SCI一区论文学习 | 基于年龄和状态依赖的跳变扩散过程的退化系统的剩余寿命预测

论文题目： Remaining useful life prognostic for degrading systems with age- and state-dependent jump-diffusion processes

论文期刊： ISA Transactions

论文时间：2025年

论文链接:

https://doi.org/10.1016/j.isatra.2024.12.019

作者：

Bincheng Wen (a), Mingqing Xiao (a), Xilang Tang (b), Yawei Ge (c), Xin Zhao (a), Haizhen Zhu (a)

机构：

a: ATS Lab, Air Force Engineering University, 710038 Xi’an, China;

b: Equipment Management and UAV Engineering College, Air Force Engineering University, 710038 Xi’an, China;

c:Strategic Evaluation and Consultation Center, Academy of Military Sciences, 100000 Beijing, China.

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目录

摘要

剩余使用寿命（Remaining Useful Life, RUL）的预测在预测和健康管理（Prognostics and Health Management, PHM）领域具有重要意义，可以提供有关系统的寿命信息。有效估计RUL的基础是为系统构建一个适用的退化模型。然而，现有的大多数退化模型只考虑了年龄依赖性问题，而忽略了状态依赖性。此外，系统运行环境的变化将导致退化状态跳变，这将影响退化路径和RUL估计的精度。然而，现有的研究只考虑了一些影响因素，忽略了同时考虑年龄依赖、状态依赖和跳变。为了同时考虑年龄状态依赖（Age-State Dependent, ASD）和跳变，本文提出了一种用于RUL估计的广义年龄状态依赖跳变扩散（Age-State Dependent Jump-Diffusion, ASDJD）模型。基于首达时间（First Hitting Time, FHT）推导了RUL分布的近似解析表达式。期望条件最大化（Expectation Conditional Maximization, ECM）和极大似然估计（Maximum Likelihood Estimate, MLE）用于估计模型的未知参数。通过模拟数据集和西安交通大学轴承数据集验证了所提出的模型，结果表明在RUL估计过程中应考虑状态依赖性和跳变。

关键词：剩余寿命，跳变扩散，年龄-状态相关，预测

1 引言

对于关键组件和系统，随着工艺的恶化，预测方法力求获得准确的剩余使用寿命估计。基于可靠的预测结果，管理者可以确定设备维修的最佳时间，并制定相关的维护计划，旨在提高运行可靠性，降低风险和成本。目前，已采用多种方法来估算剩余使用寿命。这些方法大致可以分为基于物理模型的方法、机器学习（Machine Learning, ML）技术以及统计数据分析方法[1]。基于物理模型的方法通过分析系统的失效原理并开发相应的数学模型来表征系统的退化。这种方法常用于金属材料中裂纹扩展和疲劳退化的研究。例如，Eshwar等人[2]提出了使用扩展有限元方法对疲劳裂纹扩展进行建模，并利用卡尔曼滤波框架进行在线寿命预测。Wang等人[3]选择了帕里斯定律作为机身面板裂纹扩展模型，并使用扩展卡尔曼滤波估计模型参数。Deng等人[4]基于动态工作条件下的Archard磨损模型，提出了一种用于预测滚珠丝杠寿命的集成数据驱动粒子滤波模型。然而，各种降解系统具有独特的降解机制，因此开发一个通用的降解模型具有挑战性。此外，由于系统退化原理的复杂性，很难获取准确的物理退化模型。

与基于物理模型的方法不同，机器学习不需要考虑复杂的故障机制。目前，人工神经网络（Artificial Neural Network, ANN）[5]、相关向量机（Relevance Vector Machine, RVM）[6]、递归神经网络（Recurrent Neural Network, RNN）[7]、门控递归单元（Gated Recurrent Unit, GRU）[8]和长短期记忆（Long Short-Term Memory, LSTM）[9]等机器学习方法在PHM领域得到了广泛的应用。此外，为了应对预测不同操作环境的挑战，迁移学习在估计RUL领域的应用越来越普遍。赵等人[10]开发了一种基于Bi-LSTM和深度迁移学习的预测框架。Chen等人[11]提出了一种用于跨领域健康因素构建的迁移学习框架。ML的优点之一是它能够自动执行特征提取和融合。另一方面，多层网络增强了处理非线性映射关系的能力。然而，这种类型的模型，也称为黑盒模型，无法解释机器学习的结果。此外，数据的数量和质量对模型的训练有重大影响。在实际情况下，很难获得足够数量的退化数据。

