有限元必学理论基础之弹性力学平衡方程
1 外力
外力是指作用在物体上的外部载荷，可分为体积力和表面力。分布在物体体积内的力，如重力、惯性力等。它与物体的质量有关，通常用矢量 、 、 表示 ，单位为 ，作用在物体表面上的力，如压力、摩擦力等。用矢量T表示，在直角坐标系下的分量为 、 、 ,单位为 。
在建筑结构设计中，需要考虑建筑物所承受的各种外力。例如，计算高楼大厦时，要考虑风荷载这一表面力，以及地震作用产生的惯性力这样的体积力，以此来确定结构的承载能力和稳定性，确保建筑物在使用过程中能够安全承受各种外力作用。
2 内力
当物体受外力作用时，内部各部分之间产生的相互作用力。当物体在外力作用下发生变形时，其内部各点之间的相对位置发生变化，从而产生内力。通常采用截面法来揭示和分析内力。假想用一截面将物体截开，分为两部分，取其中一部分为研究对象，此时截面上的内力就成为该部分物体的外力，根据平衡条件可以求解出内力的大小和方向。
在机械零件的设计中，如传动轴，当它传递扭矩时，轴内部会产生内力。通过分析这些内力，可以合理选择轴的材料和尺寸，以保证轴在工作过程中不会因内力过大而发生破坏，确保机械系统的正常运行。
3 应力
内力在某一点处的分布集度称为应力。它是描述物体内部各点受力状态的物理量。在直角坐标系中，应力可以用应力张量来表示，即： 其中 分别表示应力的作用面和作用方向 分别对应x、y、z，应力张量包括正应力方向 ， ， 和切应力 ， ，
在压力容器的设计中，需要计算容器壁内的应力分布。通过应力分析，可以确定容器在承受内部压力时，哪些部位的应力较大，从而采取相应的加强措施，如增加壁厚或采用高强度材料，以防止容器因应力过大而发生破裂，保障生产安全。
4 平衡方程
从物体内取出一个微小的平行六面体作为研究对象，分析其受力情况。根据力的平衡条件，即合力为零和合力矩为零，考虑体积力和表面力的作用，经过一系列的分析和推导，可以得到弹性力学的平衡方程。在直角坐标系下，平衡方程的表达式为：
平衡方程描述了物体内部应力与体积力之间的平衡关系，它反映了物体在受力状态下保持平衡的条件。也就是说，只有当物体内部的应力分布满足平衡方程时，物体才能在给定的外力作用下处于平衡状态。
在桥梁结构的分析中，通过建立平衡方程来求解桥梁各部分的应力分布。根据桥梁所承受的车辆荷载、自重等外力，结合平衡方程，可以确定桥梁结构中不同位置的应力大小和分布规律。这有助于工程师评估桥梁的安全性，合理设计桥梁的结构形式和材料，确保桥梁在使用过程中能够承受各种荷载作用而不发生破坏或过大变形。
实际工程应用
发动机缸体的受力分析 问题描述：发动机缸体在工作过程中承受着燃烧压力、活塞往复运动产生的冲击力以及缸体自身的热应力等多种载荷。准确分析缸体的受力情况，对于保证其密封性、强度和可靠性至关重要。 应用方法：将燃烧压力等外力作为表面力施加在缸筒内壁上，活塞的冲击力作为动态载荷考虑。运用弹性力学平衡方程，结合缸体的复杂几何形状和材料特性，通过有限元等数值方法进行求解，得到缸体内部的应力和变形分布。 实际意义：根据分析结果，对缸体的结构进行优化设计。例如，在应力较大的部位增加加强筋，合理设计冷却水道以减小热应力，从而提高缸体的强度和耐久性，降低发动机发生故障的风险，延长其使用寿命。
