GTN损伤模型计算中的网格依赖性

GTN（Gurson-Tvergaard-Needleman）模型是一种常用的用于描述金属材料损伤行为的理论模型。GTN模型最初由Gurson于1977年提出，后来由Tvergaard和Needleman进行了改进和推广。

GTN模型基于孔隙率（porosity）理论，认为材料中存在着许多孔洞或微缺陷，这些孔洞或微缺陷是材料发生损伤的主要因素。GTN模型假设材料中的孔洞是圆形的，并假定孔洞之间不存在相互作用。

GTN模型中，通过三个参数来描述材料的损伤行为：材料的孔隙率（porosity）、材料的强度（yield strength）和材料的韧性（fracture toughness）。其中，孔隙率是材料中孔隙的占据体积比，强度是材料的屈服强度，韧性是材料的断裂韧性。

GTN模型通过一个体积分数函数（void volume fraction function）来描述孔隙率的变化。体积分数函数与材料中的孔隙率之间存在线性关系，可以表示为：

f = V_v / V_m

其中，f为体积分数函数，V_v为材料中的孔隙体积，V_m为材料的总体积。

GTN模型假定材料中的孔隙对应于一些虚拟的颗粒，这些颗粒与材料中的晶粒一样具有一定的大小和形状。通过定义一个孔洞半径，GTN模型可以计算出材料中的孔洞数量。

GTN模型中的强度和韧性参数可以通过实验测定来确定。一旦确定了这些参数，就可以使用GTN模型来预测材料在不同应变速率下的应力-应变曲线、断裂韧性和孔洞形变行为等。

需要注意的是，GTN模型只适用于具有孔隙的金属材料，而不适用于其他类型的材料。此外，GTN模型中的一些假设可能与实际情况存在一定的差异，因此在实际应用中需要进行适当的修正和调整。但使用损伤模型计算时相比较弹塑性对于网格的要求更加严格，即网格敏感性更高。网格敏感性是指结果的准确性和精度取决于网格划分的精度和密度。因此，为了减少网格依赖性，可以采用以下方法：

1. 增加网格密度：通过增加网格数量和细化网格，可以提高模型的精度。但是，这会导致计算成本的增加。

2. 自适应网格划分：自适应网格划分技术可以在需要时自动增加或减少网格密度。这可以确保模型在需要的地方具有更高的精度，同时避免在不必要的地方浪费计算资源。

3. 等效性技术：等效性技术是指将一些区域的网格划分替换为等效的材料模型。这种方法可以降低计算成本，同时保持模型的准确性。

4. 基于连续介质的方法：在这种方法中，将材料看作连续的介质，而不是离散的单元。这可以避免在离散网格上出现的误差，并提高模型的精度。

5. 非局部损伤模型：在传统的局部损伤模型中，每个元素只考虑其自身的损伤行为。而在非局部损伤模型中，每个元素的损伤行为受到其周围元素的影响。这可以减少网格依赖性，提高模型的准确性。

   以含中心圆孔的板材拉伸为例，说明网格密度对计算结果的强烈影响

模型几何尺寸为40*20mm的二维试样，其中中心区域包含一个半径为2.5mm的圆孔，并沿着X方向进行单轴拉伸模拟，初始模型包含5414个单元，并进行二次细化，使得单元个数分别达到21247，85201，342816模拟的结果分别如下：

可以看见，断裂发生时，空洞周围应力几乎保持收敛，然而断裂起始单元的不同强烈影响了后续的裂纹扩展，产生了完全的不同的裂纹发育路径，即网格对计算结果有强烈影响，一个好的解决方法就是引入非局部损伤模型，类似于晶体塑性模型GND的引入，部分文献已经针对这一问题进行了研究，并证明了非局部模型计算的巨大优势，当然，这同时产生了更多的计算成本和数值实现的复杂化。如何引入非局部模型，这会在后续进行介绍。