02.显式分析和隐式分析
在工程仿真和科学计算领域经常需要用到计算机辅助计算，也就是我们常说的CAE仿真分析；CAE求解方法一般有两种，分别为显式计算（Explicit）和隐式计算（Implicit）。
显式求解算法基于动力学方程，当前时刻的位移只与前一时刻的速度和位移相关，求解过程中无需迭代；而隐式求解基于虚功原理，一般需要进行迭代计算。
本文着重讲解显式和隐式的基本原理和区别。
一、显式和隐式的区别
显式和隐式对比
【1】时间增量
显式求解：原理是中心差分法对时间积分，当前时刻的位移只与前一时刻的速度和位移相关，求解过程中无需迭代；时间增量小。
显式原理和步长
隐式求解：基于虚功原理，一个分析步分成第一个增量步，每个增量步需要进行需迭代计算；时间增量大。
隐式式原理和步长
【2】稳定性
显式求解：显式求解基于上一步求解结果，会导致模型存在加速度，动能一直在波动，但由于恒力的存在，最终会趋于恒定；有条件稳定。
显示分析
隐式求解：对平衡方程进行迭代求解，直接求解得最终稳定状态，无过程振动，动能为0；无条件稳定。
隐式分析
【3】方法应用
方法应用
二、显式分析原理
【1】基本原理
显式求解采用中心差分法对时间进行积分，当前时刻的位移根据前一时刻的速度和位移求得；在已知0，……，tn时间步解的情况下，求解tn+1时间步的解。
在时间段开始时，程序求解动力平衡方程，即用节点质量矩阵M乘以加点加速度ü，等于节点的合力（外力p与单元内力I之间的差）：
在当前时间段开始时（t时刻）的加速度用下面公式求解：
因为显式算法常采用一个对角的、或者块状的质量矩阵，所以求解加速度是不麻烦的，不必同时求解联立方程。任何节点的加速度完全取决于节点质量和作用在节点上的力，致使节点计算成本很低。
加速度是由中心差分法的时间积分得到的，即假定加速度为常数以求得速度的变化，用这个速度的变化值加上前一个时间段中点的速度来确定当前时间段的中点速度：
速度沿时间积分的结果加上此时间段开始时的位移，确定了时间段结束时的位移,如下：
这样，在时间段开始时，提供了满足动力学平衡条件的加速度。知道了加速度，通过对时间的“显式"求解，可以进一步求出速度和位移。所谓“显式"是指时间段结束时的状态仅取决于此时间段开始时的位移、速度和加速度。此方法精确积分常值加速度。为了应用该方法产生更精确的结果，时间增量段必须分得足够的小以保证加速度在时间段中近似为常数。由于时间增量段必须很小，因此，一般的分析需要成千上万个时间段。幸运的是，由于不必同时求解联立方程，每一个增量计算成本较低。大部分的计算机资源消耗于计算确定作用在节点上的单元内力。单元计算包括确定单元应变和应用材料本构关系（单元刚度）确定单元应力，然后计算内力。
【2】显式算法过程
显式求解过程
1.节点计算
a.动力平衡方程
b.对时间显式积分
2.单元计算
a.根据应变速率ε'，计算单元应变增量dε。
b.根据本构关系计算应力δ。
c.汇集节点内力I(t + △t) 。
3.设置 t + △t 为t，返回到步骤1。
【3】稳定性
基于时间段开始时刻t的模型状态，应用显式方法求解，模型的状态通过时间的增量 △t发生变化。状态能够发生变化而且要保留对问题的精确描述，一般的时间增量非常短。
如果时间增量比最大的时间增量长，此时间增量就是所谓超出了稳定极限。超过稳定极限的可能后果就是数值不稳定，会导致解答不收敛。
稳定极限：
稳定极限是依据系统的最高频率（ωmax)来定义的。
无阻尼时稳定极限定义：
有阻尼时稳定极限定义：
ξ是具有最高频率的模型的临界阻尼比，为了控制高频振动，阻尼通常是减小稳定极限的。
基于一个个单元的估算，稳定极限可以用单元长度0和材料波速Cd重新定义：
波速：
其中E是扬氏模量，p是密度。材料的刚度越大，波速越高，结果是稳定极限越小。密度越高，波速越低，结果是稳定极限越大。
三、隐式分析原理
【1】基本原理
隐式分析最常见的原理式牛顿-拉普什法；Newton-Raphson（N-R）迭代法主要以分步逼近的方法计算，在每一增量步中，采用已得到的位移值带入并求得与位移有关的切线刚度矩阵的值，再进行线性计算，反复调整计算的载荷值与设定载荷值的差进行迭代，使其达到设定的精度。
求解过程
求解过程中需要将分析步分成多个增量步，每个增量步需要经过几次迭代才能获得满足给定容许误差的解答。每次Newton迭代都会得到对于位移增量du,的修正值每次迭代需要求解的一组瞬时方程为：
求解刚度矩阵
有效刚度矩阵K,是关于本次迭代的切向刚度矩阵和质量矩阵的线性组合。其迭代过程：
迭代过程
