弹性变形与塑性变形的介绍
弹性与塑性力学是固体力学的一个分支，它由弹性力学和塑性力学两部分组成，简称为弹塑性力学。当物体承受的外力较小时，卸除外力后，物体可以完全恢复原来的状态，这种可恢复的变形称为弹性变形，弹性变形是弹性力学的研究对象。而当外力超过一定限度后，即使卸除全部外力，也有一部分变形不能恢复，这种不可恢复的变形称为塑性变形，塑性变形是塑性力学的研究对象。弹塑性力学的研究对象则包含了以上两种变形，它是研究可变形固体受到外部作用（外荷载、温度变化、边界约束变动等）时，弹性、塑性变形和应力状态的科学。
弹性力学（Elasticity）：
定义：研究材料在可恢复变形（卸载后恢复原状）的力学行为。
核心理论：
胡克定律（Hooke's Law）：应力（σ）与应变（ε）呈线性关系：
基本假设：
小变形（几何线性）。
材料均匀、各向同性。
变形完全可逆，无能量耗散。
塑性力学（Plasticity）：
定义：研究材料在不可恢复变形（永久变形）阶段的力学行为，通常发生在应力超过屈服极限后。
核心理论：
屈服准则：判断材料何时进入塑性阶段。
关键特点：
非线性应力-应变关系；
加载与卸载路径不同（存在滞回效应）；
需要考虑变形历史（路径依赖性）。
弹性与塑性变形介绍
材料力学中的低碳钢的单向拉伸实验可以阐明弹性与塑性变形，通过介绍拉伸过程中应力-应变曲线的不同阶段，结构产生不同的变形阶段。
低碳钢单向拉伸实验图
低碳钢单向拉伸时的应力应变关系
上图为实验过程中工作段横截面上的应力（单位面积上的力）与应变（单位长度的伸长量）之间的关系曲线，该曲线中有几个应力的特征值，分别为比例极限（σp）、弹性极限（σe）、屈服极限（σs）、强度极限（σb）。
弹性变形阶段：应力应变关系曲线中的OB段为弹性变形阶段，其中OA段为线弹性段。
塑性变形阶段：BF段为塑性变形阶段；其中BC段为屈服段、CE段为强化段、EF段为颈缩段。
在弹性变形阶段卸除外力后，试件变形（应变）可以恢复到0；但是在塑性变形阶段卸除外力后，试件的部分变形（应变）不可恢复。在D点卸除外力，应力从σ减小到0，但是应变从ε减小了εe，最终应变为εp。因此，在塑性变形阶段，不仅有可以恢复的弹性变形，也有不可恢复的塑性变形。如果用应变来度量变形的大小，则有
其中ε为总应变；εe为可恢复的弹性应变；εp为不可恢复的塑性应变。
塑性变形时应力与应变之间不再满足一一对应关系，应力应变曲线中σ1所对应的应变可以是由弹性变形导致的ε1，也可以是由塑性变形导致的ε′1。因此，塑性力学问题的求解，不仅与外部作用的大小有关，还与外部作用的历史有关。
弹性与塑性力学的基本假设
弹塑性力学中，为了能通过已知量（物体的几何形状和尺寸、所受的外部作用等）求出未知量（应力、应变、位移等），需要从静力学、几何学、物理学3方面出发，建立未知量所满足的基本方程和边界条件。这些方程和边界条件不可能把实际工程中所有因素不分主次地都考虑进来，因此需要按照物体的性质和求解的要求，忽略一些次要因素，使我们所研究的问题限制在一个切实可行的范围内。因此，在以后的讨论中，如果不特别指出，本书对弹塑性力学将采用以下5条基本假设。
【1】连续性假设
连续性假设：是将可变形的固体看作是连续密实的物体，组成物体的质点之间不存在任何空隙。
从基于连续性假设可以认为应力、应变和位移等是连续的，他们可以表示成空间坐标的连续函数，因而在数学推导时可以方便地运用连续和极限的概念。
【2】均匀性假设
均匀性假设：即认为物体是用同一类型的均匀材料组成的，因而各部分的物理性质相同，并不会随着坐标位置的改变而改变。
