非线性有限元分析之超弹模型Mooney-Rivlin
在之前的几篇文章中，我们介绍了非线性有限元分析中的超弹模型，同时也详细介绍了Arruda-Boyce和neo-Hookean两个经典模型。今天我们就来介绍另一个经典的超弹模型：Mooney-Rivlin。
Mooney-Rivlin分别以两位力学家M. Mooney和R. S. Rivlin的姓氏组合来命名。1940 年，Mooney在著名的Journal of Applied Physics期刊发表一篇名为A theory of large elastic deformation的论文，8年后的1948年，Rivlin在Philosophical Transactions of the Royal Society of London期刊上发表了名为Large elastic deformations of isotropic materials的文章。于是就有了今天的Mooney-Rivlin模型，曾一度统领橡胶力学研究的整壁江山。同时，也为其他以应变张量不变量（invariant）为核心的模型奠定了基础。另一类超弹模型是以主拉伸（principal stretches）为核心的模型，如Ogden模型，我们会在以后的文章中介绍到。
1893年，Mooney出生于美国密苏里州的堪萨斯城，24岁时获得密苏里大学的本科学位，30岁时获得芝加哥大学的博士学位。曾是美国国家研究委员会的的会士（National Research Council Fellow）,也曾经在西部电气公司和美国橡胶公司担任物理学家。和我们之前介绍的Rivlin一样，Mooney博士将一生的工作和研究都贡献给了高分子材料力学。当然Mooney要比Rivlin年长个20多岁。关于Rivlin博士已经在上一篇文章中有介绍，这里就不再赘述了。
和其他超弹模型一样，我们用弹性应变能来表征力学性能。Mooney-Rivlin根据阶数高低，常见的有4种：2参数，3参数，5参数，和9参数应变能。
Mooney-Rivlin 2参数的弹性应变能为：
Mooney-Rivlin 3参数的弹性应变能为：
Mooney-Rivlin 5参数的弹性应变能为：
Mooney-Rivlin 9参数的弹性应变能为：
从上面的4个弹性应变能公式可以看出：
高阶数的应变能模型可以模拟更加复杂的应力-应变曲线，但也意味着需要更多的计算量，实验，以及参数拟合。同时增加了非线性求解器的负担，可能会导致更难收敛。
Mooney-Rivlin模型是多项式（Polynomial）模型的特殊形式。当N=1时，多项式模型缩减为2参数Mooney-Rivlin，当N=2时，多项式模型缩减为5参数Mooney-Rivlin；当N=3时，多项式模型缩减为9参数Mooney-Rivlin。
2参数模型中，当参数C01为零时，简化为Neo-Hookean模型（C10系数2倍关系）。非零的C01项使得单轴拉伸受力下的变形预测更为准确，但该模型还不能准确模拟多轴受力数据。或者由某种变形试验得到的数据，不能用来预测其它类型的变形。
2参数模型的剪切模量为定常系数\mu=2（C10+C01），不适合用来模拟炭黑填料硫化橡胶。C10和C01均为正定常数。对于大多数橡胶，C10/C01≈0.1~0.2时，在应变150%以内可得合理的近似。
三项或多项Mooney-Rivlin模型可以描述非定常剪切模量。然而，引入高次项后需小心计算，因其可能会产生不稳定应变能值，得到超出试验范围的非物理结果。
应变能函数的选用与正定性
这四种函数的Mooney-Rivlin模型实际仿真中应该选用哪个呢？往往根据材料实验的应力-应变曲线来确定。如单曲率（没有拐点）应力应变曲线，可以使用2或3参数。双曲率（含有一个拐点）可以使用5参数。三曲率（含有2个拐点）可需选用9参数模型。
同时为了产生有效且正确的超弹材料特性，Mooney-Rivlin参数须满足特定的正定性要求。如不能满足这些约束条件，可能导致求解无法收敛。对于不同参数的Mooney-Rivlin，满足正定性的参数约束要求如图所示。
总体来说，Mooney-Rivlin模型得到了广泛的认可和应用。尤其是在小应变范围内（0~100%拉伸和30%压缩）能够较好的表征橡胶材料的力学行为。不同参数的模型也提供给用户针对不同工况更多的选择。然而，Mooney-Rivlin也有一些局限性：
不适合用于变形超过150%的工况。
高阶Mooney-Rivlin由于参数较多，参数相对比较难从手册或文献中获得，需要通过对实验数据的曲线拟合来得到。
不适用于可压缩超弹材料，如泡沫材料的分析。
对所输入数据范围以外的实验数据的预测误差较大。
Mooney-Rivlin超弹模型的非线性有限元分析
本例中，我们将使用5参数Mooney-Rivlin对橡胶材料的压缩状态进行分析。
定义Mooney-Rivlin超弹材料
这里我们模拟橡胶材料，并输入参数为：C10=-0.55 MPa, C01=0.7 MPa, C20=1.7 MPa, C11=2.5 MPa, C02=-0.9 MPa, D1=0.001 MPa^-1。
建立模型
建立一个直径为10mm，高为10mm的圆柱体。划分网格。固定底部约束。并对顶部面施加向下5mm的位移。
求解
由于非线性较强，我们设置30个子步。并点击求解按钮。
查看结果
等效应力分布如图所示。可以发现在等步位移工况下，应力呈非线性分布递增。
