傅里叶分析（2）
在《傅里叶分析（1）》中，讲述了连续信号的傅里叶分析方法，本文讲述离散信号的傅里叶分析方法。虽然电、声、光、机械振动等信号在物理上是连续函数，但在实际工程中，其通常为离散信号，即若干离散的数据点。对于离散信号，傅里叶级数和傅里叶变换已经无法使用，需要使用 DTFT（离散时间傅里叶变换）和 DFT（离散傅里叶变换）分析离散信号。1 离散信号的来源
离散信号来源于对连续信号的采样。数学处理上，离散信号为连续信号和采样函数（sampling function）的乘积：
采样函数为基于狄拉克 δ 函数（Dirac delta function）表述的脉冲序列，其定义如下：
采样函数为周期函数，其在非采样时刻的函数值为 0，由此可得仅限采样时刻的离散数据点。
采样函数的图像（图源：维 基百科）
采样函数的傅里叶变换为频域上的采样函数，其周期为 1/T：
2 DTFT
根据前述采样方法，可将离散信号 x{n} 视为连续函数，除了采样点之外其他时刻函数值均为0。
利用傅里叶变换的卷积特性，对 x{n} 进行傅里叶变换，其结果即 DTFT 计算公式为：
变换结果 X(ξ) 为连续周期函数，其周期为 1/T，即 X(ξ)=X(ξ+n/T)。由于 X(ξ) 为连续函数，其逆变换可直接使用傅里叶逆变换的计算公式。对于周期函数，可将积分区间从无穷大简化到一个周期内，得到 DTFT 逆变换公式：
其中，积分区间可为任意的区间，只需满足区间的长度为单个周期长度 1/T 即可。根据 n 取值的不同即可获得 x{n} 各项取值。对于纯实数的信号 x{n}，其变换结果X(ξ) 在正频率和负频率的幅值为对称关系。3 DFT
虽然 DTFT 表明了离散信号的频谱分析方法，但是得到的频谱是连续函数，对基于程序的实际信号分析造成很大困难。引用 DTFT 思路，将 x{n} 视为连续函数。根据连续信号的频谱特征，周期函数的频谱为离散点，由此可对频谱进行程序处理。将包含 N 个数据点的有限数据集 x{n}（从x{0} 至 x{N-1}），进行周期延拓，即 x{n} =x{n+k*T*N)}，可使之成为在无穷大区间均有定义的周期函数，其周期为 T*N。由于 x{n} 的周期性，对 x{n} 进行DTFT 仅需在单周期内即可进行。
很显然，X{k} 在区间 [0, N-1] 只有N 个取值，且周期为 N。同理，在频域的单周期内进行 DTFT 逆变换，即可得到 DFT 逆变换计算公式：
对于纯实数的信号 x{n}，其变换结果 X(ξ) 在正频率和负频率的幅值为对称关系。4 重要问题
4.1 频谱的类型
通常而言，时域信号 x{n} 来源为传感器信号、A/D电路转换等，其表示的物理量通常为可直接测量的物理量，如速度、电流、温度等。实际应用中，频谱通常分为幅值谱（amplitude spectrum）和功率谱（power spectrum）两类。幅值谱表示与功率的平方根成比例的物理量（如速度、电流、电压等）；功率谱表示功率或与功率成比例的物理量（如光强度、声强度等）。
功率谱示意图（图源：mathworks.com）
4.2频谱范围与精度
根据奈奎斯特采样定理（Nyquist sampling theorem），离散信号可分析的频谱最高频率为采样频率的一半。对于更高频率部分，DFT 已无法分析。
其中 N 为信号的数据点数量。若需要更精细的频谱分辨率，只需要增加信号样本数量即可。4.2 数据处理与窗函数
对离散信号的周期延拓，通常会在信号首尾两端形成较大的不连续。信号在时域的不连续会导致频谱泄露（spectral leakage），即人为形成某些本不存在的谐波。通过窗函数（window function）对离散信号进行处理，使信号首尾两端的幅值逐步降低，可降低信号在两端的不连续性。通过窗函数处理后的信号 y{n} 和原始信号 x{n} 之间，满足：
窗函数应用效果对比（图源：《Digital Signal Processing Fundamentals and Applications》，作者 Li Tan）
常用的窗函数包括三角、Hamming、Hanning等。若信号是宽带信号，即不存在很明显的频域尖峰，可无需窗函数处理。Hanning 窗函数适用于多数常规问题，可作为通用的窗函数。
Hanning 窗函数特点为在信号首尾两端幅值为 0，正中心位置幅值为 1。
包含 21 个数据点的 Hanning 窗函数图像
5 DFT 和 FFT 的关系
快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）是 DFT 的一种计算方法。FFT 本质上是利用其它替代计算方式，避免根据 DFT 的定义直接计算 DFT，从而加快计算速度，节约硬件资源。FFT 当前最常用方法为 Cooley–Tukey 方法。许多工程计算软件均有 FFT 相关功能，直接导入数据序列进行分析即可。6 总结
对（1）、（2）文的重点进行总结：
傅里叶级数和傅里叶变换表述了连续信号频谱分析方法
DTFT 表述了无限多样本的离散信号频谱分析方法
DFT 表述了有限多样本的离散信号频谱分析方法
只有 DFT 可直接用于程序计算
使用 FFT 可加快 DFT 计算速度
