波数 k 是描述波动传播特性的核心物理量。其物理意义有:描述波的空间周期性,通过复数形式区分波的传播(实部)和衰减(虚部)。与其他相关物理量共同构建波动的基本理论框架。理解波数 k 的实部与虚部差异,是分析表面导波、倏逝波、损耗介质中波传播等问题的关键。
As shown below👇
波数和波矢
在上式,λ是工作波长,f是频率,c是给定介质中的光速。
波数k在天线理论和物理学中无处不在。对于自由空间中的计算,它基本上是表示频率的另一种方式。
由于介电常数或介电常数大于1的介电材料或磁导率大于1的材料的波长较小,波数简洁地表示了传播平面波的相位变化,以弧度/米为单位,2*PI弧度是所有介质中的一个完整周期。
因此,波数也可以写成:
k=2πf*sqrt(μ*ε)=2πf*sqrt(μr*εr*μ0*ε0)
对于波在球坐标描述的方向上的传播,波矢量k由下式给出:
波矢的 x 分量决定了相位的变化率 沿 +x 方向传播的平面波。
相同的定义适用于 y和 z 方向。
波矢是平面波的一个属性。平面波的相位变化始终为 2π。
因此,波矢与波数的幅度大小相等,有
如果kx=2π/λ,那么其他两个方向的分量必须为0.
在传播中的意义
在波动方程的解中(如行波),波数 k 与空间相位的变化直接相关。
例如,一维平面波的表达式为:
传播方向:若波沿+x方向传播,相位项为(kx - ωt);若沿―x方向,则为(kx + ωt)。
空间周期性:kx决定了波在空间中的相位分布。当x增加λ时,相位变化2π。
波数k与w以及波速v满足色散关系:
v=w/k
均匀非色散介质中:w=vk,波速恒定。
色散介质中:w与k非线性相关,导致不同频率的波的传播速度不同。
当波数k为复数时,即k=k实+jk虚,那么
实部:控制波的相位传播,与波长有关。
虚部:控制波的振幅衰减(指数衰减),如
损耗介质(如导电介质中的电磁波):振幅随传播距离衰减(趋肤效应)。
倏逝波(Evanescent Wave):波在垂直于传播方向(如界面法线方向)上指数衰减,无法远距离传播。
在不同类型波中
表面导波(如表面等离子激元波):k通常为实数或复数的实部主导,波沿界面传播,能量集中在表面附近。
倏逝波(如全反射时的隐失场):k 的垂直分量(如 kz)为纯虚数,导致波在垂直方向上迅速衰减。
波导中的模式:k的实部决定传播速度,虚部可能对应模式损耗(如金属波导的导体损耗)。
[1] D. M. Pozar, 微波工程, 第三版. 北京: 电子工业出版社, 2015.
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