有限元 | 基于虚功原理推导梁单元刚度矩阵

本文摘要（由AI生成）：

本文概述了受分布载荷作用的简支梁的基本方程，包括平衡方程、物理方程和几何方程。文章介绍了单元的离散化描述，利用Hermite插值基函数构造单元位移场，并满足几何方程、位移边界条件及单元间的连续性条件。文章进一步推导了单元应变场和应力场，并通过虚功原理导出单元的刚度矩阵。这种方法不需做变分运算，便于理解和应用。文章最后给出了单元平衡方程，为梁结构的力学分析提供了基础。

梁的基本方程

▲图1

图1为受分布载荷作用的简支梁，该问题的三大类基本方程如下。    方向的平衡方程

   方向的平衡方程

物理方程

几何方程

 

单元的离散化描述

▲图2

图2所示为一局部坐标系中的2节点梁单元，其长度为    ，弹性模量为    。单元节点位移列阵

其中    分别为各节点的挠度和转角。利用函数插值、几何方程、物理方程以及势能计算公式，可以将单元的所有力学参量用节点位移列阵    及相关的插值函数来表示。例如，单元内部任意位置    处的位移(挠度)    可表达为:

式中，    为Hermite插值基函数，其表达式为

▲图3

以单元节点位移作为独立自变函数，通过Hermite插值构造单元位移场。作为独立自变函数的位移首先要满足几何方程，位移边界条件以及单元间的连续性条件，故这种单元称为位移协调元。

 

单元应变场和应力场

由梁的几何方程，有梁的应变表达式

其中，    是应变矩阵。

由梁的物理方程

至此,单元上任意点的位移、应变和应力均已通过单元两端的结点位移表达。以下就利用虚功原理来导出单元的刚度矩阵。

 

虚功方程

设单元轴线处发生虚位移    ,则

式中    为结点虚位移向量。则单元的虚应变    可表示为

存在于单元中的应力    在上述虚应变中所作的虚功为

均布荷载    在虚位移上所作的虚功

由虚功原理    可得

记

则有

上式就是单元平衡方程。与最小势能原理相比，虚功原理不需做变分运算。

记    ，则