力学工程师|力学专业必备|有限元知识点概念整理合集
有限元绪论问题
1.有限元程序设计的基本原理是什么？
实际上就是最小势能原理，不同之处，即技术核心所在就是采用分段离散的方式来组合出全场几何域上的试函数，而不是直接寻找全场上的试函数。
2.计算力学涉及哪些领域？
涉及领域：有限元方法、理论及应用力学、应用数值分析和计算机及信息科学。
计算力学的应用范围扩大到固体力学、岩土力学、水力学、流体力学、生物力学等领域。
3.解决计算固体力学的静力问题都有哪些常用方法？
在固体力学领域应用最广泛的数值方法是有限元法，其他数值方法还有有限差分法、加权残量法、边界元法、有限条法、自由网格法等 。
4.为什么要采用有限元方法来解决工程问题？与常规解析方法有什么不同？
运用有限元方法解决工程实际问题时，不管是简单结构或者是复杂的结构，其求解过程是完全相同的，由于每个步骤都具有标准化和规范性的特征，可以在计算机上进行编程而自行实现，这是常规解析方法无法实现的。
5.从物理模型到有限元求解结果，中间存在哪些可能误差？
有限元分析是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的(较简单的)近似解，然后推导求解这个域总的满足条件(如结构的平衡条件)，从而得到问题的解。这个解不是准确解，而是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。由于大多数实际问题难以得到准确解，而有限元不仅计算精度高，而且能适应各种复杂形状，因而成为行之有效的工程分析手段。
按位移法求解的有限元法中，应力解答的精度要小于位移解答精度的原因：
应用位移元进行有限元分析时，未知场函数是位移，从系统平衡方程解得的是各个结点的位移值。
而应变矩阵
是插值函数
对坐标进行求导后得到的矩阵。求导一次，插值多项式的次数就降低一次。所以通过导数运算得到的应变
和应力
精度较位移
降低了，即利用以上两式得到的应变和应力的解答可能具有较大的误差。应力解的误差表现于：①单元内部不满足平衡方程②单元与单元的交界面上应力一般不连续③在力的边界上一般不满足力的边界条件
用非协调单元反而比协调单元精度高的原因：
单元原是连续体的一部分，具有无限多个自由度。在假定了单元的位移函数后，自由度限制为只有以结点位移表示的有限自由度，即位移函数对单元的变形进行了约束和限制，使单元的刚度较实际连续体加强了，因此连续体的整体刚度随之增加，离散后的
较小。
6.有限元分析的两种典型力学模型是什么？我们目前常用的模型是哪类？
集中参数模型（弹簧—质点体系）、基于连续力学模型（梁、桁架、板壳）
7.了解变分原理的基本概念。
函数的变分就是任意小的的变化，泛函就是自变量是函数的函数。在所有满足边界条件的这些解中，正确解使泛函取驻值，这就是变分原理。
8.有限元法的基本思路？
有限元方法的基本思路：将连续系统分割成有限个分区或单元，对每个单元提出一个近似解，再将所有单元按标准方法组合成一个与原有系统近似的系统。
有限单元法解题步骤：①结构的离散化，即单元网格划分；②选择位移模式；③分析单元的力学特征，利用几何方程导出结点位移表示的单元应变，利用本构方程建立单元内任意一点的应力与应变的关系，利用变分原理建立单元的平衡方程；④集 合所有单元的平衡方程，建立整个结构的平衡方程（即总的平衡方程），包括将刚度集成总刚，以及将单元的等效结点力列阵集成总的荷载列阵；⑤求解结点位移和计算单元应力，包括边界条件修正； ⑥解方程，得到未知问题的节点值；⑦后处理。
