复合材料力学性能分析方法

1.1绪论

宏观力学:从物质总是统一的基本假设出发，只通过材料的表观性质考察不同物质的相互作用关系，并探讨材料的宏观力学性能。

图1-1宏观力学复合材料的构成

细观力学:从材料的细观构造出发，定量分析复合材料宏观特性和细观构造规律的方法关联

图1-2细观力学复合材料的构成

通过增强气体和基体特征以及作用来认识复合物(更多的是单向复合物)的结构特点，并用类似的模型来仿真复合物的细观构造，进而通过比较复合物组成的特点来估计材料的平均特征。

微观力学:以微观的视角检验组分材料的相互作用分析材料的稳定性。

图1-3微观力学复合材料的构成

在微观尺度上，研究材料的微观组织的体积分数、形状、分散程度、几何学特征、纤维丝与树脂界面结合性能、纤维丝分布规律、内部微观缺陷等因素对复材材料力学性能的影响，对复合材料进行精细分析。

玻璃纤维增强材料作为一类多相材料，其热力学性能和故障机理的宏观层次特性主要与其组分相的性质、加强相的形态、分布，及其加强相与基体间的界面特征等细观特性有关，而建筑材料的宏观层次特性又深受细观结构特点的制约，宏观故障主要由细观故障发展所引起，因而要探讨材料结构的宏观层次特性，就必须首先明确其在细观尺寸上的位置、位移变化情况等。

目前，对玻璃纤维增强复合材料的研制方式一般可分成宏观流体力学方式和细观力学方式二类。复合材料宏大力学方法从唯象学的观念入手，根据均匀特性假定，把复合物视为宏观均匀的介质，视加强相与基体为一体，不考虑组分相的相互影响，只考察了复合物的均匀表现特性。而宏大力学方法中的应力、应变，并非基体和加强相之间的实际应力、应变，而只是在宏观整体尺寸上的一个平均值^[1]。

复合材料细观力学的主要目的，是通过研究复合材料宏观角度特性和其组分结构特性与细观结构间的定量联系，并把微观组织结构的质量同宏观角度力学研究结果相结合，从而构建二种不同维度间的联系关系^[2]。细观力学，作为介于宏大流体力学和显微流体力学中间的主要分支领域，对于探讨跨尺度作用下的动力现象，有着很重要的理论研究价值，而且有着很大的工程应用前景，是当前流体力学理论研究的国际前沿性问题^[3]。

多尺度分析的主要思路是用全局的物质来等效原来的非均质的，并要使二个系统的应变能完全的接近一致。这种技术可以加快建模进程，降低设计工作量。

纤维增强材料中的多尺度方法主要是利用细观力学原理方法。细观力学法主要有两种:分析法和细观力学有限元法代先后给出的，大多用于探讨多晶体复合物的弹性能力问题。自洽法所采用的模型主要是在无限大均匀材料中内含了一个掺杂的模型，如图所示，即掺杂分别处在一个高效介质内，而掺杂所处高效介质中的强度常量又恰好是复合物的强度常量^[4]。求解思路主要是利用均匀边界条件下的自洽模型得到掺杂相间处的均匀应力，进而得到合理弹性刚度张量。Hill通过这一模型，验证了含球掺杂材料的有效体积模量和剪切模量相互之间在文献的上卜限之间关系，而Budiansky则依据Eshelby的研究，推导了含球掺杂多相材料的有效体积模量、剪切模量和泊松比数关系的三个祸合方程，把这些方法都顺利的引入了多相材料的等效弹性模量的预测中^[4]。WU和Boucher[3]则利用自洽模型，探讨了夹杂形式对材料弹性模量的影响。

图1-4自洽模型

1.2分析法

分析法是为了深入研究复合材料在一定弹性范围内时的弹性性能，但现在也用作对非弹性性能的估计。常用的解析法一般分为自洽方式、广义自洽方式，、Mori-Tanaka方式、胞元模型和均匀化方法等。早期的多尺度分析方法主要表现在对本征表示单位间的应变、应力场等采用直观的平均(平均场方式)，常用的表示原则有自洽方式、Mori-Tanaka、有效场方式等，以上方法均为细观力学的典型理论^[5]。早期的这些分析方法都能够处理某些基本材料特性的计算问题，不过现在大部分技术都还仅限于非均质材料的全部线性和部分非线性的基本力学特性计算上。后来又产生了多胞元模型和均匀化研究等新技术，使求解范围更加拓宽，尤其是近年来发展起来的均匀化研究，已成为解决纤维或增强复合材料等多尺寸问题的主要方式^[5]。

1.3自洽方法和广义自洽方法

自洽技术即是指Hershey和Kroner在五零年的自洽技术，能很顺利地进行多晶体复合材料的宏观结构特性分析，但在将它作为多相夹杂材料等效模量的分析中，却出现了问题。即当夹杂体积分数或裂纹体积很大时，预计所得的有效弹性模量就会存在很大误差。为解决上述弱点，Kerner给出了所谓的自治模型，所谓自治模型实际上是由夹杂、基体壳等有效介质所组成的。而Christensention的实验结果则显示，所谓自洽模型的预测结论远比白洽模型更为正确，而且其极端状态也更可信^[6]。

