有限元仿真中的材料力学理论基础
概述
基本的力学变量有三个：位移（描述物体变形后的位置）、应变（描述物体的变形程度）、应力（描述物体的受力状态）。
基于以上三大变量可以建立以下三大类方程：受力状态的描述 —— 平衡方程、变形程度的描述 —— 几何方程、材料的描述 —— 物理方程（应力应变关系或本构方程）。
变形体
由固体材料组成的具有一定形状的物体，在一定荷载和边界条件下将产生变形，该物体中任意一个位置的材料都将处于复杂的受力状态之中。在外力作用下，若物体内任意两点间发生相对移动，这样的物体叫做变形体，它与材料的物理性质密切相关。
当一个变形体受到外界作用时，应该如何来描述它呢？描述位移是最直接的，因为它可以直接观测。描述力和材料特性是间接的，需要人工定义新的变量。所以大部分有限元软件都是基于位移元的算法。
弹性力学的基本假设
为突出所处理问题的本质并使问题得以简化和抽象化，在弹性力学中提出了以下 5 个基本假设：
连续性假设：认为物质中无空隙，特别是受力和它的响应都不计入微观粒子性质而从宏观表述。因此，可以用连续函数来描述对象。 均匀性假设：认为物体内各个位置的物质具有相同的特性。因此，对各个位置材料的描述是相同的。 各向同性假设：认为物体内同一位置的物质在各个方向上具有相同的特性。因此，同一位置的材料在各个方向上的描述是相同的。 线弹性假设：物体的变形与外力作用的关系是线性的，外力去除后，物体可恢复原状。因此，描述材料形状的方程是线性方程。 小变形假设：物体的变形远远小于物体的几何尺寸。因此，在建立方程时可以忽略高阶微量。一般来说，小变形的范围是变形比例小于整体模型尺寸的 10%。
以上形成的基本假设与真实情况还是有差别的。比如铸造部件冷却后，中心区域经常有缩孔，焊接后的部件热裂纹、冷裂纹等缺陷，以及腐蚀裂纹等，这就不符合连续性假设；比如热处理后的部件表面与内部材料的金相组织和物理性质是不同的、合金材料中存在合金成分的偏析，这就不符合均匀性假设和各向同性假设；又比如木材、钛合金材料、电工用的硅钢片、冷轧钢板以及部分高温镍基合金、钴基合金的轴向与纵向的力学性能是不一致的，这也不符合各向同性假设；比如橡胶等超弹性材料可以拉长到原尺寸的 200% 以上，这就不符合小变形假设等。
但是从宏观尺度上看，特别是对于工程问题，大多数情况下此假设还是比较接近实际的。以上假设的最大作用就是可以对复杂的对象进行简化处理，从而抓住问题的本质。
金属材料的力学性能
下面给出部分名词解释。
比例极限：材料的应力与应变保持正比时的最大应力值。它反映材料弹性变形按线性变化时的最大能力指标。
弹性极限：材料只产生弹性变形时的最大应力值。它反映材料产生最大弹性变形能力的指标。
弹性模量：在比例极限范围内，应力与应变成正比时的比例常数。它是反映材料刚性大小的力学指标，又称杨氏模量。
泊松比（横向变形系数）：在弹性变形范围内，材料横向线应变与纵向线应变的比值。一般金属材料的泊松比在 0.3 左右。在 ANSYS Workbench 15.0 的材料库中对应 Poisson's Ratio。
屈服点：材料内应力不断增加，应变仍大量增加时的最低应力值。它是反映金属材料抵抗起始塑性变形的能力指标。这时部分材料表面会出现与轴线成 45° 夹角的滑移线。
强度极限：材料承受最大荷载时的应力值。它是代表材料承受最大拉伸能力的指标，同时也是反映材料产生最大均匀塑性变形能力的指标。
冷作硬化：对材料加载，使其屈服后卸载，接着又重新加载，引起的弹性极限升高和塑性降低的现象。
冷拉时效：如卸载后放置材料几天或者对材料进行温和的热处理再重新加载，还可以获得更高的弹性极限和强度极限。
缩颈现象：材料达到最大荷载后，局部截面明显变细的现象。
伸长率：材料被拉断后，标距内的残余变形与标距原长的比值。