9.求解数学模型的三种模式？
强形式：偏微分方程+边界条件；弱形式：加权余量法、伽辽金法；变分形式：瑞利-里兹法
10.了解加权余量法的基本概念和实现流程，掌握伽辽金法（Galerkin加权残值法）的计算。
加权余量法求解流程：1.初步选取尝试函数、构造近似解2.结合问题的边界条件对尝试函数进行修正，以简化求解3.写出加权余数表达式（伽辽金法选取加权函数）4.令权余数表达式在各尝试函数下为0，得到代数方程组，解之得到待定系数，从而确定近似解。
11.弹性力学对应的变分原理是什么？我们常用的是哪一种？
弹性力学对应的变分原理是能量法，具体有最小势能原理和最小余能原理，其中最小势能原理用于位移法，是以位移作为基本的未知数；最小余能原理用于力法，以应力作为基本未知数求解。目前常用的是最小势能原理。
12.什么是最小势能原理，其表述？
设有满足位移边界条件BC（u）的许可位移场，其中真实的位移场
使物体的总势能取最小值，即：
13.求解弹性问题，采用微分形式和积分形式有哪些不同之处？最常用的是哪种形式？
求解过程、函数的要求及形式、泛函形式、技术关键、难易程度、求解精度、方程的最后形式、方法的规范性、方法的通用性、解题范围不同。由于工程问题非常复杂，要求所采用的方法具有较好的规范性、较低的难度、较低的函数连续性要求、较明确的物理概念、较好的通用性。而基于最小势能原理的积分形式求解方法具有较明显的综合优势。
14.虚功原理的概念？
变形体中满足平衡的力系在任意满足协调条件的变形状态上作的虚功等于零，即体系外力的虚功与内力的虚功之和等于零，即
。
1.有限元法的基本思想与有限元分析的基本步骤（5步）
有限元法的基本思想：离散、分片插值；其中离散的思想吸收了差分法的启示。
有限元分析的基本步骤：数学建模（问题分析），结构离散（第一次近似），单元分析（位移函数，单刚方程）（第二次近似），整体分析与求解（总刚度方程，引入约束，解方程组求节点位移，根据节点位移求应力），结果分析及后处理。
2.里兹法的基本思想及与有限元法区别
里兹法的基本思想：先根据描述问题的微分方程和相应定解条件构造等价的泛函变分形式，然后在整个求解区域上假设一个试探函数（或近似函数），通过求解泛函极值来获得原问题的近似解。
与有限元法的区别：里兹法是整体场函数用近似函数代替，有限元法是离散求解域，分片连续函数来近似整体未知场函数。
3.有限元法的基本定义（节点、单元、节点力、节点载荷）
• 单元：即原始结构离散后，满足一定几何特性和物理特性的最小结构域
• 节点：单元与单元间的连接点。
• 节点力：单元与单元间通过节点的相互作用力
• 节点载荷：作用于节点上的外载（等效）。
30.基于最小势能原理的有限元法，其位移计算精度与应力计算精度哪一个精度更高？为什么？
位移计算精度高，基于最小势能原理的有限元法是先求得位移，然后再通过位移计算出应力，求位移时已经有一定的误差，再计算应力时又会产生二次误差。
1.简述有限元的求解步骤及各步要考虑的主要问题是什么？
一、问题及求解域定义：根据实际问题近似求解物理性质和几何区域
二、结构离散化：选择适当的参考系、选择单元类型、合理确定单元的尺寸和阶次（确定分析计算类型和计算工况、确定各工况的边界载荷和有效计算载荷）
三、选择位移插值函数：通常选择多项式，多项式必须包含常应变状态和刚体 位移，还要满足位移连续条件
四、单元分析：利用最小势能原理建立单元刚度矩阵并推导出等效节点载荷向量
五、整体分析：组集出总体刚度矩阵
六、约束处理：引入位移边界条件，消除刚体 位移,使方程具有唯一解.
