CFDPro水动力仿真 │ NS方程组的衍生派系— 水动力方程组
本文摘要：（由ai生成）
本文回顾了水动力方程的发展，特别是圣维南方程的贡献。水动力方程在水利、海洋和气象等领域广泛应用，如洪水预测、海岸工程等。文章介绍了水动力方程的一维、二维和三维表达形式。中国水利部正推进数字孪生流域建设，水动力模型作为关键模型，对水利现代化和智慧化至关重要。
说起NS方程，大家都知道方程名称中的两位科学家先驱——纳维和斯托克斯。可是还有一名科学家应该被大家知晓，那就是法国科学家圣维南。圣维南全名为Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant，一般用Saint-Venant来代表他。他是十九世纪法国著名的机械师、数学家，主要从事力学、弹性、静水学和流体动力学方面的研究，推导出了非恒定明渠流浅水方程。这个方程也被称为圣维南方程，是现代水利工程中的一组重要方程。圣维南方程是水动力方程一维化形态。圣维南不仅独立的推导出了非恒定明渠流浅水方程，他还在纳维之后，重新推导了关于粘性流动的方程，考虑到了内部的粘性应力，并完全放弃了纳维采用的分子方法，并于1843年发表了相关论文。该论文首次正确地识别了粘性系数及其作为流动中速度梯度的乘数的作用。他还进一步将这些乘积识别为由于摩擦作用从而在流体内部产生的粘性应力。随后，在基于不可压条件和静水压假设等条件下，二维水动力方程组被推导出来，也就是被大众熟悉的浅水方程。浅水方程的假设前提为水体的深度方向尺度远远小于水平方向尺度，因此可以将深度方向的速度分布等效为均匀流。连续方程中的密度项也通过积分转化为水深的表达式。浅水方程的出现极大的方便了科学家通过数学物理方法寻找水体运动规律。但是在水库或是深度方向需要精细考虑的场景，二维的浅水方程就不够准确了。因此科学家将深度方向再进行分层细化，每层之间再通过约束方程进行质量和动量的传递，从而产生了三维浅水方程。连续性方程：
动量方程：
其中，Z表示自由水面高度，S表示过流断面面积，g表示重力加速度，J表示水头损失因子，β表示断面流速均匀性系数，qa表示质量源项。 该方程组看起来跟我们认知中的一维NS方程组相差甚远，那是因为在对河（渠）道进行一维化概化时，描述水体运动规律的参数维流量Q和过流面积S。而过流面积又可以表达为水深h的函数S=f(h)，流量可以表达为流速v和过流面积的函数Q=f(v,S)。
在经过一些数学上的变换后，圣维南方程组就可以变为向量形式：
其中，守恒量项 
，x方向通量项 
，y方向通量项 
，底坡源项 
，摩擦源项 
。图3 河道二维流动示意图
三维浅水方程与二维较为类似，由于篇幅原因，就不在此赘述，其垂向分层思想由下图所示。图4 三维水动力垂向分层示意图
从一、二维方程的形式我们可以看出，在NS方程中存在密度项不在了，取而代之的是表达几何属性的面积S或者水深h，其实这就是基于不可压缩假设做了深度方向的均匀化与积分转换。水动力方程在海洋、气象以及水利领域发挥了重要作用。圣维南方程常用于明渠及简单河道的流量与水位关系的规律性计算；二维浅水方程常用于模拟河流中水体的运动状态，如水位、流速等。在洪水的预测和控制中，二维浅水方程能帮助水文部门预测洪水的演进路径、淹没范围及过程历时，为防洪减灾提供定量分析的重要依据。在海岸工程中，利用波浪模型，浅水方程可用于模拟波浪在近岸浅水区的传播和变形，可以分析波浪对海岸线的侵蚀作用，对港口建设、海岸防护以及海滩保护的方案设计提供重要科学支撑。在湖泊和水库的管理中，浅水方程结合水质模型，能够帮助管理机构了解水体循环、混合和水质演变规律，为水资源的调配、水质保护以及水生态的修护提供决策支持。对于环境保护领域，浅水方程可以用于模拟水流对污染物的输运和扩散过程，评估水质污染风险，为水环境治理和生态保护提供科学依据。在水利工程设计与运行项目中，浅水方程可以用于分析水流条件、评估水工程结构物的稳定性和安全性，帮助设计单位优化设计方案，确保工程实施的安全可靠。目前，中国水利部正在大力推进基于水利专业模型的数字孪生流域建设，而水动力模型正是重要的水利专业模型，所以说数值计算技术不仅在工业界是重要的设计和校验手段，在水利行业同样也是备受关注的水利现代化和智慧化的科学方法。
，通量项 
，源项 
。