断面收缩率：材料被拉断后，断裂处横截面积与原面积的比值。
弹性模量的概念与性质
金属的弹性变形是一种可逆性变形。金属在一定外力作用下先产生弹性变形，当外力去除后变形随即消失而恢复原状。在弹性变形过程中，无论是加载期还是卸载期内，应力与应变之间都保持为弹性线性关系，这种比例关系叫做虎克定律。它首先是由英国科学家虎克（R.Hooker）于 1678 年发现的。应力与弹性模量 × 应变。弹性模量是产生 100% 弹性变形所需要的应力。
由于弹性变形是原子间距在外力作用下可逆变化的结果，应力与应变关系实际上是原子间作用力与原子间距的关系，因而弹性模量与原子间作用力有关，与原子间距也有关。原子间作用力决定于金属原子本性和晶格类型，故弹性模量也主要决定于金属原子本性与晶格类型。
溶质元素虽然可以改变合金的晶格常数，但对于常用金属材料而言，合金元素对其晶格常数改变不大，因而对弹性模量影响很小。合金钢和碳钢的弹性模量数值相当接近，差值不大于 12%。
热处理对弹性模量的影响不大，如晶粒大小对弹性模量无影响；第二相大小和分布对弹性模量影响也很小；淬火后弹性模量虽有下降，但回火后又恢复到退火状态的数值。安铸铁除外，其弹性模量与组织有关，球磨铸铁因其石墨紧密增加，故弹性模量较高。这是由于片状石墨边缘有应力集中，并产生局部塑性变形。在石墨密度增加时，其影响有所减弱。
冷塑性变形使弹性模量稍有降低，一般降低 4%～6%，这与出现残余应力有关。当塑性变形量很大时，因产生形变使弹性模量出现各向异性，沿变形方向弹性模量最大。
温度升高原子间距增大，弹性模量降低。碳钢加热时，每升高 100℃，弹性模量下降 3%～5%。但在 - 50℃～500℃范围内，钢的弹性模量变化不大。
弹性变形的速率和声速一样快，超过大部分的加载速率，故加载速率对弹性模量也无大的影响。
综上所述，金属材料的弹性模量是一个对组织不敏感的力学性能指标，外在因素的变化对它的影响也比较小。
剪切模量= 弹性模量 /[2×(1 + 泊松比)]
弹性比功
弹性比功又称为弹性比能、应变比能，是金属开始塑性变形前单位体积吸收的能量，表示金属材料吸收弹性变形功的能力。一般可用二倍的弹性模量。
由于弹性模量对组织不敏感，因此一般金属而言，只有用提高弹性极限的方法才能提高弹性比功。故部件的体积越大，其可吸收的弹性功越大，可储备的弹性能也越大。弹簧是典型的弹性部件，其重要作用是减震和储存波动。因此，弹性材料应具有较高的弹性比功。用含量较高的钢加入硅、锰等合金元素以强化铁素体基体，并经淬火加温回火获得回火托氏体组织。
弹性的不完整性
很早就发现，金属材料即使在很小的应力作用下也会显出非弹性性质，因为金属材料不是完全的纯弹性体。完全（或完整）的弹性体的弹性变形只与荷载大小有关，而与加载方向和加载时间无关。实际上，金属的弹性变形都和这些因素有关，因而产生了包申格效应、弹性后效和弹性滞后等弹性不完整现象。这与有限元分析中的线弹性假设有区别，故使用者应有所关注。
包申格（Bauschinger）效应
金属材料经过预先加载少量塑性变形（残余应变约 1%～4%），然后再同向加载，规定残余伸长应力增加；反向加载，规定残余伸长应力降低的现象，称为包申格效应。对于某些钢和钛合金，因包申格效应可使规定残余伸长应力降低 15%～20%。所有退火状态和高温回火的金属都有包申格效应。因此，包申格效应是多晶体金属所具有的普遍现象。消除包申格效应的方法是，预先进行较大的塑性变形或在第二次反向受力前使得金属回复或在结晶温度下退火。弹性后效
对于完整的弹性体，遵循虎克定律并与加载速率无关。对于实际金属而言，弹性变形不仅是应力的函数，还是时间的函数
在仪表和精密机械中，在选用重要传感元件的材料时，如长期受力的测力弹簧、薄膜传感件等，汽车的钣金件冲压时，需要考虑弹性后效问题。