七、方程求解:获得未知节点位移
八、计算单元应力
2.简述有限元的基本思想？
分片逼近即把连续的物体剖分成有限个单元，且使之相互连接在有限个节点上，承受等效的节点载荷；根据平衡条件进行分析，然后根据变形协调条件把这些单元组合起来，再综合求解。
20.你认为有限元法的求解精度与哪些主要因素有关？
单元类型、单元尺寸和网格划分密度、模型本身复杂程度。
杆、梁问题
9.杆系结构包括哪些类型？哪些结构可以采用杆系结构模拟，请举例说明。
杆系结构：梁、拱、框架、桁架等。它们常可离散成杆元和梁元，用杆件相互连接组成的几何不变体系。如连续梁、桁架、刚架、拱、悬索结构、网架结构等。
24.纯弯梁的假设？
当杆件受一对方向相反、作用面位于杆的纵向对称平面内的力偶作用时，杆件将发生弯曲变形，受弯杆件常简称为梁。梁发生纯弯时，其横截面上只有弯矩一种内力。根据平截面假定，梁的横截面在弯曲变形后仍保持为平面，且仍垂直于挠曲后的梁轴线。
25.什么是铁木辛柯梁，与经典梁的区别？
铁木辛柯梁：位移挠度的一阶导数连续，如果对挠度函数和截面转角进行独立插值，并且考虑剪切变形的影响，这样所构造出来的梁单元。
普通梁未考虑剪切变形的影响，而铁木辛柯梁考虑了剪切变形的影响，并对挠度函数进行独立插值。铁木辛柯梁的挠度值包含了弯曲和剪切引起的变形，且长细比越小，对剪切变形的影响越大。
各类问题
4.平面应力/平面应变问题；空间问题/轴对称问题；杆梁问题；线性与非线性问题
平面应力问题
（1）均匀薄板（2）载荷平行于板面且沿厚度方向均匀分布
在六个应力分量中，只需要研究剩下的平行于XOY平面的三个应力分量，即
（
）。
一般
并不一定等于零，但可由
及
求得，在分析问题时不必考虑。于是只需要考虑
三个应变分量即可。
平面应变问题
（1）纵向很长，且横截面沿纵向不变。（2）载荷平行于横截面且沿纵向均匀分布
只剩下三个应变分量。也只需要考虑
三个应力分量即可
轴对称问题
物体的几何形状、约束情况及所受外力都对称于空间的某一根轴
轴对称单元的特点（与平面三角形单元的区别）：轴对称单元为圆环体，单元与单元间为节圆相连接；节点力与节点载荷是施加于节圆上的均布力；单元边界是一回转面；应变不是常量。 在轴对称问题中，周向应变分量
是与
有关。
板壳问题
一个方向的尺寸比另外两个方向尺寸小很多，且能承受弯矩的结构称为板壳结构，并把平分板壳结构上下表面的面称为中面。如果中面是平面或平面组成的折平面，则称为平板；反之，中面为曲面的称为壳。
杆梁问题
杆梁结构是指长度远大于其横断面尺寸的构件组成的系统。在结构力学中常将承受轴力或扭矩的杆件称为杆，而将承受横向力和弯矩的杆件称为梁。
线性问题/非线性问题
线性问题：基于小变形假设，应力与应变方程、应力与位移关系方程、平衡方程都是线性的。
非线性问题：材料非线性(非线性弹性、非线性弹塑性)，几何非线性（大变形大应变如金属橡胶，小应变大位移如薄壁结构）
22.板壳元模型与实际的板壳结构有何差别？
板壳元模型是以实际板壳结构的中面代替整个板壳结构，没有厚度，需要定义一个厚度。
8.在薄板弯曲理论中做了哪些假设薄板单元和厚板单元的基本假设有什么不同（10分）
答：四种假设： 1）变形前的中面法线在变形后仍为弹性曲面的法线。
2）变形前后板的厚度不变。
3）板变形时，中面无伸缩。
4)板内各水平层间互不挤压。
不同点：薄板单元假设横向纤维无挤压，板的中面法线变形后仍保持为直线，该直线垂直于变形后的中面，但是厚板单元的假设考虑横向变形的影响，板的中面法线变形后仍 基本保持为直线，但该直线不再垂直于变形后的中面，法线绕坐标轴的转角不再是挠度的导数，而是独立的变量。
