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《Mechanics of Solid Polymers》4.9.1质量守恒

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4.9.1 质量守恒


        本节介绍了质量守恒原理及其在连续介质力学中的应用。讨论基于一个简单的事实:物体的质量由其各部分的质量总和决定。如前所述,我们关注的是一个不与周围环境交换物质的物体。令为物体在时间时的构型,如图 4.9 所示。由于没有物质进入或离开物体,总质量必须保持不变,因此总质量的时间导数为零:

当在参考构型下表达时,可以写成:

其中Ω 是物体在初始时刻的构型。这些方程通过密度在物体的体积上积分以得到总质量。方程 (4.156) 和 (4.157) 是质量守恒的平衡方程。

图 4.9  示意图显示了时间 时的物体构型,物体的边界用∂Ωc表示。

用于描述有限域的平衡定律,可以转化为在每个物质点上都有效的场方程。首先,我们关注方程(4.157),该方程表达了参考构型中质量随时间变化的速率。在这个方程中,域Ω0不随时间变化,因此我们可以将时间导数运算符移到积分号内部:

这个方程对于Ω0的任意子域也必须有效,因此为了使方程始终成立,积分必须恒等于零。因此,

这是参考构型中质量浓度的场方程。类似地,可以从方程(4.156)推导出当前(空间)构型中的质量守恒方程。在这种情况下,体积分是随时间变化的Ωc。因此,我们不能直接将时间导数运算符移到积分号内部。为了简化方程,我们首先进行变量替换,将积分转换回参考构型。具体而言,根据方程(4.9)和(4.79),我们选择变量替换,得到,积分域从Ωc转换为Ω0:

我们现在可以将时间导数运算符移到积分号内部:

由于这个方程对于Ω0的任意子域也必须有效,因此积分项必须恒等于零,从而得到有用的方程:

质量守恒的场方程在当前构型下可以通过应用分部积分法则从方程(4.161)中获得:


通过应用反向变量替换,,这个方程可以转换回当前构型:


从方程(4.135)我们知道由此得到质量守恒的场方程为:


从方程(4.158)和(4.161)我们还得到一个有趣的结果:


        总结起来,平衡方程表达了体积中包含的物理量的时间导数,用于描述其通过边界的通量以及广延量的内源。在这种情况下,常见的固体,我们限制了对封闭系统的关注,质量无法通过边界传递,因此质量通量为零。而在研究流体时,使用开放系统则更为方便,在这种系统中,物质可以通过区域的边界进出。



来源:ABAQUS仿真世界
SolidWorks
著作权归作者所有,欢迎分享,未经许可,不得转载
首次发布时间:2024-11-02
最近编辑:1月前
yunduan082
硕士 | 仿真主任工程... Abaqus仿真世界
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基于Abaqus复合材料层合板分析

Abaqus提供了以不同方式对复合结构进行建模的功能。根据所建模的复合材料的类型、可用的材料数据、边界条件以及所需的结果,特定的方法可能比其他方法效果更好。本博客文章试图总结可用的方法,并重点介绍对复合材料层合板进行建模的特定建模方法。到底什么是复合材料?复合材料在基体材料内嵌入增强材料的宏观混合物。复合结构由复合材料制成,可以有多种形式,如单向纤维复合材料、机织织物或蜂窝结构。Abaqus使用多种不同的方法来为复合材料建模1)微观:在这种方法中,基体和增强体被建模为单独的可变2)宏观:在这种方法中,基体和增强体被当作一块均质材料建模为单独的可变形连续体。当当单根纤维的微观行为及其与基质的相互作用很重要时,不能使用这种方法。3)混合建模:在这种方法中,复合结构被建模为单一正交各向异性(或各向异性)材料。当结构的整体行为比其微观水平的行为更重要时,这一点很重要。单一材料定义(通常是各向异性)足以预测全局行为。复合材料层压板的分析:复合材料层压板由多层制成。每层(也称为帘布层)具有独特的厚度,并且每层中的增强纤维排列方式不同。层板排列形成层压板的顺序称为堆叠顺序。在Abaqus中对此进行建模的最简单方法是使用混合建模方法。这将包括定义每个层的正交各向异性属性、厚度、纤维方向和堆叠顺序,这些反过来又控制其结构行为。通常,层压板的特性是直接从实验或其他应用中获得的。这些属性可以采用A、B、D矩阵的形式,定义层压板的刚度。在这种情况下,宏观方法可用于层压板的结构分析。这种方法本质上可以被认为是宏观的,因为等效的截面属性是在Abaqus截面定义中导出和使用的。也可以说这是一种混合建模方法,因为截面刚度是基于铺层得出的。以下示例展示了如何从铺层信息中导出A、B、D矩阵,并在Abaqus的通用壳截面定义中使用它们。经典层合理论的假设:这里显示的层压复合材料的宏观建模方法基于经典层压理论(CLT)。为了准确实施CLT,需要满足以下假设:•穿过层压板厚度的位移分量是连续的,并且层压板的相邻层之间没有滑移。•每层均处于平面应力状态。•层压板发生变形,使得垂直于中平面的直线在变形后保持笔直并垂直于中平面,并且板的厚度不会因变形而改变例子:复合板由2层环氧树脂中的单向纤维组成(图1)。每层厚度为0.1mm,两层的正交各向异性材料属性如下:这里,方向1是指纵向(沿着纤维),2是指横向(垂直于层板平面中的纤维),3是指垂直于层板的方向。因此,这些方向是层的局部方向。为了使用这种方法,需要知道层的堆叠顺序。本示例中的堆叠顺序为{0/90},这意味着第一层中的纤维的取向方向与第二层中的纤维垂直。令第一层具有沿全局X轴取向的纤维,第二层具有沿全局Y轴取向的纤维。图1假设每层均处于平面应力状态,则所得应力与广义应变相关,使用以下方程:上式中的刚度项与正交各向异性材料的常用工程常数之间存在以下关系:这些是每个层沿主层方向的局部刚度项。由于每层的主方向不同,因此上面为每层计算的局部刚度分量需要旋转到系统(1,2,3),这可以通过坐标系变换来实现,并得出以下关系:因此以上Qij项是沿标准壳基础方向的刚度系数。然后可以根据这些刚度系数和层压板的几何构造来定义等效截面刚度。由以下三个矩阵:这里m,n表示特定的层。因此A/B/D取决于层的材料特性和纤维取向。这些方程中的ℎm和ℎm-1分别表明m层底面和上表面。hm是第m层板底面与层压板中平面的距离。该命名法如下图所示:A/B/D矩阵提供了通用性的层压板刚度,因此具有非常重要的结果。A矩阵是法向矩阵,其项与法向应力和应变相关。B矩阵是耦合矩阵,它将弯曲应变与法向应力以及法向应变与弯曲应力相关联。第三个矩阵称为D矩阵及其项与弯曲应变和应力相关。请注意,横向剪切刚度项也可以根据基础方程计算,但在本示例中被忽略。ABD矩阵计算器:https://abdcomposites.com/这些A、B和D矩阵可以组合并直接用于Abaqus中的通用壳截面定义中:A、B、D矩阵非常重要,因为它们提供了壳截面上的层压板刚度和层压板广义截面之间应变的直接关系。{N}=[D]:{E}此外,这些矩阵可用于确定平面内工程常数,该常数可进一步用于复合材料的结构分析。来源:ABAQUS仿真世界

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