对应 3 个主应力     ，它们的大小和方向不随坐标系的变换而变化。同理，三个不变量     、    、      也与坐标系的选择无关，是应力张量的固有属性。

由上式可知，第一不变量      是应力张量      的迹；第二不变量      是应力张量的迹的平方减去应力张量元素平方的和；第三不变量      是应力张量的行列式。

用主应力      表示时，应力张量不变量的计算公式可简化为：

2. 应用

在弹塑性力学中，确定材料的屈服面是区分弹性区和塑性区的关键，即需要判断应力水平何时从弹性进入塑性状态。对于简单的单向拉压实验，可以直接通过单一的应力分量（如拉应力或压应力）来判定。然而在复杂应力状态中，需同时考虑六个应力分量，这些组合的可能性几乎无穷无尽，因此无法通过逐一实验来全面判断其屈服条件，且这样做也并无必要。此时，问题的核心在于找到与坐标系无关且能合理反映应力水平的量，这就引出了应力张量不变量的应用价值。不变量不仅能客观描述材料的应力状态，还能作为判断屈服条件的基础。

3. Abaqus 应力张量不变量输出

应力张量不变量本质上是应力张量的数学组合，而非独立的物理量。因此在 Abaqus 中：

• 第一不变量        常用于材料损伤或岩土模型（如 Drucker-Prager 相关模型），因此具有默认的输出选项。

• 第二不变量        和第三不变量        使用频率较低，并未提供直接的预设输出。

第一不变量      可以通过 Abaqus 的压力 (Pressure) 输出结果调整后获得，其计算关系如下：

来源：仿真技术汇