塑性力学知识点总结

第一章材料的塑性性质

第一节引舌一基本概念

1、塑性力学：是固体力学的一个（重要）分支，主要任务是研究固体塑性变形时的应力分布和应变分布的规律。

2、弹性变形：卸载后物体完全恢复原有的形状。

3、塑性变形：卸载后物体存在不可恢复的变形。

4、本质差别：弹塑性本质差别在于卸载后变形是否可以恢复。

5、主要差别：弹塑性主要差别主要是表现在本构关系上。

（1）变形和应力不再是一一对应关系。（2）变形和应力是非线性关系。

求解弹塑性问题的方法

1、精确解法：即能满足弹塑性力学中全部方程的解。

2、近似解法：采用合理的简化假设，获得近似结果。

3、数值解法，主要是有限元方法。

了解以上内容，有助于把握材料塑性方面研究问题的方向，培养宏观把握问题的能力。

第二节简单拉伸及静水压力试验结果

通过简单拉伸得到应力应变曲线

品体

图12品体的应力应变曲线讨论：

1、OA是弹性阶段

2、是塑性流动阶段。是屈服应力。

3、Hb是强化阶段。          图1.1应力应变曲线

(1)有强化阶段的材料说明，材料经过塑性变形后应力得到了强化

(2点之前试件的应变是均匀的，点之后出现颈缩现象（应变不均匀）

4、c是工程应变，c=（/‰）/ /0（不是对数应变）

5、。是名义应力，一尹/，亻0      （不是真实应力）

图1.1应力应变曲线

6、是塑性应变或残余应变。注意，此时只是峦一0情况的残余应变值。

( 1 )是一个变量，不同的总应变时有不同的。

（2）应力降到不同大小时有不同的残余应变。

（3）弹性与塑性的根本区别不在于应力应变关系是否是线性，而在于卸载后变形是否能恢复。

7、了是总应变的弹性部分，了一历，c一了+豳一仃历。低碳钢等金属材料的屈服阶段很长，总应变可以达到最大弹性应变的10、15倍。

单品体

            图应力应变业线            图12聶体的应力应变曲线

8、伊是一个卸载过程，服从A在：。材料进入塑性状态后，加、卸载遵循不同的本构关系。

9、0是压缩阝月段，是反向屈服极限。

( 1 )对于单晶体材料，矿>即正向强化时反向也强化。 （见图1.2）

（2）对于多晶体材料，。<即正向强化时反向会弱化。这种现象称为包辛格效应(Bauschmger effect)。（见图1.2）

10、对于没有明显塑性屈服阶段的材料，工程上通常取产生02％的塑性应变相对应的应力作为屈服应力，记为2。这类材料有铝、铜以及高强度合金钢等。

一些结论：

（一）应力应变不再有单值对应关系

一个应力可以对应不同的应变，反之亦是如此：

（二）外力的塑性功具有耗散性（不可逆性）。

在一个加载一卸载的应力循环过程中外力功恒大于零，这一部分能量被材料的塑性变形给耗散掉了。

（三）材料体积变化与静水压力间近似服从线弹性关系，并且体积变化很小。

塑性变形不引起体积变化

金属材料，即使塑性变形较大时，也可忽略弹性的体积变化，认为材料是不可压缩的。如弹簧钢在10000个大气压下（1000 MPa)，体积仅缩小2．2％。

（四）对于金属材料可以认为塑性变形与静水压力无关；

对于铸铁、岩石、土壤等材料，屈服应力和塑性变形与静水压力有关。

（五）温度上升时，材料的屈服应力降低，塑性变形能力提高。此时有粘性效应（蠕变、应力松弛）。

（六）加载速率高时，材料的屈服应力提高，塑性变形能力降低。

注：

1个大气压约为旧M牖约为4米高混凝土柱产生的压强，则C30等级混凝土柱子的最高限值为1200米。

      g乃：2500kg /m ><10m/s2 × 1200m：3 × 107 kg •m/s22      = 30X106Pa = 30、(Pa

第三节塑性模量 1、 “双线性”应变强化模型

     As     As

A仃= 一仃

二万

=丆

= 

则有Aa 1

即 AŒ— 万一

(Asp 

ACP +

Asp +一豐ACT

一五Asp

Asp 万

一8

        AŒ—        ACP

万一万

式中，弹性模量，壩是弹塑性模量，壩的下角标表示弹塑性之意。

实际上，有限元法中的弹塑性矩阵常用下角标表示。

定义 Aa一力厶

式中 力= 称为塑性模量。

2、任意曲线形式的应变强化模型

户0局部段内的塑性模量为

