我所常用的材料：摩尔库伦塑性的计算
上次讲屈服准则的时候其实假设了，而在主应力体系下完整的表示MC准则的屈服面其实也可以用以下的方式进行表示（不进行上述假定）：
通过这样的方式，我们定义了空间中6个屈服面，完整的MC屈服面长这样：
然后我们就可以根据屈服面的定义来，确定流动方向，跟上次讲到的Mises模型类似，如果采用associative 的流动方向 （屈服函数与塑性势能函数取同一个），我们可以得到如下的流动方向：
其他的几个屈服面依此类推，得到 ，那么对应相应的屈服面，我们塑性应变的变化率，或者说 就可以表示为：
那么这么做有啥问题没有？答案是有问题的，因为呢由于上面式子中 且 ，那么上述的流动方向就会造成体积应变的增加，大家可以看到，式子中存在的
都会造成塑性分量的trace（迹）的增加，也就是存在体积应变的增加，这种体积应变的增加往往会使得膨胀过量 （与真实值严重不符），那科学家们就想到一个办法（我也不知道怎么想到的，可能是猜到的），那就是将上面的式子中的摩擦角 替换为膨胀角 ，这就是一套这个不行就换一个的原则，but it works. 因此呢也就形成了一套non-associative的塑性理论，也就是流动方向是由塑性势函数得出，而塑性势函数并不等于屈服函数，那么现在我们的塑性流动方向就变成了
一般来说膨胀角 会取得比摩擦角 小很多，这样 , 也就解决了过度膨胀的问题。这也就是为啥Abaqus中会需要大家输入膨胀角（Dilation Angle）的原因。
那么确定了流动方向，我们就可以像Mises塑性一样得其应力增量与应变增量的关系：
其中 与 分别对应着塑性势函数对应力的偏导，与屈服函数对应力的偏导，也就是前边的 与 , 然后确定了这些后，大家就可以利用与Mises塑性中同样的方式得到切线刚度矩阵，进行非线性求解。但这里值得注意的一点是由于 , 所以现在的切线刚度矩阵也并不对称，需要切换成不对称矩阵的求解器，也就是别再用ldlt，pcg这类求解器了！
最后大家可能会有个疑问，那屈服面现在是个棱锥，那流动方向在边上、在角上咋求（那里也不可微啊！），我们今天先到这，下次继续补充这部分的内容。
Note：计算材料是我非常讨厌的一个领域，公式复杂不说，还有各种前人提出来的小技巧，为了好算、为了能算，你说有逻辑吧也有，但不多。后续我可以开个专栏，专门评论一下材料计算中的诸多“近似”与前人们的“奇淫巧计”。
