CAE设计师的你，有必要了解计算电磁学吗？

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“作为一个CAE设计师，有必要了解计算电磁学吗？”

电磁从业人员按照分工大致可以分为两类：一类从事CEM（计算电磁学），一类从事CAE（计算机辅助设计）。CEM工程师日常的工作内容主要就是“码代码”，目的在于设计“速度更快，精度更高，内存占用更小”的仿真工具，而CAE工程师的日常工作内容主要就是“跑仿真”，目的是利用各种仿真工具，完成诸如天线/滤波器/功分器等元器件的设计。他们的分工与“铸剑师”和“剑客”的关系是一样一样的。

该篇为“缘起收敛性”系列的第二篇文章，也是"电磁CAEer"基础理论部分体系性的一篇文章，旨在为电磁CAE工程师提供一份CEM几种重要算法以及对应的CAE仿真工具的使用说明，并使用最为通俗易懂的语言对这些算法的底层原理进行说明，以期让大家对CEM的底层理论获得最为直观的认知。

1.说在前面

上一篇文章，我们说到，基于Maxwell方程的电磁求解是电磁学研究最为重要的组成，“一张纸，一支笔就可以推演出电磁世界的万千种种”的愿望虽然美好，然而现实却总是那么“冰冷”，解析求解这种“炫技”只适用于自由空间辐射或者少数形状十分规整的散射体。直到“离散”的思想被引入，“计算电磁学的春天”来了……

缘起“收敛性”——Maxwell方程与求解

这篇文章是要正式介绍“计算电磁学”的发展历程/现状以及相关底层原理。主要内容分为两个部分：

介绍一下“计算电磁学”的发展沿革以及现状，重点介绍时域有限差分算法（FDTD），有限元算法（FEM），矩量法（MoM）以及以MoM为基础发展而来的多层快速多级子算法（MLFMM）四种主流算法的发展过程以及不同使用环境下的优劣势对比；
使用最为通俗易懂的语言介绍FDTD，FEM，MoM以及MLFMM的核心思想以及底层原理，尤其是针对MoM算法进行详细，将会以你意想不到的丝滑方式将它镌刻至你脑海里。

希望通过这两个部分的讲解来回答大多数电磁CAEer在平时软件选择和使用中碰到的两个主要的疑问：1）选什么软件好；2）这个软件好在哪。

2.历史与现状

20世纪60年代以来，随着计算电磁学的发展，针对电磁问题的数值求解方法层出不穷，其中有三种方法发展最为成熟，形成“鼎立”之势：1）时域有限差分法Finite-Difference Time-Domain method（FDTD），该方法由K.S.Yee在20世纪60年代首先提出，核心思想是采用差分直接离散时域麦克斯韦方程；2）有限元法Finite-Element-Method(FEM)，P.P.Silvester在20世纪60年代末首先使用该方法用于波导本征值问题的求解；3）矩量法Method of MoMents(MoM)，K.K.Mei于 20世纪60年代初首先将其应用于二维散射问题的求解，后在此基础之上发展而来的多层快速多级子算法（MLFMM）更是极大的提高了MoM的计算效率。有关“计算电磁学”的发展历程和现状，大家有兴趣可以阅读文献《电磁计算方法研究进展综述》，我在此就不赘述了。工程上，三种算法各自形成了电磁CAE领域成熟的商业软件，其中要以达索公司的CST（有限积分法），ANSYS公司的HFSS（有限元）以及Altair公司的FEKO（矩量法）应用最为广泛。

电磁计算算法大致可以按照“时域/频域”和“微分/积分”两个标准，通过两两组合划分为四类。三大算法中，按照第一个标准，FDTD为时域算法，而FEM和MoM同为频域算法；按照第二个标准，FDTD和FEM同为微分方法，而MoM为积分方法。