基于均匀性假设，我们在处理问题时可取出物体内任一部分进行分析，然后将分析的结果用于整个物体。如果物体是由两种或两种以上材料组成的，例如混凝土，那么只要每种材料的颗粒远小于物体的几何尺寸，而且在物体内均匀分布，从宏观意义上也可采用均匀性假设。
【3】各向同性假设
各向同性假设：即认为物体在不同的方向具有相同的物理性质，因而物体的弹性、塑性材料系数不随坐标方向的改变而改变。
单晶体是各向异性的，木材也是各向异性的，钢材虽然是由无数个各向异性的晶体组成，但是由于晶体很小，而且排列杂乱无章，所以从宏观上看是各向同性的。
【4】小变形假设
小变形假设：是指物体在外部作用下产生的位移远小于物体原来的尺寸，因而应变远小于1。
在研究物体的平衡时，可以将物体中各点位置用其初始构形来描述，而不考虑由于变形引起的尺寸和位置的变化；在建立几何方程和物理方程时，可以略去应变的二次项和二次乘积以上的项，使得到的关系式都是线性的。
【5】无初应力假设
无初应力假设：是指假设物体在受到外部作用之前处于自然状态，物体内部没有应力，因此弹塑性力学求得的应力仅仅是由外部作用引起的。
如果物体内有初始应力存在，那么这些应力要叠加在外部作用产生的应力之上，物理方程中也需要考虑初始应力的影响。
材料力学、结构力学都是以杆件或杆系结构为研究对象，材料的应力应变关系局限在线弹性范围内。而弹塑性力学的研究对象则不仅有杆系，还有板壳和块体，材料的应力应变关系也涵盖了弹性和塑性两个阶段，因此可以求解更多的力学问题，或者为更多力学问题的求解奠定基础，有限单元法力学分析就是弹塑性力学理论的一个很好的发展。
应力应变关系的简化模型
弹塑性变形过程中的应力应变关系非常复杂，若直接采用它进行理论研究，将使公式的解答也异常复杂而不可行，因此需要对这种应力应变关系进行理想化处理，用简化模型求解弹塑性力学的理论解。而如果采用的是有限单元法等求解解法，则可以采用实验得到的应力应变关系。
【1】理想弹塑性模型
在单向拉伸情况下，理想弹塑性模型的应力应变关系如图下所示。该模型包括线弹性段和理想塑性段。适用于加载初期具有明显的弹性变形，进入塑性阶段后弹性变形又远小于塑性变形，且无明显强化的材料。
【2】理想刚塑性模型
理想刚塑性模型的应力应变关系适用于弹性变形部分远小于塑性变形的情况。
【3】理想弹塑性线性强化模型
理想弹塑性线性强化模型包括线弹性段和线性强化段。适用于加载初期具有明显的弹性变形，之后的塑性变形可以简化为线性强化的材料。
【4】理想刚塑性线性强化模型
理想刚塑性线性强化模型适用于弹性变形远小于塑性变形，且塑性变形可以简化为线性强化的材料。
简化模型的选取与材料和应力状态有关。分析结构物受力变形的全过程时，常采用理想弹塑性线性强化模型；计算结构塑性极限荷载时，可采用理想刚塑性模型或理想刚塑性线性强化模型。
弹塑性力学学习的意义
从微观机理上看，产生弹性变形的原因是组成物体的微粒（晶体、原子、分子等）之间距离的改变，这种改变尚处于可以完全恢复的范围内；产生塑性变形则被认为是一种微观晶体缺陷（位错）运动的结果。但是解决实际的工程问题，从宏观特性分析就可以满足普通的力学分析。
对土建、水利、机械、航空航天等工程应用而言，学习弹塑性力学的目的主要是研究结构物在外部作用下的变形（应变）和内力（应力），确定其强度、刚度和稳定性。
此外，弹塑性力学的学习，也将为断裂力学、有限单元法等后继课程的学习打下基础。其中有限单元法是弹塑性力学最具代表性的后继拓展，它以弹性力学的变分原理为控制方程，结合加权余量法等偏微分方程解法，再利用结构离散方法和现代计算机强大的计算能力，使复杂工程结构的弹塑性力学分析成为可能，在工程界得到了广泛的应用。
