通信演义（一）：希尔伯特是谁？居然还有以他命名的滤波器呢？(1)

希尔伯特是谁？居然还有以他命名的滤波器呢？先回答第一个问题。

大卫·希尔伯特（1862-1943）是20世纪最伟大、最有影响力的数学家之一，德国人。您可以把他的历史地位想象成数学界的“爱因斯坦”。

他在数学的多个核心分支都做出了奠基性的工作，包括：不变式理论、代数数论、积分方程等等。他的《几何基础》一书是现代公理化思想的里程碑。在1900年的巴黎国际数学家大会上，他提出了著名的 23个数学问题。这23个问题为整个20世纪的数学研究指明了方向，能够解决其中任何一个问题，都足以让一位数学家名留青史。

他有一句名言，体现了对数学纯粹性的追求：“我们必须知道，我们必将知道。”

那么，一个数学家怎么会和滤波器扯上关系呢？再来回答第二个问题。
这是因为希尔伯特在积分方程和函数空间方面的理论研究，后来被发现与一个特殊的信号处理概念——解析信号——紧密相关。为了构造这个解析信号，就需要一个能够进行90度相移的滤波器，后人为了纪念他的理论贡献，便将这种滤波器命名为“希尔伯特滤波器”。

希尔伯特滤波器不是一个用来滤除某些频率的普通滤波器（比如低通滤波器滤掉高频）。它的核心作用非常独特：对所有频率分量的相位进行正负90度的移相，同时保持幅度不变。

希尔伯特滤波器很少单独使用，它通常作为一个关键部件，与其他电路或算法结合，实现一些非常重要的功能。

我最近在讲模拟通信，所以要讲解AM和FM解调，自然要涉及希尔伯特滤波器，一起来看看这个滤波器该如何设计？要想设计滤波器，自然要先看它的冲激响应。

大家可以看出此滤波器的冲激响应的特点。

为什么FIR形式能实现？

1. 逼近思想：我们用有限长的、离散的冲激响应 h[n] 去逼近理想的、无限长的、连续的冲激响应 h(t)。

2. 利用对称性：理想的希尔伯特响应是奇对称的，我们设计的FIR滤波器系数也保持这种奇对称性。这保证了滤波器在所有频率上都能提供非常接近 90° 的相移。

3. 因果化处理：通过截断和延迟，我们将一个非因果系统变成了一个因果的、可物理实现的系统。代价是引入了固定的处理延迟。

4. 工程优化：通过选择滤波器的长度 N 和窗函数类型，我们可以在计算复杂度（N越小越好）和性能（通带平坦度、过渡带宽度，N越大越好）之间进行权衡。

现在这种难度级别的编程活都可以留给AI做！那么希尔伯特滤波器能用IIR的形式实现吗？

当然可以！IIR（无限冲激响应）滤波器确实可以用来实现希尔伯特变换，尽管在传统上不如FIR方法常见。这是一个非常深入且实际的问题。

IIR实现方法不是去近似那个理想的冲激响应 h(t) = 1/(πt)，而是直接去逼近希尔伯特滤波器的频率响应，即在一个关心的频带内，实现尽可能平坦的幅度响应和尽可能接近90度的相位差。

实现IIR希尔伯特滤波器的典型方法之一是设计一个90度相位差网络。这通常通过一个全通滤波器来实现。全通滤波器的特点是幅度响应在整个频带上都是平坦的（增益为1），但相位响应是频率的函数。通过精心设计两个全通滤波器，让它们的相位响应在目标频带内始终保持90度的差值，那么这两个滤波器就构成了一个IIR希尔伯特变换对。

选择FIR还是IIR实现希尔伯特滤波器，是一个典型的工程权衡题，在“计算效率”和“相位保真度”之间做选择。

• 选择 FIR ：

• 你的应用对相位精度和信号波形完整性要求极高。例如：生成解析信号用于计算瞬时频率（在雷达、振动分析中）、精确的通信解调。

• 你希望设计过程简单，且不用担心稳定性问题。

• 你有足够的计算资源（如高性能DSP、FPGA）来处理长滤波器阶数。

• 选择 IIR ：

• 你的应用对计算效率和速度要求很高，但对相位失真不敏感。

• 例如：在音频领域进行某些效果处理，其中人耳对相位失真不太敏感；或者在资源极其有限的嵌入式系统中。

• 你可以接受通带内的一些幅度纹波和非恒定的群延迟。

那有了希尔伯特滤波器就能产生单边带信号了？是的！

那怎么写SSB信号生成程序呢？这种难度的程序还能靠AI吗？基本靠的住，不过会有小错误。那么关于AM和FM解调使用希尔伯特滤波器实现的程序又该如何表现呢？也会有一些错误，不过有仿真经验的人可以改正程序中的错误。我这个水平就可以实现。下一篇文章接着聊。未完，待续！