7.轴对称问题的简单三角形单元是否是常应力，常应变为什么（10分）
答：不是常应力和常应变。
因为应变与位移分量的关系式为:
,这里除含有微分算符外，还包含了r的倒数项1/r ,则即使位移模式为线性的，但由于该项的存在，使得应变与坐标有关，即不会是常应变。应力应变的物理关系为 ，由于应变不是常应变，则所求得的应力也不会是常应力。
单元问题
28.平面三节点三角形单元的特性？与四边形相比，其精度如何？
三节点三角形单元：是常应变单元，应变矩阵和应力矩阵为常数，对于应变梯度较大的区域，单元划分应适当密集，否则不能反映出应变的真实变化，从而导致较大的误差。而四节点矩形单元，其应变和应力为一次线性变化，这种单元的位移模式是完备和协调的，因而比三节点常应变单元的精度高。
29.三角形单元刚度矩阵的性质，整体刚度矩阵的性质。
单元刚度矩阵[k]的性质：①单元刚度矩阵中每个元素有明确的物理意义例如，
表示单元第j个自由度产生单位位移(
)，其他自由度固定（=0）时，在第i个自由度产生的节点力
；它反应了单元抵抗变形的能力。由于刚体 位移不引起内力，因此同一行或同一列的系数之和为零。②每一行或每一列元素之和为零；③对称矩阵；④奇异矩阵，即[k]的行列式为零；⑤常量矩阵。
整体刚度矩阵[K]的特性：①对称性；②Kii>0；③稀疏；④带状矩阵；⑤奇异；⑥正定；⑦各列相加等于零。
由刚度矩阵的性质可知，任一主对角线上元素kii是使节点位移di为一单位位移，其他节点位移为零时必须在第i号位移方向施加的力P i。他的方向自然应与位移方向相同，因而是正值。
6. 单元节点处的位移连续性条件指的是什么？
相邻单元的公共节点在两个单元上的位移必须相等。
7. 形函数有什么重要性质？
一、相关节点处的值为1；
二、不相关节点处的值为0；
三、形函数之和为1。
8.什么是等参单元、超参单元和次参单元？
坐标变换的阶数与位移插值函数的阶数相等的单元称为等参单元；
坐标变换的阶数高于位移插值函数的阶数的单元称为超参单元；
坐标变换的阶数低于位移插值函数的阶数的单元称为次参单元。
9.三角形平面单元是常应变单元，所以单元内部各点的位移是相同的对吗？为什么？
不相同，常应变单元指的是三角形单元内部各点的应变相同，而不是位移相同，如果位移相同则应变为零，肯定不对。
10.满足协调条件的单元都是等参单元，这种说法对吗？为什么？
不对，等参单元必须满足协调条件，满足协调条件的单元不一定都是等参单元，三角形单元满足协调条件，但它不是等参单元。
11.几何矩阵
表示的是什么关系？
表示的是应变[
]与位移[
]之间的关系。
12.推导刚架单元模型时，采用了那些材料力学的基本假定？
采用了材料力学中小变形假设，从而可认为轴向变形和弯曲变形相互独立；分析弯曲变形时采用梁的基本假定：1）弯曲变形时，中性层长度不变。2）与中性层垂直的平面变形后仍为平面且与中性层垂直。3）与中性层垂直的方向变形很小可忽略。
13.满足什么条件的单元是协调单元？
在单元内位移模式必须是连续的，而在相邻单元公共边界上位移必须协调，使得离散结构仍然保持为连续弹性体。
14.建立空间桁架结构有限元模型时应注意哪些问题？
局部参考系中的单元刚度矩阵不具有累加性，需要将其变换到整体参考系中去。
15.单元等效节点载荷向量的物理含义是什么？
将单元所受到的载荷(包括力和力矩)等效移置到单元节点上得到的载荷向量。
16.单元刚度矩阵有什么特点？