底层原理的差异也使得三种方法的适用环境明显不同，了解了不同算法的优势，才能在软件选择时更加得心应手。四种主要算法在计算速度，计算精度，内存消耗，收敛性以及计算模型的电尺寸5个主要性能对比情况如图所示（数值只代表相对差异）：

FDTD算法：采用差分直接离散时域Maxwell方程，电磁场的求解基于时间步的迭代，无需存储全空间的电磁场信息，内存消耗较小，同时采用立方体网格和差分算法，网格形式和算法均十分简单，计算速度也贼快，基于时域算法，特别适合“宽带问题”的求解。但是，简单的立方体方体网格带来的弊端就是模型拟合精度较低，对于含有精细结构的模型，计算精度较低，同时基于“微分方程”，计算区域需要设置截断。FDTD比较适合于不含有较多精细结构的电大尺寸模型的电性能计算以及宽带问题的计算；
FEM算法：采用四面体网格对目标进行离散，拟合精度比FDTD算法更高，计算精度也要明显优于FDTD算法。但是，FEM基于频域/微分算法，需要同时对整个区域内的电磁场信息进行求解和存储，内存消耗大，计算速度慢，计算模型的电尺寸也相对较小。FEM主要适合于微波电路器件，天线等目标“辐射问题”的精确计算；
MoM算法：通过“场-源关系”，将“场”的求解问题转化为“源”求解问题，采用的基函数“格林函数”天然满足辐射条件，无需设置截断，计算精度高，同时矩阵的计算采用直接计算，不存在收敛性的问题，同时由于网格的剖分仅存在于目标体表面或内部，未知量数目大幅降低，矩阵规模小于FDTD和FEM，但是由于“源”之间均存在耦合，因此矩阵为“稠密”矩阵，计算复杂度大，计算速度慢。MoM主要适合于含有精细结构的电小尺寸目标“散射问题”的精确计算；
MLFMM算法：以MoM算法为基础发展而来的加速算法MLFMM，显著提高了MoM的计算速度，大幅降低了内存消耗，处理电大尺寸目标的计算得心应手，但是迭代求解的收敛性较差，对于一些病态矩阵，时常出现计算不收敛的情况，同时在对MoM加速的过程中，采取了一些近似处理，计算略精度低于MoM。MLFMM适合“电大尺寸目标”散射问题的精确求解，对于包含有波导缝隙天线，大规模超材料，磁性媒质等目标的计算问题，则经常会出现计算不收敛的情况。

既然每一种算法都有每一份“快乐”，那是不是将两种算法混合一下，就会收获双份“快乐”，据此各种混合算法的研究层出不穷。

达索，ANSYS，Altair三大巨头通过数十年来的行业整合，最终分别将电磁CAE界的三大主流软件CST，HFSS以及FEKO收入门下，而CST，HFSS以及FEKO通过这么多年的发展，也早已不在局限于各自的核心算法发展，各自向对方的腹地拓展，均发展成为“时域与频域兼顾，积分与微分并举”的综合软件。但是，通过对实际仿真软件的使用情况来看，每种软件在其核心算法上的优势还是无法撼动的。

3.底层原理

本文四大算法底层原理的写作支撑主要有三个：1）计算电磁学圣殿UIUC电磁学实验室和计算电磁学中心主任金建铭教授的著作《计算电磁学（第二版）》；2）作者研究生期间的《计算电磁学》笔记，授课教师为计算电磁学大佬/电子科大副校长胡俊教授；3）各类算法的相关研究文献。

本文将以专业的学术著作为支撑，用最通俗易懂的方式介绍FDTD，FEM，MoM以及MLFMM四种算法的底层原理，揭示基于不同算法的商业软件在处理不同电磁问题时性能差异的本质来源。如果想要获取这些算法更加深入的认识，可以去阅读相关算法的文章以及作者的笔记，点击“阅读原文”可以获取相关文献和笔记，提取码：0jgh 。

3.1时域有限差分法（FDTD）

FDTD是最古老也是最简单的一种数值方法，其离散的对象直接是时域微分形式的Maxwell方程组:

