工程应力和真实应力到底是怎么回事

引言  

      我们在看弹塑性有限元分析文献时，经常会遇到工程应力、真实应力以及他们之间的关系。本文将讲述工程应力应变以及真实应力应变的定义及转换计算关系，并通过简单的拉伸仿真来说明两者的差别。首先先来看下两者究竟是怎么回事，有什么区别：

图1.拉伸试验

      首先来看图1的拉伸试验，将试棒固定在夹持端，然后引伸计夹持在试棒的中间位置，用于检测该部分伸长量的变化。然后夹持端有力传感器，可以检测拉力的大小。

工程应力应变计算方法  

    在图1所示的试验中，由于只能检测到试棒引伸计检测段的伸长量以及拉力，同时在试验前确定试棒中间段的直径(可计算出试棒初始截面积A)。根据这些参数就可以计算出试棒中间段的拉伸应力及应变：

     根据上面的公式，可以计算出拉伸试验中的应力应变曲线，而上面的应力及应变则是工程应力和工程应变，曲线如下：

图2.工程应力与应变曲线

      从上面可以看出工程应力及工程应变都是基于原始的截面积及原始长度。但是实际的拉伸过程中试棒的截面积与长度都在发生变化，因此有时工程应力应变并不能真实的反应出材料变形过程中的真实应力和应变，故提出真应力和真应变的概念。

真实应力和应变的计算方法  

      根据上部分分析，真实应力应变的计算公式可以用下面的式子表示：

......(1)

3.1体积不变原则计算方法

     前面的分析中：弄明白塑性材料拉伸试验仿真过程已经知道弹塑性材料变形一般分弹性、塑性、缩颈几个阶段。假设在材料缩颈前体积是不变的，则截面积和长度的关系如下：

......(2)

       然后可以推导出真应力的计算公式(式1中已经计算出工程应力)

......(3)

     根据以上公式，真应力应变曲线变化如下(蓝色曲线)：

图3.真实应力与应变曲线

      从图3可以看出在屈服阶段以前(或者应变量小于2%时)，工程应力与真实应力基本一致，工程应力与真实应力差别不大。

      但是基于体积不变原则的情况下，还是不能计算出颈缩过程中应力应力，下面将阐述考虑颈缩时下的应力应变曲线。

3.2缩颈段真实应力应变计算模型

      假设在试棒发生颈缩时，横截面依然为圆，然后颈缩变形后整个试棒的伸长只发生在颈缩部位。并且假设颈缩后的外轮廓为双曲线，双曲线为半径为。发生颈缩前的长度为，发生颈缩后的长度为，缩颈之前的直径为，具体如下图所示：

图4.颈缩变形

        同样在缩颈时可以认为体积是不变的，计算公式如下：

......（4)

然后根据式(4)可以推导出：

......（5)

      其中，将该式代入(5)中，得出缩颈段发生缩颈前的长度为：

......(6)

      最后可以计算出颈缩段最小的截面直径：

.....(7)

       这样通过拉力以及缩颈后的最小截面积就可以算出试棒的真实应力。

3.3应力修正

     由于结构发生颈缩，使结构形状发生较大变化，此时试棒不再只是受单向力，也就是说，此时通过式(7)计算出的真应力不是真实的拉伸应力(试棒此时有切应力、径向应力、轴向应力)。因此需要对(7)计算出的结果进行修正。

       修正方法采用Bridgman试验方法进行修正，修正后的公式如下：

仿真对比分析  

      以上内容分析了工程应力应变与真实应力应变的区别及转换方法，下面通过应用工程应力应变曲线-真实应力应变曲线分别进行拉伸仿真，观察区别。

4.1试棒尺寸参数

      以下图试棒尺寸为例子，采用1/2截面，建立abaqus轴对称模型。

图5.试棒仿真尺寸及网格模型

4.2材料参数

      然后在相关文献中获取工程应力应变曲线及真实应力应变曲线，并提取曲线中的数据作为仿真分析中的塑性参数：

图6.曲线及数据

参考文献《高强度螺栓材料全过程真实应力-应变关系研究》

 4.3边界条件

       首先在试棒上下部分建立参考点，然后在参考点和附件的节点建立耦合约束。最后在下部的参考点建立固定约束，上部的参考点建立位移约束(向上移动3mm)。

图7.耦合约束及边界条件

    然后在试棒中间对称位置建立两个参考点(两点的距离为40mm)，这两个参考点可作为引伸计位置的参考点。

图8.参考点(引伸计位置)

4.4仿真计算对比

      首先来看工程应力仿真结果，图9左侧是拉伸应力仿真结果(1160Mpa)，右侧是参考点相对位置变化，也就是拉伸变化量1.7mm，应变为1.7mm/40mm=0.0425。结合图6工程应变大约在1150~1160Mpa，与仿真结果基本一致。

图9.工程应力(1.7mm)

       然后再看真实应力仿真结果，图10左侧为拉伸应力仿真结果(1202Mpa)，右侧为拉伸变化量为1.3mm，应变计算为1.3mm/40mm=0.325，结合图6，真实应力大约为1200~1210Mpa，与仿真结果也基本一致。

图10.真实应力(1.39mm)