沙漏现象和剪切锁定——它们是什么？为什么重要？
正如我们在之前介绍关于 Abaqus 中单元选择所讨论的那样，选择合适的有限元类型对于获得准确可靠的结果至关重要。然而，由于 Abaqus 中可用的单元种类繁多，这有时会很困难，尤其是对于软件新用户而言。由于许多新手不了解某些单元类型的局限性，他们有时会遇到传统手工计算和有限元分析预测结果不一致的情况。但这怎么可能呢？两者都是同一问题的数学表示，对吧？虽然如此，但重要的是要记住，FEA 基于离散计算——这意味着方程是在特定点处计算的，并且必须根据单元的形函数对方程进行插值——这可能会导致潜在的错误（尤其是在给定单元不适合捕捉被模拟的物理场时）。一个例子，也是今天文章的主题，在弯曲主导问题中使用六面体单元。
六面体单元
六面体单元的主要优势之一是其兼具精度（当单元形状良好时）和运行效率；这通常使得六面体单元比其他实体单元公式更经济。然而，这并非没有代价——在使用六面体单元模拟以弯曲为主的变形模式时，必须考虑三个主要问题：
沙漏
剪切锁定
体积锁定
在继续之前，我们先回顾一下，单元可以是线性的，也可以是二次的（一阶或二阶），并且可以使用缩减积分或完全积分，这将在关于 Abaqus 单元的文章中进一步讨论。这是一个重要的区别，因为沙漏效应、剪切锁定和体积锁定仅在特定条件下才会出现问题。
沙漏
沙漏现象可能发生在一阶缩减积分单元 (C3D8R) 中。由于只有一个积分点，下图中两条可视化线的长度均未发生变化，并且它们之间的夹角也未因施加的变形而改变。这可能导致零应变变形模式（零能扩展模式），从而产生高度失真的结果。
然而，这个问题通常可以通过使用二阶积分单元（C3D20R）来缓解。
剪切锁定
剪切锁定可能发生在受弯曲影响的一阶全积分单元 (C3D8) 中。这种情况是由于单元边缘无法弯曲而产生人为剪应变而发生的。由于这种非物理剪应变，这些单元在用于弯曲主导问题时可能会刚度过高。不过幸运的是，这个问题也可以通过使用二阶单元 (C3D20) 来解决。
体积锁定
当材料行为几乎不可压缩（例如橡胶）时，一阶和二阶全积分单元可能会发生体积锁定。这会导致积分点处产生不切实际的应力结果，从而使单元行为过于刚性。幸运的是，一阶全积分六面体单元采用选择性缩减积分（仅对体积项进行缩减积分），因此这些单元在使用几乎不可压缩材料时不会发生体积锁定。（附注：处理几乎不可压缩材料时，应使用混合单元公式）。
示例问题
现在我们了解了使用实体六面体元素时可能出现的一些问题，让我们看一个简单的例子来帮助说明正确选择元素的重要性。
让我们考虑一个弯曲问题，其中一根尺寸为 10 mm x 10 mm x 100 mm 的悬臂梁一端固定，另一端施加 1000 N 的力。最大挠度应该是多少？
手算
首先，我们必须计算矩形横截面梁的面积惯性矩。由于横截面宽度和高度相同，因此可知 Iy = Iz。
Iy = Iz = (底宽* 高^3) / 12 = (10 * 10^3) / 12 = 833.33 mm^4
现在我们知道了面积惯性矩，我们可以使用以下公式来计算梁的最大偏转：
挠度 = (载荷 * 长度^3) / (3 * 杨氏模量 * 转动惯量)
= (1000 * 100^3) / (3 * 200,000 * 833.33) = 2.000 mm
FEA 结果
接下来，我们来构建上述问题的有限元表示。为了强调使用六面体单元时常犯的一些常见错误，我们将仅使用一阶单元进行敏感性研究：
网格尺寸：0.50 毫米、1.0 毫米、2.0 毫米、5.0 毫米（长宽比 = 2.5）
积分策略：缩减积分和完全积分
使用缩减积分单元 (C3D8R) 时，计算的挠度过高，有时甚至非常严重（下例中为 32%）。这是因为缩减积分单元容易出现沙漏现象，这是一种数值误差，会导致单元过于柔韧。随着单元尺寸的增加，每个单元所代表的弯曲量也越来越大，这种现象会变得更加明显。根据下图所示的结果，使用五个单元沿厚度方向计算，可以实现小于 5% 的误差幅度（尽管 Abaqus 手册建议只需四个单元即可达到足够的精度）。
另一方面，当使用完全积分单元（C3D8）时，挠度预测值确偏低（实际偏低 34.5%）。不过，这次偏低是由剪切锁定引起的，这种现象会给单元增加刚度（由于寄生剪应变）。我们再次发现，随着单元尺寸的增加，这种现象变得更加明显：每个单元的弯曲程度越大，积分点之间的角度偏差就越大，剪切锁定也越明显。
最后，我们来看看 Abaqus 的非相容模式单元 (C3D8I)，它旨在提高弯曲主导问题的精度。正如承诺的那样，该单元似乎名副其实（基于本研究的结果）：我们最粗的网格（厚度方向上只有两个单元）能够与手工计算结果相符，误差在 5% 以内（而使用缩减积分单元和全积分单元时，误差分别为 32% 和 34.5%）。
最后的想法
如果使用六面体单元，请使用 C3D8I！是的，这会增加计算成本；但是，如果您关心如何准确捕捉弯曲行为，那么非兼容模式元素的精度提升是无可比拟的。
更重要的是，正如我们上面所展示的，对于给定的有限元分析，离散化策略和单元类型选择会对预测产生重大影响，尤其是在弯曲问题中使用一阶六面体单元时。更具体地说，我们上面的示例显示，缩减积分单元和完全积分单元之间的潜在挠度范围分别为约 1.3 至 2.6 毫米——这实际上是两倍！如果两位不同的分析师在同一个项目上工作，但使用不同的建模策略，这意味着什么？如果您根据 CAE 预测做出设计决策，这会产生很大的影响！事实上，这就是可靠数据之间的区别。