与上述方法相比，统计数据驱动方法不需要完全了解降解机制或大量历史降解数据，并且由于RUL估计的有效性而被广泛采用[12]。Si等人[13]系统地回顾了常见的统计数据驱动方法，包括基于回归的模型[14,15]、基于马尔可夫的模型[16,17]、维纳过程（Wiener Process, WP）[18,19]、伽玛过程[20,21]。在这些方法中，WP因其能够模拟非单调退化而得到了广泛的应用。Zhang等人[22]对基于WP的退化模型及其在PHM中的应用进行了深入分析。Cai等人[23]使用线性WP研究了海底采油树系统的退化机制。Si等人[24]介绍了一种基于时空转换的非线性随机退化模型。Yu等人[12]提出了一种考虑三种不确定性来源的非线性WP模型。Gao等人[25]认为，外部环境会影响系统失效阈值，并提出了可变失效阈值的维纳退化模型。Zhang等人[26]提出了一种混合非线性函数WP，用于拟合轴承退化数据中的温度变化曲线，采用RVM进行参数学习和更新。扩展了当前的非线性情况。Chen等人[27]将非线性WP与GRU相结合，并在预测过程中使用滤波算法来更新模型参数。

尽管维纳退化模型在预测RUL方面表现出色，但它仍有两个问题需要进一步研究：（1）ASD退化过程，（2）随机跳变问题。许多工业部件的退化不仅与年龄有关，还与状态有关。例如，滚珠轴承[28]、疲劳裂纹[29]、金属合金[30]和气缸套[31]都表现出这种特性。现有文献[32]提出了一个新的表达式，该表达式假设增量与当前退化水平存在隐式依赖关系。通过著名的巴黎-埃尔多安定律来描述疲劳应力下应力强度因子范围与亚临界裂纹扩展之间的关系。同样，文献[29]提出了一种取决于裂纹状态和监测时间间隔的退化模型。因此，疲劳裂纹扩展是一个更典型的ASD退化过程。这些ASD退化现象在实践中经常遇到。然而，关于ASD的研究是有限的。Giorgio等人[30,31]提出了一个包含ASD的马尔可夫模型，该模型已应用于气缸套和金属合金的磨损过程。Orchard等人[33]考虑了退化过程中的状态依赖性，并构建了一个基于粒子滤波的预测框架来预测电池的RUL。同样，An等人[34]使用粒子滤波构建了一个状态相关的退化模型。Zhang等人[28]提出了一个包含ASD的扩散模型，用于估计轴承的RUL。Li等人[35,36]介绍了一种使用ASD扩散模型模拟退化过程的方法。该方法专门用于分析疲劳裂纹扩展和涡扇发动机。Pang等人[37]引入了ASD的退化模型，该模型考虑了单个单元之间的固有变异性。然而，在上述研究中，只有[28,35,37]与ASD扩散过程模型有关，没有发现更多相关研究。此外，马尔可夫模型[30,31]和扩散模型[28,35]都没有解释的跳变对RUL估计的影响。

在工业应用中，随着系统退化的加速，系统的稳定性逐渐恶化，系统退化状态发生跳变的概率增加[38]。这种现象通常被定义为退化-冲击依赖性。例如，文献[38]区分了轴承磨损和MEMS系统退化的不同阶段。随着系统随运行时间的累积退化，其抗冲击性降低，冲击对系统的影响将在不同阶段发生变化。此外，系统运行环境的突然变化可能会导致其退化状态的跳变。Wen等人[39]、Kong等人[40]和Zhang等人[41]通过根据跳变的位置将系统划分为不同的阶段，考虑了具有跳变的多相退化模型。然而，由于跳变次数和位置的随机性，上述模型不能准确反映实际的退化过程，导致RUL估计结果与实际情况之间存在显著差异，特别是在开始阶段。Pang等人[42]提出了一种具有跳变的单相WP，其中该模型中的跳变被描述为复合非均匀泊松过程（Compound non-Homogeneous Poisson Process, NHPP）。Zhang等人[43]提出了单相跳变-扩散模型，得到了RUL分布的解析解。Sun等人[44]得出结论，跳变对退化增量、退化速率和退化过程有影响，他们使用非线性WP构建了跳变-退化模型。时变copula函数构建了不同阶段失效过程的依赖关系。Wang等人[38]将系统分为四种状态：正常、缓慢退化、快速退化和失效退化；系统对跳变的抵抗力因州而异。然而，多相和单相模型在考虑冲击时都忽略了状态依赖性对退化过程的影响。

基于上述扩散过程分析退化模型表明，虽然已经对年龄-状态依赖的扩散模型和年龄依赖的冲击-扩散模型进行了研究，但它只考虑了影响系统退化过程的少数因素。年龄-状态依赖的扩散模型和年龄依赖的冲击扩散模型都没有同时考虑年龄依赖、状态依赖和跳变。ASD扩散模型中跳变的考虑仍然是一个很大程度上未被探索的领域。为了准确表示系统的退化状态，将随机跳变整合到ASD模型中至关重要。本文提出了一个综合考虑跳变的ASD扩散模型。使用ECM和MLE进行参数估计。本文的重要贡献总结如下：

