快速多级子算法（FMM）介绍和实现

本文摘要（由AI生成）：

本文用简洁的语言介绍了快速多级算法（FMM）的原理和实现，并展示了使用C++开发的FMM模块，用户可以自定义核函数等参数，适用于解决大规模工程问题。FMM通过树形结构减少计算量，提高计算效率。文章还介绍了FMM与边界元方法、矩量法结合解决大规模声场、电磁场问题的应用，并展示了使用Laplace核函数的性能比较，显示了FMM在解决大规模问题时的优势。

国内对FMM（Fast Multipole Method）的介绍都比较复杂，涉及大量的计算公式。

本文试图用最简单的语言介绍FMM的原理和实现，并介绍使用C  开发的快速多级算法模块，用户可自定义核函数，收敛标准，截断系数等参数，可用于实际工程，后续会介绍FMM与边界元方法（Boundary Element Method）/ 矩量法（Method of Moment）结合解决大规模声场，电磁场问题。

在前面简单介绍了快速多级算法 FMM。快速多级子算法能加快解决非对称满秩矩阵，扩展了矩量法，边界元等方法的应用规模，使其能解决较大规模的实际工程问题。

以下是电磁计算软件FEKO中关于多层快速多级算法（MultiLevelFMM）的介绍，是对FMM的一种改进：

https://www.feko.info/product-detail/numerical_methods/mlfmm

1. 概述

FMM算法的提出来源于多粒子系统相互作用的势场计算，比如带电粒子或者天体之间引力等。以静电场为例，空间中N个带点离子构成的系统，第i个离子所在位置的静电势 A（xi） 表示为：

其中 

1. i不等于j；

2. xi是第i个粒子所在的坐标；

3. mj是第j个粒子所占的权重，与带电量呈正比；
4. rij是第i个粒子和第j个粒子之间的距离；

按照常规计算方法，对N个粒子实现求和问题，计算量达到O(N^2);

在BEM MOM 等数值计算中，一次这样的求和也就是一次矩阵和向量的乘法迭代。

FMM的实现基本思想是以树形结构为基础，通过多级展开和局部展开，把原对象进行分层分组，将N*N的关系转换为少数组对象之间的关系（如上图），从而减少计算量。该算法实现的核心是如何把每个对象归纳到一组对象中，这个主要是通过动态树结构来实现的。

计算过程如下：

1. 多级展开：

多级展开将叶子节点内（每个小方块内）所有多级展开系数累加，即可以得到该叶子节点的多级展开系数，展开节点为叶子节点的中心。

2.多级-多级转换（Level-2）

将源点和目标点系数进行转换

3.多级-局部转换（Level-2）

利用多级展开向局部展开系数的传递关系式，将该节点的“相互作用表”（紫色直线连接区域部分即为左上角点的相互作用表）中所有节点的多级展开系数传递，并累加到该节点的局部展开系数，局部展开点是该点的中心

4.局部-局部转换（Level-2）

5. 多级-局部转换（Level-3）

6. 最终求和

2. 实现

FMM基础模块，该模块采用C  开发，使用面向对象思想，定义了基础的核函数，并实现了几种简单的核函数，用户可以继承定义自己的核函数，从而应用到流体，电磁，声场等各种需要计算非对称满秩矩阵的数值计算方法中。

基本函数和数据结构：

主要函数：

CreateFMMTree       //递归的方法构建节点，生成四叉树或者八叉树结构;

L2L/Local2Local              //局部到局部转换;

M2L/Moment2Local        //多级到局部转换;

M2M/Moment2Moment     //多级到多级转换;

UpwardPass             //树结构向上遍历;

DownwardPass        //树结构向下遍历;

下图显示了采用Laplace核函数，一次迭代即 矩阵*向量，FMM和高斯迭代 所用的时间比较，可以看出FMM所用时间与N几乎呈线性，而且精度很高。考虑到求解线性方程组时需要计算N次，在N达到几万以后，高斯迭代法在PC上基本求不出结果。

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