作业9-6答案 由应变花测得构件表面上某点处三个方向的线应变
一、题目
由应变花测得构件表面上某点处三个方向的线应变：
材料的弹性模量和泊松比分别为：
求：
（1）该点与应变方向对应的正应力 、 和 ；
（2）该点的主应力 、 、 ，及最大切应力。
二、解题思路
该点位于构件表面，可按平面应力状态处理。先根据 和 两个互相垂直方向上的线应变，利用广义胡克定律求出 和 。
再利用应力转换公式，将 和 表示为 、 和 的函数，然后结合 方向的广义胡克定律求出 。
最后根据 、 和 求主应力及最大切应力。
三、由 和 求 、
对一组互相垂直方向，有二向应力状态的广义胡克定律：
因此，对 和 方向，有：
已知：
于是：
代入广义胡克定律，得到方程组：
解得：
四、由 求
采用应力转换公式：
有：
当 时：
因此：
与 方向垂直的方向为 ，所以：
对 方向应用广义胡克定律：
已知：
又有：
代入：
整理得：
因此：
即：
五、求
由：
代入：
所以：
六、求主应力
该点为平面应力状态，因此：
平面内两个主应力为：
其中：
应力圆半径为：
于是：
平面外主应力为：
按照大小排序：
七、求最大切应力
三维应力状态下最大切应力为：
由于：
所以：
因此：
八、结果汇总
由应变花测得构件表面上某点处三个方向的线应变：
材料的弹性模量和泊松比分别为：
求：
（1）该点与应变方向对应的正应力 、 和 ；
（2）该点的主应力 、 、 ，及最大切应力。
二、解题思路
该点位于构件表面，可按平面应力状态处理。先根据 和 两个互相垂直方向上的线应变，利用广义胡克定律求出 和 。
再利用应力转换公式，将 和 表示为 、 和 的函数，然后结合 方向的广义胡克定律求出 。
最后根据 、 和 求主应力及最大切应力。
三、由 和 求 、
对一组互相垂直方向，有二向应力状态的广义胡克定律：
因此，对 和 方向，有：
已知：
于是：
代入广义胡克定律，得到方程组：
解得：
四、由 求
采用应力转换公式：
有：
当 时：
因此：
与 方向垂直的方向为 ，所以：
对 方向应用广义胡克定律：
已知：
又有：
代入：
整理得：
因此：
即：
五、求
由：
代入：
所以：
六、求主应力
该点为平面应力状态，因此：
平面内两个主应力为：
其中：
应力圆半径为：
于是：
平面外主应力为：
按照大小排序：
七、求最大切应力
三维应力状态下最大切应力为：
由于：
所以：
因此：
