第93夜 | 能量法8：功的互等定理直观解释
地点：力学研讨室。
人物：
小生：正在翻看前几夜关于卡氏定理的笔记，眉头微皱。
老师傅：在黑板上画下了两个并排的力-位移坐标系。
1. 遗留的疑问与单载荷做功
小生：师傅，前两天卡氏定理用得确实很爽，无论求位移还是解静不定，求个偏导就出来了。但我心里一直有个疙瘩。
我们在推导卡氏定理时，那个用三角形面积求导得出 的过程，只考虑了结构上只有一个载荷的情况。真实结构上往往有 多个载荷同时作用，那个偏导数关系凭什么依然成立呢？
老师傅：你能一直记着这个悬念，说明你学进去了。要证明多载荷下卡氏定理的合法性，我们必须引入弹性力学中极其优美的基石——功的互等定理（Betti's Theorem）。
为了最直观地理解它，我们先看一个高度简化的版本。假设我们在同一个弹性体的同一个点上，沿着同一个方向，先后施加两个力 和 。我们约定， 代表仅由 引起的位移， 代表仅由 引起的位移。
小生：同一个点，同一个方向？那受力状态不就相当于把两个砝码先后挂在同一根弹簧的同一个挂钩上吗？
老师傅：非常精准的类比。因为这是线弹性系统，最终的变形和能量只与最终的受力状态有关，与你先加哪个力、后加哪个力的加载顺序毫无关系。
现在，我们来走路径一：先加 ，后加 。
第一步，我把 从 0 慢慢加到满值， 做了多少功？
小生：这是标准的单载荷，在力-位移图上是一个三角形。
2. 矩形功的出现与双下标的引入
老师傅：第二步，关键来了。我现在保持 满值不变，开始施加 。
在这个过程中， 从 0 增加到满值，它自己肯定也做了一个三角形的功，也就是 。（图中绿色三角形）
但是！ 的施加会导致作用点产生额外的位移。在这个额外位移发生时，早就在场上的 在干什么？
小生： 还在满值作用啊！既然作用点又向下移动了，那 肯定又做了附加功。力乘位移，在图上应该就是一个矩形面积的功。（图中横抛面线）
可是师傅，这个由 引起的额外位移，该用什么符号表示呢？总不能还叫 吧，那样一旦放到复杂的结构里，根本分不清谁是谁的位移了。
老师傅：问得好！为了表述严谨，避免在这个交叉影响的阶段产生混乱，我们需要约定一个双下标位移符号： 。
第一个下标 代表考察位移的位置和方向，第二个下标 代表是哪个力引起了这个位移。
小生：哦！ 是“指哪打哪”， 是“谁干的好事”！
那比如 就是 在自己位置和方向上引起的位移；而刚才我们简写的 和 ，其实严谨的写法应该是 和 对吧？
老师傅：完全正确。那你现在用双下标告诉我，在施加 时，那个额外的位移该怎么表示？
小生：由 引起，但是发生在 位置和方向上的位移……应该记作 ！
老师傅：很好。而在我们这个简化的“同一点、同方向”模型中， 和 自己引起的位移 （也就是简称的 ）在数值上是什么关系？
小生：因为都在同一个点同一个方向，所以它们完全相等！ 。
我明白了！在这个过程中， 始终保持着满值状态，所以 做的附加矩形功就是：
老师傅：漂亮！所以沿着路径一，把所有的功加起来，系统吸收的总应变能是：
3. 路径二：时光倒流的逆向操作
老师傅：现在，我们让弹性体恢复原状。尝试路径二：先加 ，后加 。
第一步，先加 时做了多少功？
小生： 先从 0 加到满值，自己做了一个三角形的功： 。
老师傅：第二步，保持 满值不变，开始施加 。这个时候，能量又增加了哪几部分？
小生：首先是 刚上场，它自己也要做一个三角形的功： 。
其次，就是那个交叉的附加功了！
老师傅：用刚才学的双下标，详细说说这个附加功是怎么产生的。
小生： 的施加会让该点产生额外位移。按照双下标规则，这个由 引起、发生在 方向上的位移应该记作 。
因为是同一点同方向， 就等于 自己的位移 ，也就是 。
老师傅：此时早就满值守候的 做了多少功？
小生： 乘上这段额外位移，做了一个矩形的功：
把它们加起来，沿着路径二的总应变能就是：
4. 揭示真理：互等定理与刚度印证
老师傅：由于弹性体的总应变能与加载路径无关，路径一的总能量必须等于路径二的总能量。你把两个等式连起来看看。
小生：
等式两边的红三角形和绿三角形一模一样，直接抵消了！
剩下的，只有那两个代表交叉影响的矩形面积：
师傅，如果换回我们简化版的单下标，也就是：
这就是互等定理！
老师傅：没错。翻译成大白话就是：力 在力 引起的位移上所做的功，必定等于力 在力 引起的位移上所做的功。
而且，既然我们假设了它们加载在同一个物体的同一个点上，你能用更基础的公式来印证这个结果吗？
小生：当然可以！因为始终针对的是同一个物体的同一点、同方向，系统对这两个力的等效刚度 是完全相等的！
所以有： ， 。
我把它们代入互等定理的左右两边：
左边：
右边：
左右两边完全相等！从弹簧刚度的底层逻辑上，再次完美验证了 ！
老师傅：很好。这个简化版的直观推导，帮我们揭示了互等定理最核心的对称美。正是有了这个极度对称的互等关系作担保，多载荷系统中的交叉做功项才能被完美化解。这就是为什么即便结构上有成百上千个力，你依然可以安心地用卡氏定理 去求偏导算位移。
不过，今晚我们用的“同一点、同方向”只是一个极为特殊的简化假设，也是为了让你明白双下标的真实含义。下一讲，我们将撤掉这个假设，给出多个作用力作用在不同位置的互等定理一般化版本，让你见识真正的广阔天地。
