第59夜 | 外伸梁变形计算实例：当“载荷叠加”遇上“变形叠加”
“上一讲咱们参透了外伸梁“分段刚化”的内功心法。今天咱们来一场真刀真枪的实战。看这张传动轴的受力图”
地点：研讨室。黑板上画着一根阶梯轴的受力简图。
人物：
小生：手里握着昨晚刚抄下的“分段刚化”口诀，跃跃欲试。
老师傅：指着黑板上的传动轴，微笑着布置了今天的破局任务。
1. 破题：从“载荷叠加”开始的拆解
老师傅：小生，上一讲咱们参透了外伸梁“分段刚化”的内功心法。今天咱们来一场真刀真枪的实战。看这张传动轴的受力图。
轴在 A、B 两处有轴承支撑，跨中受一个向上的力 。右端 C 处装着齿轮，受一个向上的啮合力 。跨度 AB 长 ，外伸段 BC 长 。现在，求齿轮 C 处的挠度 和轴承 B 处的转角 。这个问题我们可以给它简化成一个受到两个力的外伸梁：
小生：好家伙，跨中受力，外头还挑着个力。不过我不怕，遇到多载荷，第一步永远是载荷叠加！
第一种情况：只有右端外力 单独作用。
第二种情况：只有跨中外力 单独作用。
算出这两者的变形，最后再加起来就行！
2. 深水区： 单独作用下的“变形叠加”
老师傅：思路很对。咱们先看 单独作用的情况。这里可是没有现成表格能查的。
小生：这就该昨晚学的变形叠加（分段刚化）出场了！
为了求出 C 点的真实位移，我得把整个外伸梁的变形分成两部分来考虑：
AB 段发生变形，把 BC 段看作刚体。
BC 段发生变形，把 AB 段看作刚体。
第一步：AB 段弯曲，BC 跟着“翘”
老师傅：先看第一部分，怎么计算受力的 BC 段对 AB 段的影响？
小生：这招叫“移花接木”。我把 C 端的力 平移到支座 B 点。平移后，在 B 点会产生两个效果：
一个向上的集中力 。
一个逆时针的集中力偶矩 。
老师傅：这两个力，谁才是让 AB 段弯曲的真凶？
小生：那个向上的 直接顶在支座 B 上，全被轴承扛下来了，对 AB 段的变形毫无影响。
老师傅：话虽如此，咱们也来查一下表。下面这个表说明集中力 作用下，简支梁的挠度和转角都和 到B点的距离 有关。当 时，变形确实为0。
小生：果然如此，所以，真正把 AB 段掰弯的，是那个力偶矩 。
此时，AB 段就成了一个右端受力偶矩的标准简支梁。直接查表：
（转向为逆时针）。
老师傅：非常好。AB 段弯了，那被刚化的 BC 段呢？
小生：BC 段是直棍子，它跟着 B 点的逆时针旋转一起“翘”了起来（图 85）！这就导致 C 点产生了一个向上的刚体 位移：
第二步：BC 自身弯曲，AB 化作“铜墙铁壁”
老师傅：接下来算 BC 段自身的变形。
小生：这次把 AB 段刚化。AB 一变硬，对于外伸段BC来说，就成了一堵死死的固定墙。BC 段瞬间变成了长度为 、端部受向上力 的悬臂梁！
直接查悬臂梁表格，表格里面集中力 是向下的，咱们这里 向上，所以把 代入，得到自由端 C 的向上挠度为：
第三步：综合拼接
老师傅：完美。现在把这两部分拼合，就得到了 单独作用时，外伸梁的总变形。
小生：在 作用下，C 点不仅因为刚体 位移上翘，还因为自身悬臂弯曲向上翘。两者相加：
而 B 点的转角就是：
3. 降维打击： 单独作用的“顺水推舟”
老师傅：最硬的骨头啃下来了。现在看看跨中受力 单独作用时的情况。
小生：这就轻松多了！
作用在 AB 跨中，AB 段就是个标准的简支梁受集中力。由于 向上顶，和表格里面的 方向相反，所以代入公式令 ，它会让右端的 B 点发生顺时针旋转。查表得转角大小：
（这里的负号代表顺时针旋转，与咱们逆时针为正的坐标规则一致）。
老师傅：AB 段弯了，那右边没有受力的 BC 段呢？
小生：老规矩，由于 BC 段没受外力，内部弯矩为零，所以它又被天然“刚化”成了直棍子。因为 B 点顺时针转动了，这根直棍子就会顺势“往下垂”。
所以，C 点产生了一个向下的位移：
4. 终局时刻：超级拼图的完成
老师傅：现在，所有的碎片都集齐了。把 和 的效果最终叠加在一起吧。
小生：
对于 C 点的总挠度 ：它是 导致的上翘（正）与 导致的下垂（负）的较量：
对于 B 点的总转角 ：它是 导致的逆时针（正）与 导致的顺时针（负）的抵消：
老师傅：大功告成！你不仅运用了宏观的载荷叠加法，还嵌入了变形叠加法（分段刚化）。把理论力学里面的力平移法则和材料力学完美缝合在了一起。
小生：师傅，看着这最终长长的一串公式，如果没有“分段刚化”的思维把外伸梁拆成简支梁和悬臂梁，这题要是硬用积分法去算，我恐怕得在考场上写到天亮啊！
老师傅：哈哈，工程学的美感，就在于用最巧妙的拆解，避开最繁琐的泥潭。这套“搭积木”的本事，你现在算是彻底出师了。
