《有限元基础编程百科全书》| 杆单元（1D、2D、3D、变截面、直接刚度法、数值积分求解）

杆件是最常用的承力构件，它的特点是连接它的两端一般都是铰接接头，因此，它主要是承受沿轴线的轴向力，因两个连接的构件在铰接接头处可以转动，则它不传递和承受弯矩。

 

上图所示，是一左端固定，右端拉伸的受到外力    拉伸的拉杆模型。杆件长度为    ，弹性模量为    ，截面面积为    ，假设为等截面杆（变截面杆模型后续会提及）。

本节将为读者分享以下杆单元类型：

• 1D杆单元
• 变截面杆单元
• 2D杆单元
• 3D杆单元

以上的杆单元类型都将围绕上图所示的模型展开，激发读者"举一反三"的学习兴趣。

单元描述

一维杆单元每个节点1个自由度，表示    方向的平动位移；二维杆单元每个节点两个自由度，表示    、    两个方向的平动位移；三维杆单元每个节点3个自由度，表示    、    、    三个方向的平动位移，模型自由度示意图见下图。

   

   

   

   

单元内部的位移与节点位移通过"形函数"联系起来，见下式，    表示单元内部任意一点的位移，    表示节点位移，    为形函数矩阵。

单刚矩阵

公式推导

以一维杆单元为例，单元刚度矩阵可直接使用：

   、    、    分别表示该单元的弹性模量、截面面积、单元长度。有关具体推导过程，可翻阅任意有限元教材，都会基于最小势能原理进行讲解，本文不再赘述，只挑一些对我们数值编程有直接作用的。

变截面杆单元顾名思义就是单元截面会发生变化，假设单元两端的截面面积不一致。其单元刚度矩阵可表示为：

二维、三维杆单元的刚度矩阵均可以由一维杆单元刚度矩阵演变而来，其基本思想就是坐标转换。以二维为例：

局部坐标系下的单元节点位移：

全局坐标系下的单元节点位移：

局部坐标可由全局坐标经过坐标变换得到：

矩阵形式：

其中    就是坐标变换矩阵，即

其刚度矩阵也可由局部坐标系下的刚度矩阵通过坐标变换得到：

其中，    为整体坐标系下的单元刚度矩阵，    为局部坐标系下的单元刚度矩阵。

三维杆单元的坐标变换矩阵：

相关代码

function[BarLength]=BarsLength(x,y,ele)
   BarLength=zeros(size(ele,1),1);
for iEle =1: size(ele,1)
      BarLength(iEle,1)=((x(ele(iEle,2))-x(ele(iEle,1)))^2+(y(ele(iEle,2))-...
      y(ele(iEle,1)))^2)^0.5;
end
end

function[R]=CoordTransform(x,y,BarLength)
    l=(x(2)-x(1))/BarLength; m=(y(2)-y(1))/BarLength;
    R=[l m 00;00 l m];
end

function[Ke] = BarElementKe(prop,R,BarLength)
   E = prop(1);A = prop(2);
   ke=A*E/BarLength*[1-1;-11];
   Ke=R'*ke*R;
end

也可使用数值积分方案来计算单元刚度矩阵，具体原理将在介绍平面单元时讲解。

functionElementStiffnessMatrix = gaussIntegrate2DBarElement(prop, R,L)
    E = prop(1);A = prop(2);
    gaussPoints = [-1/sqrt(3), 1/sqrt(3)]; 
    weights = [1, 1];
    K = zeros(2, 2); 
fori = 1:length(gaussPoints)
        xi = gaussPoints(i);
        w = weights(i); 
        dN_dxi = [-1/2, 1/2];
        J = L / 2; 
        B = dN_dxi / J; 
        k = w * (B' * E * A * B) * J; 
        K = K + k; 
end
    ElementStiffnessMatrix = R'*K*R;
end

数值案例

本小节结合二维的桁架结构和三维桁架结构，分别施加"力加载"和"位移加载"两种加载方式。将自编有限元程序结构和Abaqus分析结果进行对比，保证程序的正确性，程序采用Abaqus进行前处理+Matlab内核计算+ Paraview进行后处理。

   

   

二维模型边界条件信息：

## 位移加载信息
*Constr
1,2,4.
1,3,-1.
2,2,4.
2,3,-1.
233,1,0.
233,2,0.
233,3,0.
...

## 力加载信息
*Load
1,2,400.
1,3,-100.
2,2,400.
2,3,-100.
*Constr
233,1,0.
233,2,0.
233,3,0.
...

三维模型边界条件信息：

## 位移加载信息
*Constr
1,2,4.
1,3,-1.
2,2,4.
2,3,-1.
233,1,0.
233,2,0.
233,3,0.
...

## 力加载信息
*Load
1,2,400.
1,3,-100.
2,2,400.
2,3,-100.
*Constr
233,1,0.
233,2,0.
233,3,0.
...

数值结果

通过将自主开发的有限元程序与Abaqus软件的场变量结果（包括位移、应力、应变等）进行比较，对比结果表明两者具有较高的一致性。此一致性验证了自编程序在计算精度方面的准确性。

位移场

力加载

   

   

   

   

   

   

位移加载

   

   

   

   

   

   

应力场

力加载

   

   

位移加载

   

   

应变场

力加载

   

   

位移加载

   

   

三维模型位移场

力加载

   

   

位移加载

   

   

为节省篇幅，三维模型仅对比位移场，其余场变量读者可自行对比验证。

以上整套程序均在《有限元基础编程百科全书》中，以超链接的形式呈现。