第五章动力反应数值计算-2

3年前浏览2450

5.3 中心差分法（central difference method）

中心差分法的是一种直接法，属于显示的计算方法。
对于控制方程：
$m\ddot{u}+c\dot{u}+ku=p \tag{1}$
直接离散为如下形式：

$\dot{u}_{i}= \dfrac{u_{i+1}-u_{i}}{2\Delta{t}} \tag{2}$

$\ddot{u}_{i} = \dfrac{u_{i+1}-2u_{i}+u_{i-1}}{\Delta{t}^2} \tag{3}$

$m\dfrac{u_{i+1}-2u_{i}+u_{i-1}}{\Delta{t}^2} +c\dfrac{u_{i+1}-u_{i-1}}{2\Delta{t}} +ku_{i} =p_{i}\tag{4}$

$\Big[\dfrac{m}{(\Delta{t})^2}+\dfrac{c}{2\Delta{t}}\Big]u_{i+1}= p_i - \Big[k-\dfrac{2m}{(\Delta{t})^2}\Big]u_{i} - \Big[\dfrac{m}{(\Delta{t}^2)} - \dfrac{c}{2\Delta{t}}\Big]u_{i-1} \tag{5}$

${\hat{k}}_{i+1}{u_{i+1}}={\hat{p}}_{i+1} \tag{6}$

其中:

${\hat{k}_{i+1}}=\Big[\dfrac{m}{(\Delta{t})^2}+\dfrac{c}{2\Delta{t}}\Big] \tag{*} \\$

${\hat{p}_{i+1}}=p_{i} - \Big[k-\dfrac{2m}{(\Delta{t})^2}\Big]u_{i} - \Big[\dfrac{m}{(\Delta{t}^2)} - \dfrac{c}{2\Delta{t}}\Big]u_{i-1} \tag{**}$

例题5.2，用中心差分法求解例题5.1

import math as mt#------------------------------------------# This is initial conditions, like the mass# stiffness, damping coefficient and so on.# The time step is 0.1 second.m = 0.2533; k = 10; c = 0.1592; u0 = 0; udot0 = 0;dt = 0.1;p0 = 0#------------------------------------------uacc = (p0-c*udot0-k*u0)/muminus1 = u0 - dt*udot0 - (dt*dt/2)*uacckhat = m/(dt*dt) c/(2*dt)a = k - 2*m/(dt*dt)b = m/(dt*dt) - c/(2*dt)#------------------------------------------#pForce is a sine function, its amplitude is 10.#------------------------------------------def pForce(x):
    if x > 0.6:
        return 0
    return 10*mt.sin(mt.pi*x/0.6)def centralDifferenceMethod(m):
    c = u0;
    d = uminus1
    p = p0
    for i in range(m):
        p = pForce(i*dt) - a*c - b*d
        u = p/khat
        c, d = u, c
    print(p,u)centralDifferenceMethod(11)-33.80315216664004 -1.2938510360039823

首发于 2018-03-02