弹性滞后和循环韧性
金属在弹性区内加载和卸载时，由于应变落后于应力，使得加载线与卸载线不重合而形成一条封闭回线，称为弹性滞后环。存在滞后现象说明加载时消耗于金属的变形功大于卸载时金属放出的变形功，因而有一部分功为金属所吸收，这部分吸收的功称为金属的内耗，其大小用回线的面积度量。
塑性变形
塑性变形的方式及特点
金属材料常见的塑性变形方式为滑移和孪生。
滑移是金属在切应力作用下沿滑移面和滑移方向进行的切变过程。通常，滑移面是原子最紧排的晶面，而滑移方向是原子最密排的方向。屈服现象和屈服点
低碳钢从弹性变形阶段向塑性变形阶段过渡是明显的。表现在实验过程中，外力不增加或外力增加到一定数值时突然下降，所有在外力不增加或上下波动情况下材料继续伸长变形，这就是屈服现象。金属材料在拉伸实验时产生的屈服现象是其开始产生宏观塑性变形的一种标志。
呈现屈服现象的金属拉伸时，材料在外力不增加仍能继续伸长时的应力称为屈服点。当不计初始瞬时效应（指屈服过程中实验力第一次发生下降）时的屈服阶段中的最小应力称为下屈服点。屈服过程中产生的伸长叫做屈服伸长。屈服伸长对应的水平线段或曲折线段称为屈服平台或屈服齿。屈服伸长变形是不均匀的，外力从上屈服点下降到下屈服点时，在材料局部区域开始形成与拉伸轴呈约 45° 角的吕德斯（Luders）带或屈服线，随后再沿材料伸长方向逐渐扩展。当屈服线布满整个材料长度时，屈服伸长结束，材料开始进入均匀塑性变形阶段。
由于屈服塑性变形是不均匀的，因而易使低碳钢冲压件表面产生褶皱现象。若钢板先在 1%～2% 下压量时预轧一次，然后再进行冲压变形，则可保证工件表面平整光洁。一般将残余塑性伸长率 0.2% 时的应力定义为材料的屈服强度。屈服强度的实际意义是十分明显的，提高金属材料对起始塑性变形的抗力可减轻部件重量，并不易产生应力集中部位的应力重分布，极易引起塑性断裂。
（2）应变硬化。
在金属的整个变形过程中，当外力超过屈服强度后，塑性变形并不是像屈服平台那样连续流变下去，而需要不断增加外力才能继续进行。这说明金属有一种阻止继续塑性变形的抗力，这种抗力就是应变硬化。它在实际中有着十分重要的意义。
应变硬化可使得金属部件具有一定的抗偶然过载能力，保证部件安全。 应变硬化和塑性变形适当配合可使金属进行均匀塑性变形，保证冷变形工艺顺利实施。 应变硬化是强化金属的重要工艺手段之一，尤其对于那些不能用热处理强化的金属材料。 应变硬化可以降低塑性，改变低碳钢的切削加工性能。
（3）缩颈现象。
缩颈是韧性金属在拉伸时变形集中于局部区域的特殊现象，它是应变硬化与界面缩小共同作用的结果。在拉伸试验中，最大应力点是局部塑性变形的开始点，也称为拉伸失稳点或塑性失稳点。由于最大应力点以后的材料断裂是瞬间发生的，所以找出拉伸失稳的临界条件，即缩颈判断依据，对于部件设计无疑是有益的。
缩颈一旦产生，部件原来所受的单向应力状态就被破坏，而在缩颈区出现三向应力状态。这是由于缩颈区中心部分拉伸变形的横向收缩而受到约束所致。在三向应力状态下，材料塑性变形比较困难。为了继续发展塑性变形，就必须提高轴向应力，因而缩颈处的轴向真实应力高于单向受力下的轴向真实应力，并且伴随着部件的颈部进一步变细真实应力还在不断增加。
（4）抗拉强度。
抗拉强度是拉伸试验时材料拉断过程中最大试验力对应的应力，其值等于最大作用力除以材料原始截面积。根据拉伸试验求得的抗拉强度只代表材料所能承受的最大拉伸应力。
抗拉强度的实际意义：标志着塑性材料的实际承载能力，但这只代表光滑试样单向拉伸时的受力条件，如果承受的是更复杂的应力状态，则其并不代表材料实际的有用强度。有些场合，使用抗拉强度作为设计依据；抗拉强度与硬度、疲劳强度等之间有一定经验关系。