(1)同时考虑退化中的年龄相关、状态相关和跳变问题，并构建了ASDJD模型

(2) 通过It'o公式和Larmpertier变换，得到了ASDJD模型寿命分布的解析解。此外，基于两步ECM和MLE对模型参数进行了估计和更新。

(3)利用数值模拟和西安交通大学的轴承数据对模型进行了验证。实验结果证明了ASDJD模型的有效性。

本文的其余部分结构如下：第2节介绍了。在第三节中，基于It'o公式和Larmperti变换，从理论上推导了RUL分布，并给出了一个例子。第4节介绍了一个使用ECM和MLE估计参数的框架。第5节包含一个数值模拟和一个真实案例，以验证所提出的模型。第6节总结了整篇文章。

设    表示系统的退化过程，即具有跳跃的ASD扩散过程，变量    表示系统在时间    的状态值。系统的退化状态可以用以下形式表示：

其中    是漂移项，    是布朗随机积分，而    表示复合泊松过程（Composite Poisson Process, CPP）。    表示标准布朗运动，    是漂移系数函数，而    是扩散系数函数。    和    是系数函数的参数。    是NHPP，即强度为    的齐次泊松过程（Homogeneous Poisson Process, HPP）。    表示跳变幅度，是一个独立同分布的随机变量，有    。通常假设    。

备注1.

由于    是由布朗运动驱动的WP，其寿命被定义为FHT。

其中寿命的概率密度函数（Probability Density Function, PDF）表示为    RUL的定义如下：

其中    为RUL，其PDF为    。

3 基于跳变扩散模型的RUL估计

3.1 理论推导

为了获得ASDJD模型的RUL分布，有必要将退化模型(1)转换为包含常数扩散系数的退化模型。因此，采用了Larmperti变换[47]和Ito公式[28,46]，其中前者用于将随机过程    转换为随机过程    。本文定义Larmperti变换如下：

为了进行推导的下一步，首先给出Ito公式中的引理1。

引理1.（[48]）:考虑随机过程    ，它代表一个具有跳跃的ASD扩散过程：

然后，对于任意    函数    ，过程    可以表示如下：

在本文中，    被定义为(4)。我们结合(1)、(4)和引理1。经过许多数学操作，(1)被转换为一个常数扩散系数。

其中，    描述了第    次冲击时刻退化状态的左极限，而    是拉姆佩蒂变换后退化状态的值。显然，    是连续的。根据定积分的第一中值定理，    可以简化为：

备注2. 通过利用引理1和Larmperti变换，广义ASDJD模型(1)可以等价地转换为一个具有常数扩散系数的随机过程(7)。在不牺牲一般性的前提下，接下来的部分将集中讨论具有常数扩散系数的ASDJD模型，其定义如下：

ASD模型（11）中跳变的存在性给RUL的解析解带来了挑战，首先提供引理2来解决这个问题。

引理2.对于泊松过程，均值定义为

值得注意的是，    是泊松过程的参数。如果函数    等于零，则退化过程的跳变不存在。如果函数    为常数，泊松过程可以归类为HPP。如果    表示强度函数，则泊松过程可以归类为NHPP。

为简化表达式，下文中将，    记作    。随机变量    服从高斯分布且相互独立同分布。泊松过程    的均值和方差均为    。因此，基于高斯过程（[42,43]）的条件概率过程（CPP），可近似替换为高斯过程。    表达式可表示为

其中    ，    。

可将等式（11）所代表的模型的退化重新表述如下：

   的寿命概率密度函数可以通过一定的数学表达式进行估算，如[24,35]的研究结果所示。

其中

有    且    和    可以表示为：

在实际应用中，给定时间点    处的退化条件可表示为    。RUL的失效分布函数（FDF）被定义为退化过程首次超过预定阈值的时刻。时间点    处的退化过程    可描述为：

类似地，RUL的PDF可以用数学方式表示为：

其中，

有    

3.2 ASDJD模型说明

在本文中，ASDJD模型被表示为M1，其中    ,    。根据3.1的结果，我们可以推导出相应的变换结果。当系统起始时刻为0，    时，可以得到    ，    ，    ，    ，    的解析表达式。基于（15），可以计算出寿命概率密度函数。

其中，    和    服从高斯分布。根据全概率定律，可以得到寿命的概率分布    。为了避免计算过程中的积分，这里首先引入以下公式。 

当    且    

根据（22），寿命PDF可以基于（21）得出。

其中，

需要注意的是，（23）式中仍包含期望值。由于其计算过程较为复杂，已无法给出解析表达式。不过，（23）式仅包含单变量积分，因此可以使用Matlab进行近似计算。 当    ，表示系统的退化状态为    。    时。可得到对应的函数    。RUL的概率密度函数也可用类似方法获得。