正定性、奇异性、对称性。
1.论述单元划分应遵循的原则。
答：
1）合理安排单元网格的疏密分布
2）为突出重要部位的单元二次划分
3）划分单元的个数
4）单元形状的合理性
5）不同材料界面处及荷载突变点、支承点的单元划分
6）曲线边界的处理，应尽可能减小几何误差
7）充分利用结构及载荷的对称性，以减少计算量
5.简述四节点四边形等参数单元的平面问题分析过程。（5）分）
答：（1）通过整体坐标系和局部坐标系的映射关系得到四节点四边形等参单元的母单元，并选取单元的唯一模式；
（2） 通过坐标变换和等参元确定平面四节点四边形等参数单元的几何形状和位移模式；
（3）将四节点四边形等参数单元的位移模式代入平面问题的几何方程，得到单元应变 分量的计算式，再将单元应变代入平面问题的物理方程，得到平面四节点等参 数单元的应力矩阵；
（4）用虚功原理求得单元刚度矩阵，最后用高斯积分法计算完成。
6. 简述四节点四边形等参数单元的平面问题分析过程。（10分）
答：（1）通过整体坐标系和局部坐标系的映射关系得到四节点四边形等参单元的母单元，并选取单元的唯一模式；
（2） 通过坐标变换和等参元确定平面四节点四边形等参数单元的几何形状和位移模式；
（3）将四节点四边形等参数单元的位移模式代入平面问题的几何方程，得到单元应变 分量的计算式，再将单元应变代入平面问题的物理方程，得到平面四节点等参 数单元的应力矩阵；
（4）用虚功原理求得单元刚度矩阵，最后用高斯积分法计算完成。
2. 在划分网格数相同的情况下，为什么八节点四边形等参数单元精度大于四边形矩形单元 （5分）
答：在对于曲线边界的边界单元，其边界为曲边，八节点四边形等参数单元边上三个节点所确定的抛物线来代替原来的曲线，显然拟合效果比四边形矩形单元的直边好。
3.轴对称单元与平面单元有哪些区别 （5分）
答：轴对称单元是三角形或四边形截面的空间的环形单元，平面单元是三角形或四边形平面单元；轴对称单元内任意一点有四个应变分量，平面单元内任意一点非零独立应变分量有三个。
位移函数
32.掌握位移函数和形函数的概念，掌握二者之间的关系。
位移函数u：是单元内部位移变化的数学表达式，设为坐标的函数，由于有限元法采用能量原理进行单元分析，因而必须事先设定位移函数。但在有限元中，当单元划分得足够小时，把位移函数设定为简单的多项式就可以获得相当好的精确度。
形函数N：是用单位结点位移分量来描述位移函数的插值函数。
二者关系式：
33.选择单元位移函数需要满足的条件有哪些？
选择单元位移函数应满足一下条件：1）反映单元的刚体 位移与常量应变。
2）相邻单元在公共边界上的位移连续，即单元之间不能重叠，也不能脱离
选取位移函数应考虑的问题（1）位移函数的个数（2）位移函数是坐标的函数（3）位移函数中待定常数个数（4）位移函数中必须包含单元的刚体 位移。（5）位移函数中必须包含单元的常应变。（6）位移函数在单元内要连续。相邻单元间要尽量协调。
32. 选择单元位移插值函数是否要包含刚体 位移？
要包含刚体 位移
位移插值函数的收敛性要求：
1)位移插值函数必须包含常应变状态
2)位移插值函数必须包含刚体 位移
33. 有限元应用中根据什么构造形函数？
1）Ni表示在i点的节点位移为1，其它节点位移为0时的位移场函数。
2）单元的形状函数满足：
，表明形状函数能够描述单元的刚体 位移。
21.单元位移插值多项式的阶数由什么决定？
单元类型、单元节点数和自由度数、单元的完备性和协调性要求。
2.说明形函数应满足的条件。