FDTD所使用离散形式也是最为简单的立方体网格。

如上一篇文章所述，方程中包含了对电场和磁场分布函数的时间微分运算以及空间微分运算，以电场为例，其中表示对时间的微分运算，和表示对空间的微分运算，其中和最终均可以拆解为，，的组合，这四种微分运算可以用这种通用的表达式进行描述，其可近似为一种简单差分形式：

利用这个近似运算，可以将电场对时间的微分运算转换成前一时刻的电场与后一时刻电场之间的运算关系。同样地电场E对空间微分运算转换成前一位置处的电场与后一位置处的电场之间的运算关系，因而只要给定了电磁场的初始值和 (初始条件)以及边界值和（边界条件），即可以基于差分关系式，通过不断的循环迭代，求解出任意时刻，任意位置处的电磁场分布和和。其优缺点十分明显：

优点：由于采用差分方程以及立方体网格，理论基础和网格划分都相对简单，对于电大尺寸的目标求解速度快，内存消耗小，同时采用基于时域算法，因此适合于宽带问题的求解；
缺点：由于采用矩形单元对目标进行离散，对于复杂形状的目标拟合精度相对较差，从而导致含有精细结构的目标求解精度差。

3.2有限元（FEM）

有限元法基于频域Maxwell方程，其求解的对象是时谐电磁场，即电磁场在时间维度上是周期性分布，循环往复，无始无终，时间变量自然也就失去了意义，电磁场只是空间变量的分布函数：

其采用了拟合效果更好的四面体网格对求解区域体进行剖分。

求解空间离散后，紧接着是要空间中待求解的电磁场分布进行离散，其核心思想在于寻找到一组展开未知解的基函数：

其中为第j条棱边的切向分量，为待求的切向分量，而为相应棱边上对应的基函数，一旦将所有未知量求解出来，则整个空间中电场分布就完成了求解。这类似于傅里叶级数中使用三角函数展开任意形式的周期函数，所要做的就是求解每个基函数前面系数，然而对于形状不规则的电磁问题，这种基函数的寻找是及其困难甚至不可能的，有限元法的做法是将目标离散成小的单元（三角形，四面体），然后使用非常简单的线性函数或二次函数来近似这个单元上的未知解，这些简单的基函数是一种子域基函数，其与上文中傅里叶级数展开中的全局基函数有着很大的不同。利用有限元将目标离散，并依据电场E在空间Ω满足的波动方程和在边界Γ上满足的边界条件条件建立子域基函数的系数所满足的方程组：

该方程未知量为子域基函数的系数，完成所有未知量的求解，整个空间的电场分布既可以表示为子域函数的叠加。

优点：有限元算法的优点在于其使用了模型拟合度更好的四面体网格，求解精度更高，适合于含有精细结构目标的电磁计算，同时基于Maxwell方程的微分形式，系数矩阵为稀疏矩阵，迭代计算的收敛性较好。
缺点：有限元算法基于“场”的统治方程，有“场”分布的地方就需要进行剖分，然而“场”的分布是充满整个空间的，因此需要设置空气盒子对求解区域进行有限截断，对于电大尺寸目标的计算问题，计算区域十分庞大，剖分的单元和未知量的数目十分庞大，对计算时间和内存的需求也格外高。

3.3矩量法（MoM）

FDTD和FEM的统治方程均基于微分形式的Maxwell方程，其特点为：1）其通过直接求解“场”（电场或磁场）满足的方程来获得空间电磁场的分布；2）求解对象为“微分形式”的Maxwell方程。而MoM则基于一种完全不同的求解思路。

MoM算法理论主要分为两个部分：一个是矩量法支撑理论，主要包括“格林函数”，“源-场关系”，“等效原理”三个子理论，它们是MoM算法如此特立独行的根本原因；另一个则是矩量法计算理论，主要包括四个步骤：建立支配方程—>离散—>匹配—>矩阵求解，这与FEM或FDTD算法的求解过程并无明显区别。

