关于热应力与热应变的思考

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一.热膨胀威力揭秘

我有时会完全低估热膨胀的威力——它在公式里看起来简直人畜无害！🤓 我们来拆解一下：大家都见过这个经典公式应变 = ΔT × α，其中α代表材料的"受热膨胀系数"。铝的α值是23e-6/℃，这个数字小得离谱，简直像小数点集体放假了！乍看之下你可能会嗤之以鼻："切，每度才0.000023？根本不值一提！"

现在让好戏开场！当我们把它代入热应变公式（应变 = ΔT × α），事情就变得有趣了：
ΔT * 23e-6 * 70e9 = 应力
简化后可得：
应力 = 1.61e6 * ΔT

精彩的部分来了：仅仅10℃的温升就能产生高达16.1兆帕的应力！为了让你理解这个概念，想象潜入160米深的水下——那就是我们所说的压力级别。或者更形象地说：如果要阻止一个迷你铝块（比如5cm×5cm）受热膨胀，你需要让一整头大象站在上面。

为什么加热物体能产生如此巨大的能量？让我们聚焦原子层面的理论！当温度升高时，原子会变得异常活跃——它们开始剧烈振动，需要更空间。但如果你把它们固定住（比如夹紧材料），就相当于在喊："不许动！"想象一下试图拦住一群刚吃完糖果的亢奋幼童——肯定会引发剧烈的推挤。这种原子层面的集体受挫感？正是产生巨大力量的根源！

所以核心原理是：热膨胀之所以威力惊人，是因为数以万亿计的原子同时试图舒展身躯。当你阻止它们时，这些微小力量的叠加就会形成巨大应力。😉

二.有热应变就一定会有热应力吗?

有热应变，不一定有热应力，温差不能导致应力。取决于受热时的约束状态，以下介绍自由膨胀和约束膨胀两种状态。

当物体处于无约束状态，即可以自由膨胀，如下圆柱体，当加热到100℃时，它会膨胀，因此有热应变，但是没有任何约束，因此没有机械弹性应变，且应力为0.

如果物体受约束（或与其他零件接触），这些约束会成为热膨胀的阻力，则物体内部会形成内力以平衡这些阻力，因此会产生应力。

不同的材料热膨胀系数不同，当不同材料构成的物体在热载荷下会产生热应变和应力。如下面的PCB板，因板和其它电子器件材料不同，热膨胀系数不同，在受热条件下，膨胀不同，彼此形成阻力而不能自由膨胀。而如果它们都是同一种材料，则可以一同自由碰撞，而不产生应力和弹性应变。

三.热膨胀系数与热应变

热应变大小与材料物性密切相关，具体来说是与CTE热膨胀系数成比例关系。其计算公式如下：注意T_Ref不是指室温，也不是0℃，而是热应变为0时的温度，T为变化后的温度。

热膨胀系数可以通过仪器（热膨胀系数仪）测得。描述了物体单位温差下的尺寸变化，可以分为体积热膨胀系数，面热膨胀系数，线热膨胀系数。

CTE与温度单位无关，常见材料类别的热膨胀系数如下表所示。

四.热应变的张量形式

热应变只有正交项，而没有剪切项。因此，在热应变的张量形式中，只有对角项。大多数材料都是热各向同性的，因此三个对角项是相等的。

来源：ABAQUS仿真世界

《Mechanics of Solid Polymers》5.3.10 八链模型（续）

例子：使用不同数值方法的逆朗之万函数的实现朗之万函数的定义为：该函数的逆函数被称为逆朗之万函数L⁻¹(x)，无法用基本函数表示。如上所述，为了数值计算EC模型的应力，需要求解逆朗之万函数。这可以通过方程(5.112)使用数值方程求解器来完成，例如牛顿法。然而，这种方法计算成本较高，因此开发了多种更快的近似方法。Arruda和Boyce[28]开发的一种方法是将逆朗之万函数表示为级数展开：该函数也可以使用Padé近似[30]：另一种方法由Bergstrom[23]开发，他将函数响应分为两个区域。对于|x|<0.84136的值，函数用基于tan函数的曲线拟合表示，对于0.84136≤|x|值，函数用其渐近形式表示：这些不同的近似方法在图5.20中进行了比较，表5.3给出了各近似方法精度的比较。这些数值近似之间的差异可能看起来更像一个学术问题而非重要的实际问题，但由于不同的有限元软件决定以不同方式实现逆朗之万函数，这个问题变得重要起来。例如，Abaqus使用级数展开，而PolyUMod库[31]使用更精确的Bergstrom解法。图5.20展示了计算逆朗之万函数的不同方法的比较。表5.3比较了不同方法在计算逆朗之万函数时的误差：近似方法在x=0.7时预测的相对误差Bergstrom近似0.06%5项级数展开18.5%Padé近似4.3%换句话说，很难将EC模型的参数从一个有限元求解器转换到另一个。可能需要为每个特定的有限元软件包重新校准模型。示例：高斯链对于高斯链（而不是朗之万链）情况下的EC模型，其本构关系可以通过用其级数展开的第一项替换逆朗之万函数直接得到：这样可以得出单轴拉伸应力的表达式：这与NH模型（方程(5.74)）得到的是一样的。来源：ABAQUS仿真世界