答：
形函数应满足的三个条件：
a.必须能反映单元的刚体 位移，就是位移模式应反映与本单元形变无关的由其它单元形变所引起的位移。
b.能反映单元的常量应变，所谓常量应变，就是与坐标位置无关，单元内所有点都具有相同的应变。当单元尺寸取小时，则单元中各点的应变趋于相等，也就是单元的形变趋于均匀，因而常量应变就成为应变的主要部分。
c.尽可能反映位移连续性；尽可能反映单元之间位移的连续性，即相邻单元位移协调。
等参
39.掌握等参单元的基本概念。
等参变换：单元几何形状的变换和单元内的场函数采用相同数目的节点参数及相同的插值函数进行变换。采用等参变换的单元称为等参单元。
等参元：几何形状函数矩阵N中的插值阶次=位移形状函数矩阵N中的插值阶次。（超参元“>”，亚参元“<”）
39.掌握等参单元的基本概念。
等参变换：单元几何形状的变换和单元内的场函数采用相同数目的节点参数及相同的插值函数进行变换。采用等参变换的单元称为等参单元。
等参元：几何形状函数矩阵N中的插值阶次=位移形状函数矩阵N中的插值阶次。（超参元“>”，亚参元“<”）
34.何谓等参变换？
计算单元刚度矩阵时,需要积分运算。对于简单的单元容易求出显式积分结果;对于复杂形状的单元很难求出显式积分结果，通常采用数值积分进行近似计算。由于数值积分要求积分区域必须是规则的，通常需要采用坐标变换的方法把不规则的单元形状变换到自然坐标系中,这就是参数单元变换。
3.说明四边形等参数单元中“等参数”的含义，即为什么要引入等参数单元。
含义：所谓的等参数单元，就是在确定单元形状的插值函数和确定单元位移场的插值函数中采用了完全相同的形函数。
意义：构造出一些曲边地高精度单元，以便在给定地精度下，用数目较少地单元，解决工程实际地具体问题。
5.不同类型单元的节点自由度的理解：
单元类型 | 节点数 | 节点自由度 |
杆单元 | 2 | 1 |
梁单元 | 2 | 3 |
平面单元 | 3 | 2 |
平面四边形 | 4 | 2 |
轴对称问题 | 3 | 2 |
板壳单元 | 4 | 3 |
四面体单元 | 4 | 3 |
6.位移函数的构造方法及满足的基本条件
构造方法：（1）广义坐标法，按照帕斯卡三角形选择多项式，项数多少由单元的自由度数决定。（2）插值函数法，表示为形函数和节点位移的乘积表示。
基本条件：（1）位移函数在单元节点的值应等于节点位移（即单元内部是连续的）；（2）所选位移函数必须保证有限元的解收敛于真实解。
7.位移函数的收敛性条件（协调元、非协调元）及单元协调性的判断
位移函数的收敛性条件
（1）位移函数应包含刚体 位移
（2）位移函数应包含常量应变（反映单元的常应变状态）
（3）位移函数在单元内连续，在单元之间的边界上要协调
满足1和2称为完备单元，满足1，2，3称为协调单元。
单元协调性的判断
以3节点三角形单元为例，位移分量在每个单元中都是坐标的线性函数的话，在公共边界上也会是线性变化的，那么相邻单元在公共边界上的任意一点都具有相同的位移，也就是协调单元。
有限元法中，假设一种位移函数近似表达单元内部的真实位移分布，该位移函数可表示为位移函数和节点位移的线性插值。
8.有限元解的性质
有限元解具有下限性质，即有限元的解小于实际的精确解。这是因为实际结构本来是具有无限自由度的，当用有限元求解时，结构被离散为有限个单元的集 合后，便只有有限个自由度了。由无限自由度变为有限自由度可以认为是对真实位移函数增加了约束，限制了结构的变形能力，从而导致结构的刚度增大、计算的位移减小。