1）格林函数

格林函数为：，其中表示场点位置r与源点位置之间的距离，其为波动方程：

的解，其中的表达式为：

代表空间点源的分布形式，而就是这个点源在空间中产生的电磁场分布。

如果将电磁波的传播类比为光的传播话（当然光也是电磁波的一种），那么这里的点源就可以类比为在处放置一个功率为1w的LED小灯泡，它的光会照亮整个空间，而空间中任意位置r处的光照强度就可以表示为，亮度在小灯泡处( )趋于无穷大，距离小灯泡越远，亮度越低。

2）源-场关系

如上所述，格林函数给定了一个点源在空间中辐射的电磁波的分布形式，同样的我们用光的传播来进行类比，格林函数给出了一个功率为1W的LED小灯泡在空间各个地方产生的光照强度的计算公式，但是如果空间中不只一个LED灯泡，而是有N个LED小灯泡组成的阵列，而且这些每个小灯泡的功率还不都是1W（姑且假设第i个小灯泡位置为的功率为），那么这个LED阵列在空间中任意位置r处产生的光照强度就可表示为每个小灯泡在r处产生的光照强度的叠加，而每一个小灯泡在r处产生光照强又应该是1w小灯泡的倍，这应该是显而易见的，即为：

好的，我们现在把视线拨回“电磁场”的求解，通过对Maxwell方程的变换，可以得到电场“E”和磁场“H”所满足的波动方程，方程的形式为：

当你看到这个方程时，不知是否有立马原地爆炸的冲动，但其实这个方程与格林函数满足的波动方程本质上并无不同，方程的左边与

的左边完全相同，这确定了方程的类型以及解的形式，方程的右边只是由原来的点源分布变成了更为复杂的，在电场“E”满足的方程中：

在磁场“H”满足的方程中：

其中“J”和“K”分别为目标体上的电流与磁流，其仅存在于目标体上，在自由空间中没有分布。此处的（电流源，磁流源的体或面分布）与（点源）的区别就如同包含无数LED小灯泡组成的灯列阵与一个LED小灯泡的区别，那么”E”和“H“的解，可以类比的表示为：

所不同的是，前面LED灯阵列为离散分布，而此处的电流“J”和磁流“K”的分布为连续分布，因此求和“∑”就变成了求积分“∫”。至此，空间中的场分布“E”和“H”就和目标体上的源分布“J”和“K”建立了联系，这就是“源-场关系”。

3）等效原理

电磁散射问题求解看似是一个非常复杂的物理学问题，因为计算的场景千变万化，目标的形式也多种多样，有反射面天线的辐射问题，也有天线罩的透波问题以及飞行器的RCS问题……，然而本质就是计算目标如何干扰入射电磁波传播，进而影响全空间电磁场的分布，其基本模型很简单：

MoM看待目标的方式与FEM和FDTD也有明显不同，FEM和FDTD会关注目标本身，而MoM则基于“等效原理”，使用目标体上的等效源将目标完全代替，其关注于“等效源”而非“目标”，在MoM的世界里，没有“人”，只有“夜光火柴人”。

基本模型中的目标体按照材料的特性可以分为两种情况，第一种就是均匀介质，第二种就是非均匀介质，其中针对均匀介质，可以采用面等效原理，针对非均匀介质，可以采用体等效原理。

体等效原理

假设目标体为电参数为和的非均匀介质体，自由空间充斥着电参数为和的介质，一束已知分布的电磁波（电场分布为，磁场分布为）照射到目标体1上，目标体1产生的散射场为和，空间中总场应为入射场和散射场之和，即，。

体等效原理就说：以上两种物理模型，对于2区域的电磁场分布是等效的，目标体1对空间中电磁场分布的影响可以用分布在目标体内的等效源（体电流和体磁流）在空间中产生的散射场进行等效。等效源和产生的散射场和可以依据上文中的源-场关系进行求解:

