推导出一个两端口的功率增益的表达式，需要哪些预备知识点

(1) 

一个两端口的功率增益，在[1]的12.1节中给出了三种定义，分别是:

①，功率增益(power gain)=G=PL/Pin

②，可用功率增益(available power gain)=Ga=Pavn/Pavs。

③，转换功率增益(Transducer power gain)=Gt=PL/Pavs。

而对这些功率进行定义时，源，负载和管子之间的关系，可以从下面的图中，看出点道道来[2]。对于功率增益，没有定义源或者负载的匹配状态；对于可用功率增益，是定义源和负载与管子都是共轭匹配；对于转换功率增益，则是定义源与管子是共轭匹配。

而这三个功率的表达式，分别为：

其中最有用的增益定义，是transducer power gain，是因为它包含了源和负载失配的影响。

(2)

那这几个公式是怎么推导出来的呢？

在进行推导之前，先来说一说，在推导过程中，会用到的两个知识点。

(3)

第一个，就是推导过程中，用到的反射系数与阻抗之间的关系，比如说：

那这个关系式是怎么来的呢？

如果稍稍往前推的话，咱们可以从传输线的电报方程说起。

传输线，之所以在低频和高频的时候，会被给予不同的对待，就是因为在高频的时候，传输线的尺寸与波长可以比拟，这个时候，传输线上的电压和电流就不是恒定的，而是变化的。

打个比方，在一条路上，有一块砖头，人走在这条路上，基本可以对砖头视而不见；而如果换成蚂蚁，那可能就是一座大山；也就是说，因为人的步子很大，所以在这一步里面的路，里面不管有啥，人都不太能感知到；但是蚂蚁的步子很小，那路上的砖头就会对蚂蚁的行走，造成很大的困扰。人就对应于低频信号，其步子的大小，对应信号波长；而蚂蚁就对应高频信号。

那当信号频率比较高的时候，怎么分析传输线呢？

可以参照，原来如此简单，就能推导出传输线上的反射系数

所以反射系数与阻抗之间的关系，大概的由来是这样的：

①，在传输线上取无限小的一段，假设长度为△z，并且将这段传输线，用R，L，C，G等来等效，并用基尔霍夫电压和电流定律列出电压电流与这些器件的关系；

②，然后得到电报方程

③，从电报方程中，推导出传输线上电压和电流的表达式

④，从电压和电流的表达式中，推导出反射系数与阻抗之间的关系。

（4）

第二个，就是射频系统中的功率的计算。

在射频系统中，相比于电压和电流，我们更在意的是功率，比如上面的增益的定义，就是功率增益[3]。

那知道电路中的电压和电流，怎么计算出功率呢？

在分析射频系统时，经常假定电压和电流都是随时间余弦或正弦变化，所以电压和电流可以用相量来表示，即：

v(t)=Re{V*exp(jwt)};

i(t)=Re{I*exp(jwt)}。

相量表示时，没有exp(jwt)和Re{}, 这是因为，大家达成了共识，虽然表达式中没写，但是大家都默认是还隐藏着这两个因子。

假设电压和电流的表达式如下图所示，则可以推导出，当v(t)和i(t)有相位差的时候，其平均功率的表达式。

(4)

接下来，就可以推导功率增益的那些表达式啦！

假设电压，电路，以及其他参数的定义如下图所示：

那么：

然后考虑共轭匹配，可以得到GA和GT。

参考文献：

[1] David M. Pozar, Microwave Engineering

[2] Calculate power gain from two-port S-parameters - MATLAB powergain - MathWorks United Kingdom

https://uk.mathworks.com/help/rf/ref/powergain.html

[3] Analysis of Power and Phasor in RF systems - Rahsoft

https://rahsoft.com/2021/04/07/analysis-of-power-and-phasor-in-rf-systems/