3.能给出解析式的解就是精确解，只能以数值方式求得解都是近似解。这种说法对不对？为什么？
不对，能给出解析式的解不一定是精确解，材料力学中的力学公式都是在一些假定的基础上建立的，都是近似解；通过数值方式求的解不一定是近似解，结构力学中的矩阵位移法就是精确解。
4.解析解的精度一定高于数值解的说法对不对？为什么？
不对，解析解可能是近似解，而数值解可能是精确解。
9.形函数特性
1)形函数Ni 为x、y 坐标的函数，与位移函数有相同的阶次。
2)形函数Ni 在i 节点处的值等于1，而在其他节点上的值为0。
3)单元内任一点的形函数之和恒等于1。
4)形函数的值在0-1 间变化。
10.单元刚度矩阵的性质及元素的物理意义
单元刚度矩阵的性质特点：
(1)对称性（2）奇异性，|K|=0（3）主对角线元素恒为正值（4）奇偶行元素之和分别为零（各行或各列元素之和为零）
物理意义：
单元刚阵[K]的物理意义是单元受节点力作用后抗变形的能力。
其中分块矩阵[Kij]的物理意义为：当在j节点处产生单位位移而其他节点位移为零时，在i节点上需要作用力的大小。
其中元素Kij表示在第j号自由度上产生单位位移时，其他自由度位移为零时，在i号自由度上所需要施加的力的大小。
单元刚度矩阵的元素表示该单元的各节点沿坐标方向发生单位位移时引起的节点力，它决定于该单元的形状、大小、方位和弹性常数，而与单元的位置无关，即不随单元或坐标轴的平行移动而改变。
11.边界条件处理（载荷等效移置集中力/均布力/线性分布力 边界位移约束处理固定/指定位移等）
载荷等效移置
连续弹性体离散为单元组合体时，为简化受力情况，需把弹性体承受的任意分布的载荷都向节点移置(分解)，而成为节点载荷。
载荷移置的原则：能量等效（或静力等效原则），即单元的实际载荷与移置后的节点载荷在相应的虚位移上所做的虚功相等。
集中力，移置到两端节点，使得F1 L1 =F2 L 2，F1 +F2=F
均布力，移置到两端节点，F1 =F2=0.5qL
线性分布力， F1=1/3 0.5qL ，F2=2/3 0.5qL
边界位移约束
一．绝对位移约束
刚性支座（活动铰支，固定铰支，固接支座） ——固定位移
弹性支座（线弹性制作，非线性支座） ——可变位移
强迫约束 ——指定位移 用载荷等效，装配应力+整体应力
二．相对位移约束（如两接触面）
1.约束等式
2.耦合约束（连接重合节点，模拟滑动边界连接，施加周期对称边界条件）
常见的位移约束问题处理
约束不足的处理
(1)利用对称性引进约束（取1/n后，在对称面上施加位移约束）
(2)转换载荷为位移约束（受平衡载荷作用，将一部分载荷用位移约束代替）
(3)人为增加约束（约束点应尽量远离重要部位，约束点变形要相对小）
其他，杆离散为多个杆单元时，须在连接节点增加约束，只允许产生轴向位移。轴对称结构，施加轴向约束。
过约束的处理
有时需要施加过约束，有时需要释放过约束。
引入位移边界条件是为了消除有限元整体刚度矩阵
的奇异性。
12.总体刚度矩阵组装原则及总刚阵特点
总体刚度矩阵组装原则：
1.在整体离散结构变形后，应保证各单元在节点处仍然协调地相互连接，即在该节点处所有单元在该节点上有相同位移。
2.整体离散结构各节点应满足平衡条件。即环绕每个节点的所有单元作用其上的节点力之和应等于作用于该节点上的节点载荷Ri。
总刚度矩阵特点：除了具有单元刚阵的特点外，还有
1.稀疏性，是指总刚矩阵的绝大多数元素都是零，非零子块只占一小部分。
2.带状性，是指总刚矩阵中非零子块集中在主对角线两侧，呈带状分布。