至于等效源和具体是多少，那就是后续需要求解的未知量啦。

面等效原理

当然现实中更多情形是目标体1为均匀介质体，这种情况要更为简单。假设目标体1为电参数为和的均匀介质体，自由空间充斥着电参数为和的介质，一束已知分布的电磁波（电场分布为，磁场分布为）照射到目标体1上，目标体1产生的散射场为和，空间中总场应为入射场和散射场之和，即，。

面等效原理就说：以上两种物理模型，对于2区域的电磁场分布是等效的，目标体1对空间中电磁场分布的影响可以用分布在目标体表面的等效源（面电流和面磁流）在空间中产生的散射场进行等效。同样地，等效源和产生的散射场和可以依据源-场关系进行求解:

而等效源和会作为未知量进行求解，这里需要补充说明以下：我们在FEKO中利用MoM或者MLFMM算法进行计算的时候，绝大部分情况下都是利用面三角形网格对目标体的表面进行剖分，而并不对目标体内部进行剖分，其主要原因就是对于均匀介质或者金属，仅存在于目标体表面的面等效源即可等效替代整个目标体的作用，因此考虑目标体内部的情况。

如果感觉上面的推演难以理解，我们继续使用LED小灯泡发光来对等效原理进行更加形象的解读。

“源-场关系”一节中的LED小灯泡其实是自带电池的光源，会自己发光，与外部有没有光照没有关系。而此处，我们的LED小灯泡是太阳能LED小灯泡，这些小灯泡或分布于目标体表面（均匀介质）或分布于目标体内部（非均匀介质），它们的发光形式为被动发光，能量来源是光照给太阳能充电，总光源包括太阳光以及每个小灯泡的灯光，光照越强，小灯泡亮度就越高，此处的即小灯泡的功率取决于照射到该小灯泡上的光照的强度。由图可知：在矩量法的世界里，每个小灯泡之间都是相互耦合的，每个小灯泡的发光亮度不仅取决于太阳光的照射，还取决于其他小灯泡的灯光的照射，同时自身的发出的光也会反过来影响其他小灯泡的发光亮度，这就导致小灯泡功率无法直接进行求解。对于这种许许多多相互影响的未知变量的求解问题，最好的办法就是将他们统统设置为未知数，然后建立方程组进行统一求解。

小结一下：通过“格林函数”，“源-场关系”以及“等效原理”三个工具的一顿操作，在FEM算法和FDTD算法中，我们关心的还是未知量电场和磁场的求解，而到了MoM算法中，我们已经不太关心电场磁场（光照强度）的直接求解，而是转而将目标体上的等效电/磁流（每个小灯泡的功率）作为未知量进行求解，这就将关注区域从整个求解空间聚焦到目标体上，减少了未知量，然而这些未知量之间“剪不断，理还乱”的互耦也正是MoM算法与FEM以及FDTD算法的最大区别，将导致MoM算法后续矩阵求解更加困难。

4）矩量法计算模式

介绍完支撑矩量法理论的三大基础理论，现在可以正式开始介绍矩量法了。

Step1：建立支配方程

由上可知，基于等效原理，目标体对空间电磁场的影响可以等效为目标表面或目标体内的等效源产生的散射场对空间总长分布的影响，而等效源与散射场之间的关系可以基于“源-场关系”进行确定，因此最终的问题就演变成为求解目标体表面或内部的等效源。

想要求解等效源，就必须要先建立等效源满足的支配方程。矩量法的支配方程来源于边界条件，以任意外形理想导体（一般仿真分析中，金属目标可以近似为理想导体）的散射计算为例进行说明。在理想导体表面，面电流和面磁流满足关系：

