1. 概述 帖子给出了一维弹塑性分析程序，基于弹塑性力学理论和有限元方法，采用隐式算法（Newton-Raphson 迭代法）求解非线性方程组。1. 弹塑性力学基本理论1.1 应力 - 应变关系弹性阶段：应力与应变满足胡克定律 其中， 是应力， 是弹性模量， 是弹性应变。弹塑性阶段：总应变分解为弹性应变和塑性应变 其中， 是总应变， 是塑性应变。1.2 屈服准则 采用 von Mises 屈服准则（适用于金属材料）： 其中， 是屈服应力。当 时，材料进入塑性状态。1.3 硬化模型 采用线性硬化模型，屈服应力随塑性应变增加： 其中， 是初始屈服应力， 是硬化模量。2. 隐式算法（Newton-Raphson 迭代法）2.1 非线性方程组求解 弹塑性问题的平衡方程是非线性的，需迭代求解： 其中， 是内力向量， 是外力向量， 是位移向量。2.2 迭代过程假设当前位移 ，计算残差力： 计算切线刚度矩阵 。求解位移增量方程： 更新位移： 重复上述步骤直到残差 小于容差。3. 有限元离散化3.1 单元划分 将一维杆划分为 个单元，每个单元有 2 个节点。单元内的位移采用线性插值： 其中， 和 是形函数， 和 是节点位移。3.2 应变计算 单元应变与节点位移的关系： 其中， 是应变矩阵， 是单元节点位移向量。4. 应力更新算法4.1 弹性预测 - 塑性修正弹性预测：假设当前增量步为弹性，计算弹性应力试值： 屈服检查：计算屈服函数 。塑性修正：若 ，通过塑性乘子 修正应力： 4.2 切线模量 塑性状态下的切线模量： 用于构建刚度矩阵，保证迭代收敛。5. 边界条件处理5.1 位移边界条件 程序中采用固定 - 自由边界：左端节点（节点 1）固定： 右端节点（节点 ）施加位移： 通过修改刚度矩阵和力向量实现：将对应行和列清零，对角线元素设为 1。力向量对应位置设为指定位移值。6. 收敛性控制 采用双重收敛判据：残差力范数： 位移增量范数： 若超过最大迭代次数仍未收敛，则认为计算失败。7.程序 下面是matlab版本的程序。%% 一维弹塑性分析程序 - 隐式算法求解clear all; close all; clc;%% 材料参数E = 200e3; % 弹性模量 (MPa)sigma_y0 = 250; % 初始屈服应力 (MPa)H = 10e3; % 硬化模量 (MPa)nu = 0.3; % 泊松比%% 几何和网格参数L = 1.0; % 杆长度 (m)num_elements = 10; % 单元数量num_nodes = num_elements + 1; % 节点数量dx = L / num_elements; % 单元长度%% 载荷和求解控制参数max_disp = 0.02 * L; % 最大位移 (m)num_steps = 50; % 载荷步数tolerance = 1e-6; % 收敛容差max_iter = 20; % 最大迭代次数%% 初始化% 节点位移、速度和加速度u = zeros(num_nodes, 1);v = zeros(num_nodes, 1);a = zeros(num_nodes, 1);% 单元应力、应变和塑性应变sigma = zeros(num_elements, 1);epsilon = zeros(num_elements, 1);epsilon_p = zeros(num_elements, 1);% 存储结果results.u = zeros(num_nodes, num_steps+1);results.sigma = zeros(num_elements, num_steps+1);results.epsilon = zeros(num_elements, num_steps+1);results.epsilon_p = zeros(num_elements, num_steps+1);results.time = zeros(1, num_steps+1);% 记录初始状态results.u(:, 1) = u;results.sigma(:, 1) = sigma;results.epsilon(:, 1) = epsilon;results.epsilon_p(:, 1) = epsilon_p;results.time(1) = 0;%% 主循环 - 隐式增量求解for step = 1:num_steps % 当前载荷步的目标位移 target_disp = max_disp * step / num_steps; % 位移边界条件 - 右端施加位移，左端固定 bc_nodes = [1, num_nodes]; % 边界节点 bc_values = [0, target_disp]; % 边界值 % 牛顿迭代求解 converged = false; iter = 0; u_prev = u; while ~converged && iter < max_iter iter = iter + 1; % 计算单元应变 for e = 1:num_elements % 基于节点位移计算单元应变 (线性插值) epsilon(e) = (u(e+1) - u(e)) / dx; end % 计算残差力向量和切线刚度矩阵 F_int = zeros(num_nodes, 1); % 内力向量 K_tangent = zeros(num_nodes, num_nodes); % 切线刚度矩阵 for e = 1:num_elements % 高斯积分点 (单点积分) xi = 0; % 自然坐标 N = [0.5*(1-xi), 0.5*(1+xi)]; % 形函数 dN_dx = [-1/dx, 1/dx]; % 形函数导数 % 更新应力状态 (返回应力和切线模量) [sigma(e), epsilon_p(e), D_tangent] = update_stress(epsilon(e), epsilon_p(e), sigma(e), E, sigma_y0, H); % 单元刚度矩阵和内力向量 K_e = D_tangent * dx * [1, -1; -1, 1]; % 单元刚度 F_e = sigma(e) * dx * [1; -1]; % 单元内力 % 组装全局刚度矩阵和内力向量 indices = [e, e+1]; F_int(indices) = F_int(indices) + F_e; K_tangent(indices, indices) = K_tangent(indices, indices) + K_e; end % 应用位移边界条件 [K_tangent, F_int] = apply_bc(K_tangent, F_int, bc_nodes, bc_values); % 计算位移增量 du = -K_tangent \ F_int; % 更新位移 u = u_prev + du; % 检查收敛性 residual_norm = norm(F_int); disp_norm = norm(du); if residual_norm < tolerance && disp_norm < tolerance converged = true; fprintf('载荷步 %d, 迭代 %d: 收敛成功 (残差 = %e, 位移增量 = %e)\n', step, iter, residual_norm, disp_norm); else fprintf('载荷步 %d, 迭代 %d: 残差 = %e, 位移增量 = %e\n', step, iter, residual_norm, disp_norm); end % 更新上一步位移 u_prev = u; end % 记录当前载荷步结果 results.u(:, step+1) = u; results.sigma(:, step+1) = sigma; results.epsilon(:, step+1) = epsilon; results.epsilon_p(:, step+1) = epsilon_p; results.time(step+1) = step / num_steps; % 检查是否收敛 if ~converged warning('载荷步 %d 未收敛！', step); endend%% 可视化结果visualize_results(results, E, sigma_y0, H);%% 应力更新函数function [sigma_new, epsilon_p_new, D_tangent] = update_stress(epsilon, epsilon_p_old, sigma_old, E, sigma_y0, H) % 弹性应变 = 总应变 - 塑性应变 epsilon_e = epsilon - epsilon_p_old; % 计算弹性应力预测 sigma_trial = sigma_old + E * epsilon_e; % 检查是否屈服 sigma_y = sigma_y0 + H * epsilon_p_old; % 考虑硬化的屈服应力 f = abs(sigma_trial) - sigma_y; % 屈服函数 if f <= 0 % 弹性状态 sigma_new = sigma_trial; epsilon_p_new = epsilon_p_old; D_tangent = E; % 弹性切线模量 else % 塑性状态 - 需要迭代求解 delta_gamma = f / (E + H); % 塑性乘子 sigma_new = sigma_trial - sign(sigma_trial) * E * delta_gamma; epsilon_p_new = epsilon_p_old + sign(sigma_trial) * delta_gamma; D_tangent = E * H / (E + H); % 塑性切线模量 endend%% 施加边界条件函数function [K_modified, F_modified] = apply_bc(K, F, bc_nodes, bc_values) % 修改刚度矩阵和力向量以应用位移边界条件 K_modified = K; F_modified = F; for i = 1:length(bc_nodes) node = bc_nodes(i); value = bc_values(i); % 修改刚度矩阵 K_modified(node, :) = 0; K_modified(:, node) = 0; K_modified(node, node) = 1; % 修改力向量 F_modified(node) = value; endend%% 结果可视化函数function visualize_results(results, E, sigma_y0, H) % 提取结果 num_steps = length(results.time) - 1; num_elements = size(results.sigma, 1); % 计算平均应力-应变曲线 avg_strain = zeros(1, num_steps+1); avg_stress = zeros(1, num_steps+1); avg_epsilon_p = zeros(1, num_steps+1); for i = 1:num_steps+1 avg_strain(i) = mean(results.epsilon(:, i)); avg_stress(i) = mean(results.sigma(:, i)); avg_epsilon_p(i) = mean(results.epsilon_p(:, i)); end % 创建图形 figure('Position', [100, 100, 1000, 800]); % 绘制应力-应变曲线 subplot(2, 2, 1); plot(avg_strain, avg_stress, 'b-', 'LineWidth', 2); hold on; % 绘制弹性极限 elastic_limit = sigma_y0 / E; plot([0, elastic_limit], [0, sigma_y0], 'r--', 'LineWidth', 1.5); grid on; xlabel('应变'); ylabel('应力 (MPa)'); title('应力-应变曲线'); % 绘制塑性应变发展 subplot(2, 2, 2); plot(results.time, avg_epsilon_p, 'r-', 'LineWidth', 2); grid on; xlabel('加载步'); ylabel('塑性应变'); title('塑性应变发展'); % 绘制最终应力分布 subplot(2, 2, 3); x_pos = linspace(0, 1, num_elements); plot(x_pos, results.sigma(:, end), 'g-', 'LineWidth', 2); grid on; xlabel('位置'); ylabel('应力 (MPa)'); title('最终应力分布'); % 绘制应力-塑性应变曲线 subplot(2, 2, 4); plot(avg_epsilon_p, avg_stress, 'm-', 'LineWidth', 2); grid on; xlabel('塑性应变'); ylabel('应力 (MPa)'); title('应力-塑性应变关系'); % 显示材料参数 sgtitle(sprintf('材料参数: E = %.1f GPa, σ_y0 = %.1f MPa, H = %.1f GPa', E/1e3, sigma_y0, H/1e3));end 总结 该程序通过有限元方法将一维杆离散为多个单元，采用隐式 Newton-Raphson 迭代法求解非线性方程组。在每个载荷步内，使用弹性预测 - 塑性修正算法更新应力状态，并考虑材料硬化效应。通过合理处理边界条件和收敛性控制，确保计算结果的准确性和稳定性。来源：有限元先生