1.4 Mori-Tanaka方法

Mori-Tanaka法，是指一九七三年Mori和Tanaka在分析弥散性硬化物料的热加工硬化中，所采用的计算材料内部平均残余应力的背应力法，是一类采用了Eshelby等效夹杂理论的无匀质复合材料的等效平均弹性模量的计算。Mori-Tanaka方法建立了掺杂的均匀应变和基体的均匀应变之间关系的四阶张量^[7]，并把这种依赖于掺杂物浓度变化的四阶张量，用在无限大的基体复合材料中以单一掺杂的均匀应变和均匀应力之间的关系张量来代替近年来，该分析方法也作为预测非均匀复合材料特性的方法之一，不过该分析方法也仅应用于当掺杂材料的体积变化为相对小的状态，模型示意图见图二中给出^[7]。

图1等效夹杂模型示意图

1.5胞元模型

胞元模型，即宏观一细观系统的弹性本构模式(method of cells， MOC)，是Aboudi于一九八九 年首次指出来，并于一九九一年把该模式推广到通用单胞模式(generalizedmethod of cells， GMC)中，后来Aboudi等又将Bonder-Partom本构模式整合到了MOC和GMC模式中，并将其引入到了玻璃纤维增强复合材料的弹塑性分析中^[7]。胞元模拟是指运用材料的周期性假设，把代表性体积单位(repre-sentative volume element， RVE)(即单胞)分割为若干个子胞(如图三所示)，假定子胞内任一个点的移动为子胞核心移动的插值参数，运用弱化了的边界环境(一般位移连续性环境和应力连续条件)，计算了弹性流体力学的基本方程组，进而得出了RVE的应力应变场，并且运用均匀化原则得出了材料的宏观应力一应变问题，解析思路如图四所述^[7]。

和其他模型一样，该模型不仅提供了材料强度常数与热膨胀系数的分析表达式，而且同时还能够通过对宏观应力场明确的描述，测算出材料细观上的应力和变形点，因此在应用该模型进行的应力研究中，可以同时得到宏观层面应力场与细观应力场。

图1单胞模型

1.6均匀化理论

均匀化理论(homogenization theory)是在20世纪70时代初由法国物理家所发明，并运用于具有周期性特征的复合材料分析中，BabUSka曾预言将均衡化理论运用于复合材料分析中的机会，但后来在丹佛大学-vaut首先将其运用于单向纤维的复合材料研究，并将得出结论与Halpin-Tsai的研究结论做了对比，结论认为吻合性很好^[8]。在九十年代初期，欧美的应用数学家们已经建立了均匀化理论的研究框架，Guede和Kikuehi也将它真正融入了工程实践之中。近年来，该技术已经作为分析夹杂、玻璃纤维增强材料、混凝土材料等效弹性模量和复合材料的细观结构及拓扑设计最常用的方法，之一均匀化技术也是目前在国际上研究材料宏细观动力学特点比较普遍的技术，而现在中国的工程研究队伍也正在致力于这方面的研究，并逐渐地将它运用于工程设计应用中^[8]。

均匀化方法，是一类分析周期性微观构造材料特性的带有严格数理基础的方法，是一类既能分析复合材料的宏观层面特征，又能反映其细观结构特征并建立起二者之间的相互联络和作用关系的方法^[8]。它从研究组成材料的微观结构的"胞元(cell)"概念入手，把胞元均匀化理论研究同样融入宏大尺寸与显微尺寸之中，运用了渐近分析，并有效构建了宏大与细观相互之间的关系。

均匀化理论主要是面对非均匀性复合材料的周期性布局来说，透过选择合适的相应于材质宏观尺寸很小的能够表达材料组成特性的单胞来构建模型，先定义单胞的定义因素，然后写出基本能力表示(势能或余能等)，再运用能量极值原则进行变分，给出基本求解方程组，然后再运用周期性要求和均衡性要求以及相应的数学教育变换，实现联立解决，最后通过利用类似方法能够得出材质宏观等效的强度关系张量、热膨胀系数张量、热弹性常值张量，^[8]以及一些等价的材质关系。该方法的实质是用均质的宏观结构和非均质的具有周期性^[8]。

1.7等效夹杂法在复合材料细观应力分析中的应用

复合材料其实就是一种夹杂体材料，纤维是相应的夹杂。纤维的形状—无限长圆柱体是椭球体的一种极限情况。故可直接应用前面的有关公式。为简单起见我们以单向纤维增强复合材料为例进行讨论。假设纤维 ， 基体材料皆为均质，各向同性的线弹性连续体 ， 纤维与基体间的界面理想粘接，所有纤维具有相同的弹性系数张量和几何尺寸，并宏观均匀地分散在基体中，作用在无穷远处的外载是均匀的。

参考文献

[1] Glimm J， Sharp H D。 Multiscale science: a challenge for the twenty-first century。 SIAM News， 1997， 30(8)。

[2] 曹礼群.材料物性的多尺度关联与数值模拟材料科学研究，2002.24(6): 2330

[3] 沈观林，胡更开.复合材料力学。北京:清华大学出版社，2006. 3， 4

[4] 杨卫.宏微观断裂力学北京:国防工业出版社，1995

[5] 杜善义，王彪.复合材料细观力学北京:科学出版社，1998

[6] Li D S， Wisnom M R。 Finite element micromechanical modelling of unidirectional fiber-reinforced metal-matrix composites。 Come Sci Tech， 1994， 51(4): 545"563

[7] Hershey A V. The elasticity of an isotropic aggregate of anisotropic cubic crystals。 Appl Mech， 1954， 21: 236240

[8] Hill R. A self consistent mechanics of composite materials。Mech Phys Solids， 1965， 13: 213222

[9] 等效夹杂法在纤维增强复合材料细观力学研究中的应用，贺鹏飞，嵇醒