在理想导体表面，由于电场的切向分量始终为零，所以只有面电流没有面磁流，因此等效电流产生的散射场就可以简化为：

同时空间中的总电场，即总电场可以表示为入射场与散射场之和，从而有：

其中散射场可以由源-场关系转化为电流源的表达式，略加化简，可得：

公式虽然看起来很让人脑壳疼，其实表达意思很简单，这是一个已知入射电场分布求解未知量的方程，这也就是等效源满足的支配方程。

Step2:离散

正如上一篇文章中霍格沃兹魔法学校体积计算方法所述，离散基本上可以分为两个过程：1）由于现实版的建筑太复杂，所以用乐高版的霍格沃兹魔法学校来近似替代；2）将乐高版的霍格沃兹魔法学校拆成一个个乐高积木块，然后数数，最后建筑物的体积就约等于每个积木块体积之和。

那么具体到矩量法中又是如何“离散”的呢？，我们先从一维简单形式开始掰扯，如图所示，红色曲线是一个连续分布的一维函数，这个函数无法用一个简单的表达式直接表达出来（无解析解）。此时，我们先将[0,20]这个区间等分成20段，然后如图所示在每一段上画一个蓝色矩形长条，而所有矩形的上边沿组成台阶可以近似表示红色曲线，当然这样的近似还是有误差的，但是通过不断的增加矩形长条的数量，减小矩形长条的宽度，它们之间的误差就可以不断减小。

同样地，台阶折线的表达式，也是由许许多多的乐高积木块组合而成，这里的乐高积木块叫做“子域基函数”，它的表达式为：

“基函数”就表示它是一个基本单元，“子域”表示它在特定区域内有值，区域外均为0。如图所示的黄色曲线就是的形式，那么位于x=14处的台阶就可以表示为：

其中为基函数的系数，也是台阶的高度。整个台阶的分布函数可以表示为所有台阶之和，即：

整个台阶的分布函数可以表示为所有台阶之和，即：

当然，相比于一维形式，矩量法的离散方法要更加复杂，复杂主要表现在两个方面：1）目标体是三维的，其上的面电流也是三维分布的；2）电流为矢量而非标量。

矩量法使用三角面元对目标体表面进行拟合的，这样小兔子表面的电流分布可以近似由所有三角面元上的电流分布进行表示，于一维情况类似，我们需要建立基于三角面元的“子域基函数”，然后将相应面元上电流分布就可以表示为系数与基函数的积，

矩量法使用的基函数为RWG基函数，这是三位电磁学家S.M.Rao，Wilton以及Glisson于1982年提出。取网格上的任意棱边，共用该棱边的两个三角形为和，则针对棱边定义的基函数为：

其中 , ，为棱边在上对应顶点坐标，为棱边在上对应顶点坐标，和分别为三角形和的面积，如此这般，三角形上的每个棱边都可以定义一个矢量形式的基函数，那么分布于该三角面元上的电流可以用定义于三个棱边上的矢量基函数 , 以及通过线性叠加的方式进行表示：

以上关系对于目标体上的任意三角面元均成立，即处于任意三角面元上的电流分布总是可以表示为公共棱边上的基函数的线性叠加，所以对于目标体表面电流有：

这样基于矩量法完成了对目标体的离散。

Step3:匹配

通过前面两个步骤，我们建立了目标体表面电流满足的“支配方程”：

也通过目标体的离散，建立了表面电流的“假想解”：

其实这个“假想解”还是一个未知解，基函数前面的系数统统都是未知量，我们最终的目的就是要求解出所有的，从而就完成了表面电流的求解，这个过程就是“匹配”，顾名思义，用“假想解”去匹配“真实解”。

由于“假想解”的未知量有N个，因此需要建立N个方程，做法就是使用N个测试函数去测试，每次测试都会建立一个方程，N次测试可以建立N个方程，方程组可以简化为：

其中，依据入射电场求得，为已知量，为电流分布的系数，是待求的系数，的具体表达形式较为复杂，我就不展开了，但其物理含义代表了m位置处的电流源和n处的电流源之间的耦合，可以通过积分进行求解。通过解方程组，可以求得所有位置处的电流源，则整个目标体上的电流分布为：

