位移与应变的关系：从变形几何到应变张量

Abaqus 后处理中，应变云图（LE、PE 等）和应力云图一样常用。但应变究竟是怎么从位移推导出来的？刚体转动和真实变形在数学上如何区分？

本文从位移场出发，建立位移与应变之间的几何关系，给出完整答案。

一、位移场

在外部作用下，可变形固体内部各点的位置发生变化，即发生位移。如图所示，物体中     、     点发生位移后的位置为     、    。

位移可以用坐标的函数表示：

张量形式为

式中：    、    、     分别为     、    、     方向的位移     、    、    ；    、    、     分别为坐标     、    、    。

可变形固体的位移可以分为两种类型：

• 刚体 位移：不改变物体内各点相对位置的位移，包括平动和转动两部分；
• 变形：改变物体内各点的相对位置的位移。

要区分二者，需要研究物体内任一微小线段的位移。

二、微小线段的位移

设     、     是发生位移前物体内相邻的两点，矢量     ；    、     分别为     、     点发生的位移。位移发生后对应点为     、    ，矢量     。由几何关系：

因此，位移发生后的矢量      可以用原矢量      与其端点的位移来表示。端点位移矢量之差为：

由式 (2)，假设位移      为坐标      的单值连续函数，将位移      在      点做泰勒展开（忽略高阶小量）：

代入式 (4)，得：

其中      称为相对位移张量，它描述了线段矢量各方向的变化量。由式 (5) 可知线段矢量各方向的变化量      可以由原线段矢量      和相对位移张量      来表示。

三、相对位移张量的分解

刚体平动不改变线段的大小和方向，因此相对位移张量      中只包含转动和变形两部分。任何一个二阶张量都可以分解为一个对称张量和一个反对称张量：

上式右端第 1 部分为对称张量，称为应变张量，用      表示；第 2 部分为反对称张量，称为转动张量，用      表示，因此有：

3.1 应变张量     （对称部分）

应变张量是对称张量，对角线元素为正应变（线应变），非对角线元素为剪应变（切应变）的一半。

3.2 转动张量     （反对称部分）

转动张量是反对称张量，对角线元素为零，反映了微元体的刚体转动。

四、为什么应变张量与刚体转动无关？

刚体转动时，线段长度不变，即     ，化简并略去高阶小量得：

将式 (6) 代入，得     。由于      是任意矢量，各项系数必须为零，即：

这说明刚体转动对应的相对位移张量必为反对称张量。而应变张量      是对称部分，因此**刚体转动时     **——应变张量只与变形有关，与刚体转动无关。

总结

本文从位移场出发，通过泰勒展开和张量分解，推导了应变张量的数学表达，并证明了应变张量只与变形有关。

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