，尹

3、理想弹塑性模型的塑形流动部分

塑性模量力= 0

0

体会：

( 1 )因为理想弹塑性模型的塑形流动部分的弹塑性模量Eep 一0，所以乃一0：

（2）因为塑形流动部分的酝：胍豳山于酝一0，所以乃：0。对于理想弹塑性模型的塑形流动部分A：A；A一A峦一0历：0。

第四节应力应变简化模型

1、理想弹性(perfectly elastic）

2、理想刚塑性国gid：perfectly plastic)

 或

图1.4理想刚塑性本构关系

图1．3线弹性本构关系

0 0 一 了

总

3、刚线性强化(rigid- linear strain-hardening)

     伊 十，丆1     01 01

丆

0

或

图1.5刚．线性强化本构关系

5、弹一线性强化(elastic一linear strain-hardenmg)

         0二Ec         (6 <巪），不完全卸载（卸到0，完全卸载时0一0）

6、幂强化模型

     0：C 7（0 < ” < l)     

        图1、8a幂强化本构关系        图1.8b幂强化本构关系

第五节理想弹塑性材料的三杆桁架

问题：如图：各杆初始截面积均为，2杆初

始长度为/0，夹角如图所示，1和3杆的初始长

度为0 。试研宄该三杆桁架的弹塑性问题。

图1. 9a三杆桁架体系

图1，9a三杆桁架体系

图1，9c三杆桁架体系的力学模型

、控制方程

1、节点B的平衡方程（适合于小变形情况）

NI：N3

（NI + N3）/ + N2 =户

则、，、+ N2：户

其中：。1：、归0，。2：、归0

图1. 9b 三杆桁架体系

              （1.5，la，b)

2、几何方程（适合于任何变形情况）

：70

又有：/c0s450：2 /0

所以有‰：2司/0

            即                         霍1 艹3一0引

则变形协调关系为：42：2司

可见42大于司一巪，所以2杆先屈服。

3、要得到问题的解，需要补充材料的本构关系。

（可见小于）

图1．9b三杆桁架体系

(1.5.2a)

（1.5、2b）

一、加载过程分析       乁巨伊+丐       （1且1b） 1、结构的弹性阶段

       01：万，丐：：万· 2：201       （1.5．3）

将（1.5．3）式代入平衡方程（1.5、1 b）式， 得、，01 + 2：尸/，即应力为

01二03

(1.5.4a)

            2 +

       位移为：/。        俨<）（1.5、4b）

讨论：

结构的弹性极限荷载（即2杆刚屈服时的外荷载）

山02：丐得

图1. 9b三杆桁架体系

（1.5、5）

实际意义是：当外拉力小于弹性极限荷载蓐时，结构中的各个构件都处于弹性阶段。

（2）、结构的弹性极限荷载蓐作用下的节点B竖向位移

0

       ：70       （1.5、6）

实际意义是：当节点B竖向位移小于时，结构中的各个构件都处于弹性阶段。

       乁巨伊+丐       （1且1b）

2、结构的约束塑性阶段（弹塑性阶段）

此时尸>，2杆进入塑性状态，1和3杆处于弹性状态。

这时：0是己知量了，三杆桁架体系是静定结构了。

将该阶段的拉力记成户，山平衡方程（1.5 · 1 b)式可以直接得到应力为

01（户<户<户）       （1.5．7） 2

位移为

2017

ð：7。：2。（1且8）

注：2杆进入性流动状态后，只能利用司来确定了。2杆没有发生掣性流动变形是因为存在1杆和3杆的弹性约束。

3、塑性流动阶段

1、2和3杆都进入塑性状态，：：03：

山平衡方程(1.5.l b)式得结构的性极限荷载尹为

此时（1和3杆刚刚进入塑性状态时），节点B的竖向位移为

20 ／0

注：将（1.5．8）式中的丐取成丐，即可得到 （1.5、10）式。

       +。2：鬥       (1.5.lb)       ：427。：2司/0

图1. 9b三杆桁架体系

（1.5、9）

(1.5.10)

2 7

（1．5．8）

= +210 

20 10

S

= 2 ;