通过解方程组，可以求得所有位置处的电流源，则整个目标体上的电流分布为：

再利用“源-场关系”可以求得等效源的散射场“ ”和“ ”的分布：

空间中总场分布就是散射场与入射场之和。

3.4快速多级子（MLFMM）

矩量法的出现将未知量的求解区域从“场分布空间”聚焦到目标体上，虽然极大减少了未知量的数目，但是由于“等效源”之间的互耦关系，待求解的散射矩阵为稠密矩阵，求解过程需要消耗大量的存储内存和求解时间，对于电大尺寸目标的计算还是不够友好。此时，快速多级子算法横空出世，其核心思想为：1）根据电流元在空间的位置进行分组；2）基于“矢量加法原理”将组内不同电流元发出的辐射场变成一个共同中心辐射的场。通过这一过程大幅减少了未知量的互耦所带来的巨大计算量。

我们现在利用“快递邮寄”来对这个过程进行解释，假定：国内的每个城市都是一个“电流元”，每个城市之间包裹一次往来就是“电流元”之间互耦的计算，每个省就是一个“分组”，省会就是“组中心”。

现取两个省（任意两个分组）中，并分别从中各取四市（电流元），八个城市之间进行“快递往来”（互耦计算），这个问题可以分为两类：1）同省之间的快递往来（组内电流元的互耦计算）；2）跨省之间的快速往来（组间电流元的互耦计算）。

矩量法：不管是同省快递还是跨省快递，每个城市都向剩余7个城市开辟一条货运路线，进行快递运输，其路线图就如图所示，看到这样这样的路线图，相信你也凌乱了；

“矩量法”的模式

快速多级子：将同省快速和跨省快递分类解决：1）对于同省快递，运输方案与方案一相同，每个城市分别开通至剩余三市的运输线路；2）对于跨省快递，则先在各自省会设立一个“集散中心”，先将广东四市的快递运输至广州（聚合），再将包裹统一发往福州（转移），最后再由福州分发至福建四市（解聚），其路线图如图所示，由图可知，线路图规整了许多，简直就是强迫症福音。

“快速多级子”的模式

由图可知，通过“聚合-转移-解聚”这个过程，跨省之间的运输线路显著减少，反映至快速多级子算法上，就是未知量之间互耦计算规模显著减少，而且这种优势会随着未知量增加呈现出指数级变化，从而显著减少内存消耗，提高计算速度。

当然，凡事有利就有弊，快速多级子算法在收获“计算速度提高，内存消耗减少”优点的同时，也付出了“精度下降，收敛性变差”的代价，这个暂且不表，如果大家感兴趣，点赞过百，我会再出一期，详细介绍快速多级子算法引起精度下降，收敛性变差的底层原理。

好了，如同”裹脚布“一般的这篇文章终于结束了。首次尝试这种万字长文，从年前写到年后，拖更了快两个月，在经历了一个多月的“学习-消化-理解“这样一个过程后，终于以一种我认为最通俗易懂的方式完成了枯燥深奥的计算电磁学理论的讲解。希望各位读者大人能分三个层次掌握计算电磁学的基本理论。第一层次：对文中有关计算电磁学基本理论的类比图形成深刻的印象；第二层次：能掌握文中关于计算电磁学理论的几个重要的数学推演过程；第三层次：能通过文末补充的专业学术文献和课程笔记全面掌握计算电磁学的所有数学推演过程与结论（当然，这也就成神了）。

最后，我想回到文章最开始的疑问：“作为一个CAE设计师，有必要了解计算电磁学吗？”

看完这篇文章，明天你的仿真该花多长时间可能还是花多少时间，该遇到的bug可能一个也不会少，该不收敛的时候可能还是不收敛......，它可能无法解决你仿真过程中遇到的棘手问题，但却可以像武林绝学中的“心法“一样，帮助你在电磁CAE的修罗场里，能够始终多一份笃定与从容......

来源：电磁CAEer