多物理有限元仿真入门-电热弱耦合
简述
多物理场仿真是一种综合考虑多种物理场相互作用的数值模拟方法，旨在更准确地反映实际物理现象。在许多复杂系统中，单一物理场的模拟往往无法全面反映真实情况，因为多种物理场之间存在相互耦合和影响。
例如，在芯片领域，电场、热场和力学场之间存在的耦合关系。芯片中的电流在介质电阻的作用下会产生焦耳热，焦耳热进一步导致芯片基板温度升高，进而引发热膨胀现象，最终产生应力变形。
多物理场仿真的具体实现是同时或依次求解多种相互影响的物理场的控制方程，并通过物理场之间的耦合关系（即耦合项）将各场的变化联系起来。其中耦合项直接加载入控制方程中称之为强耦合，分布求解各场，通过耦合公式逐次传递信息称之为弱耦合。
本文简要入门介绍多物理仿真的实现机理，并以简单的电热弱耦合作为例子，使用有限元实现整个流程。
1.物理问题与控制方程
二维结构，在模型中心一直存在电压V0,通过该电压有场分布，进而产生焦耳热，焦耳热作为热源，传导到整个模型，导致模型的温度发生变化。
a.电场控制方程，稳态电流传导：
b.稳态热传导方程：
c.电热耦合公式
整个仿真流程：首先通过V0计算电势分布，然后通过电热耦合公式计算得到焦耳热，最后焦耳热作为热源计算稳态热传导方程获得温度分布。
2.有限元推导
从电热的控制方程不难发现，二者均为非常简单的泊松方程，区别仅在于是否有源以及边界条件。因为其有限元方程均可以通过一个公式来描述：
其有限元方程也很容易获得：
对应的单元矩阵推导、系数矩阵组装也如常规的泊松方程一致，这里不再重复介绍，具体参考文章：
3.结果分析
物理模型模型参数：
Lx = 1e-3; Ly = 1e-3; % 模型尺寸 (m)sigma = 1e1; % 电导率 (S/m)k = 150; % 热导率 (W/m·K)V0 = 1; % 施加电压 (V)T0 = 25; % 模型初始温度 (°C)N = 20; % 每边网格数
首先求解电势的泊松方程，得到电势分布：
然后耦合公式获得每个网格的焦耳热分布：
最后根据热分布，获得温度分布：
整个流程完成，可以发现在电压1V情况下，模型的温度会有所升高。
最后
本文介绍了多物理仿真的入门级的内容，其实原理看似不是很复杂。当然对于深入学习，还有更多研究的内容，例如考虑电导率、热源、热导率随时间的变化以及实际复杂三维芯片模型的网格剖分等等。这些内容都对仿真的精度和可靠性都有更高的要求。
但是其本质上都仍然围绕几个经典的方程展开，例如该问题的泊松方程，在处理复杂模型时，虽然材料属性和几何形状会发生变化，但泊松方程仍然是描述该问题的基本数学框架。
博主长期深入实践电磁学领域的有限元技术，感兴趣的朋友可以添加博主公众 号，欢迎共同探讨与有限元相关的技术知识。