、卸载过程分析

(一)、卸载过程中,平衡方程、几何方程以及本构方程遵循量形式,即

     (△ + △ ) ∕ + △ = ∕     ( 1.5.11a)

     △ △ = △ 2     △ = △ /o     ( 15.11b)

    △ = △ =五丶△    △ =、△    ( 1.5.1 lc )

上述式中冇7个未知量△、△、△、 △El、△、△ 3和△ ,但也冇7个方程,所以这7个未知量是可以求解的。

（二）、将

注：

卸载情况

(1.5.llb)代入(1.5.11c)然后再代入（1．5.11a），可得

2 Að =

2 +

Aq：03 

A02 

未给出ACI、厶和A

（1.5，12a）

（1.5 · 12b）

（1.5．12c）

需要说明的是：

（1.5、12）式既适用于从弹朔性状态卸载也适用于从完全塑性状态卸载，即对于AP一一尹·和A户：一鬥( 1.5.12)式都成立。

（2） 山于采用弹性卸载假设，则也可以山（1.5，4）式给出( 1.5.12)式，只是注意将原弹性阶段用变量表示的方程改成增量形式即可。

2 AP'10

AS一(1.5.12a)

2 +、巨EAO

        俨<鬥）        (1.5.4a)

Aa，二A （1、5.12b）

                俨<）（1.54b) 厶02         （1且120

1、由约束塑性阶段(弹塑性状态)完全卸载

此时△ㄗ = -ㄗ = 0 - ㄗ乚则由( 1 5 2 )式可得

(1.5.13a)

Aô =

( 1.5-13b) Aq = A()3一

          0          

       △ =一(2-dî)l       (1.5.13c) 

一5n2

( 1-5.12b)

(1.5.12c)

注意到这些“竲量”是在式( 1.5.7 )和式( 1.5.8 )解的基础上和式( l. 8 )的解是卸载过程的“初始时刻” ,则残余变形

=十△< 0

S

02

( 1.5.7)

2

 ( 1.5,8 )

开始卸载的,即和残余应力为

- l) > 0

—l)

2 P

△ 一(2一xlî)

△ = △

ACT

式< 1.5 ,7 )

> 0

( 1.5 , 13a )

( 1.5.13b)

( 1.5, 13c )

付愴:

        ( 1 )、当=吋, 義= 0 ,        1残        3残        2残 = 0

       ( 2 )、当       = 4吋, (送里是指1和3杆削削迸人塑性状悉的吋刻即卸載吋)

可

1残ー 3残ー残= (1ー物垣く0

                  ら=軛の(ー                  1残ー 3残 > 0                  

( 3 )、将残余成カ汁算公式代人式( 1.5. la )的左側,有

       召       軛       召

2

即式( 1.5. la )等号左側内零,実意文是:残余カ状悉体系的カ自相平衡。

ー残  の残=の(1ー

                    ( 1.5. la )          1. 9a三杆桁架体系          圏1. 9b三杆桁架体系

2、山掣性状态完个这里的掣性状态利用式（1、5、13a）、

義：，+ Að

= 0

         1残         3，

：0 + A 2

卸载

是指己经进入塑性流动状态的各种可能情况。

（1.5．13b）和（1.5．13c），可得

o ／

      ：俨      0

户：丐叾（1 +）

     + Aa     卜。

     ：。一（2一豳并二 ：0     < 0     

一（2

（1.5，9）

（1.5、13a）

（1.5，13b）

(1.5+13c)

讨论：

（1）、杆1和杆3山完全性状态卸载的残余变形不同于杆1和杆3刚刚进入塑性状态就卸载时的残余变形，这是因为完全塑性状态下的变形俨不能确定（可自山

流动），所以残余变形不能确定。

（2）、杆1和杆3山完全塑性状态卸载的残余应力与杆1和杆3刚刚进入塑性状态就卸载时的残余应力是相同的，这是因为采用了理想弹塑性模型。

（丁 

( 3 )、將由完全塑性状悉卸載的残余成カ汁算公式代入式(い- la )的左側,同祥可以得到愴:残余カ状悉体系的カ自相平衡。即将残余カ汁算公式代入式 ( 1.5. la ) ,同祥有

 三0

ー残ー3残

(のキ)/軛キの=

1. 9a三杆桁架体系 圏1. 9b三杯桁架体系注:以下略去残余変的研究。