第79夜 | 压杆稳定6：两端固支压杆临界压力推导
地点：力学研讨室。人物：
小生：胸有成竹，拿着粉笔站在黑板前。 老师傅：坐在椅子上，满意地看着小生。
1. 超静定的僵局：找出被隐藏的弯矩
老师傅：上一夜，你用微积分把“一端固支一端自由”的硬骨头啃下来了。今晚，我们来挑战工程中最坚固、也最复杂的约束——两端固支压杆。 这种压杆两端都被死死浇筑在混凝土里，属于超静定结构。小生，还是老规矩，考察它发生微弯时的平衡状态。你先以底端为原点建立坐标系，分析一下两端的受力情况。
小生：好！我以底端为原点建立向上为 轴的坐标系。 既然两端都是固支的，那在失稳变形时，两端既不能移动，也不能转动。这意味着，两端除了有竖向的压力 ，还会产生一个强行把杆子“掰直”的约束力偶矩 ！
老师傅：分析得不错。由于压杆发生的是对称的微弯失稳，根据整体的静力平衡，两端的水平支撑力相互抵消为零，但上下两端都会出现方向相反、大小相等的约束弯矩 。现在，你在任意截面 处切开，取下半部分分析，试着列出它的弯矩平衡方程。
小生：我来看看……截面处我们假设存在一个抵抗的内弯矩 （规定使压杆凸向右侧为正）。这段下半部分杆件受到的力有：截面处的内弯矩 ，以及底端的外力。底端外力包含竖向反力 和顺时针的约束力偶矩 。 竖向力 偏离当前截面形心的距离刚好是挠度 ，所以 对截面形心产生的力矩是逆时针的，大小为 。 根据合力矩等于 0 的平衡条件，全局方向逆时针为正，顺时针为负，列出方程：
老师傅：很好。移项整理一下，截面上的内弯矩 是多少？
小生：把 移到等号另一边，得到：
2. 再遇非齐次：寻找特解
老师傅：力学模型找得很准。接下来进入纯粹的数学时间。代入挠曲线近似微分方程。
小生：代入方程 ：
把 的项移到左边，并令 ：
师傅，这又是一个二阶常系数非齐次线性微分方程。等号右边多了一个常数项 。 它的完整解等于“对应齐次方程的通解（齐次解） + 特解”。 齐次解是老面孔了： 。 至于特解，因为右边是常数，我猜特解也是个常数 。代入方程左边， 的二阶导数为0，剩下 ，所以 。 把 代回来，特解就是 ！ 所以，非齐次通解大功告成：
3. 严苛的约束：四重边界条件隐含的信息
老师傅：通解找得很利落。但是小生，你看这个通解里，除了未知的积分常数 和 ，还藏着一个未知的约束弯矩 。 三个未知数，这该怎么解？
小生：不怕！两端固支是所有约束里最严格的，它一次性给了我们足足 4 个边界条件！ 底端（ ）：挠度 ，转角 。 顶端（ ）：挠度 ，转角 。 四个条件杀三个未知数，绰绰有余。我先把通解求个导：
老师傅：好，先用底端的两个条件，把 和 解决掉。
小生：代入 ：
代入 ：
哈！ 直接没了， 变成了 。把它们代回方程，现在的挠曲线其实长这样：
4. 殊途同归：特征方程的终极裁决
老师傅：现在，把剩下的两个顶端边界条件砸上去。去审判那个决定失稳的 。
小生：代入 ：
因为约束弯矩 ，所以括号里必须为 0：
再代入 。因为 ，代入得到：
师傅，这两个条件没有产生矛盾！它们完美地指向了同一个结果：要让余弦等于 1，同时正弦等于 0，角度 必须是 的偶数倍！
我们要找的是让压杆首次失稳的最小非零解，显然不能取 0。最小的值就是 ，即：
老师傅：胜利就在眼前，换算出最后的临界力 吧。
小生：把 代进去：
两边同时平方：
为了让它符合欧拉公式的普遍形式，我把分子上的 4 放到分母的平方里去：
小生：（放下粉笔，眼睛闪闪发光）师傅，分母上清清楚楚地写着 ！ 这证明，两端固支的压杆，它的等效长度严格等于真实长度的一半。长度系数 绝不是什么近似，它是非齐次微分方程在四重绝对约束下，不可阻挡的数学必然！