（附，半带宽B=（相关节点号最大差值+1）*节点自由度数）
其他问题
26.什么叫做剪切闭锁，可以采用什么方法处理和避免？
剪切闭锁：是由于约束条件未能精确满足（dw/dx-ψ≠0），在梁很薄时导致不确当地夸张了剪切应变能项的量级而造成的现象。
避免产生剪切闭锁的方法：减缩积分、假设剪切应变、替代插值函数。
1、有限元平面问题有几个自由度？空间问题有几个自由度？弹性力学三大方程分别应用了何种假定？
答：平面问题中一个节点有2 个自由度，如平面三节点三角形单元则有6 个自由度；空间问题中一个
节点有3个自由度，如6 节点的四面体单元则有18 个自由度。
假设：1）假定物体是连续的，就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空
隙。2）假定物体是完全弹性的，就是假定物体完全服从胡克定律——应变与引起该应变的那个应力分量
成比例。3）假定物体是均匀的，就是整个物体是由同一材料组成的。4）假定物体是各向同性的，就是物体内一点的弹性在所有各个方向都相同。5）假定位移和形变是微小的。
2、位移模式的完备性条件是什么？必须要满足吗？
答：完备性条件：位移函数中必须包含单元的刚体 位移；位移函数中必须包含单元的常应变。
完备性准则是有限元解收敛于真实解的必要条件。必须满足才行。
44.什么叫做零能模式？为什么会产生零能模式？
由于采用减缩积分导致的使应变能为零、而自身有别于刚体运动的位移模式称为零能模式。
既要使得Kse具有奇异性，以解决剪切自锁问题，又要保证整体刚度矩阵K是非奇异的，以避免出现零能模式。
二建模与结果分析
1.影响有限元分析精度和成本的因素
影响有限元解的误差：1）离散误差 2）位移函数误差
分析精度：A、单元阶次B、单元数量C、划分形状规则的单元
D、建立与实际相符的边界条件E、减小模型规模F、避免出现“病态”方程组，当总刚矩阵元素中各行或各列的值相差较大时，则总刚近似奇异。
2.有限元模型的基本构成（节点数据、单元数据、边界条件等）
节点数据：节点编号、坐标值、坐标参考系代码、位移参考系代码、节点数量、单元编号
单元数据：单元节点、编号单元、材料特性码、单元物理特性值码、单元截面特性、相关几何数据
边界条件数据：位移约束数据、载荷条件数据、热边界条件数据、其他边界条件数据
归纳起来，网格划分生成节点和单元的过程主要包括定义单元属性、定义网格生成控制和生成网格三个步骤。
3.有限元建模的常用方法理解及应用（如细节处理、分步计算、局部计算、子结构法、对称性简化等）
细节处理也称为小特征处理，即删除或抑制对结构力学性能影响不大的细小结构。
分步计算，如果结构的局部存在相对尺寸非常小的细节，且又不能进行细节处理，可采用分步计算来控制有限元模型的规模。
局部处理就是从所建立的力学模型中抽取一部分出来进行分析，该部分通常是研究者最关心的的危险区域。
子结构法是先将大型结构分解为若干个结构区域，每个区域作为一个子结构。子结构被进一步细分为单元，并人为地将子结构上的节点划分为边界节点和内部节点两类.
对称性简化，对称性分为反射对称和周期对称
（1）反射对称，受对称载荷作用则对称面上的位移条件为
①垂直于对称面的移动位移分量为零。②绕平行于对称面的两相互垂直的轴的转动位移分量均为零。
（2）反射对称，受反对称载荷作用则对称面上的位移条件为
①平行于对称面的移动位移分量为零；②绕方向矢量垂直于对称面的轴的转动位移分量为零。
（3）对称结构受任意载荷作用（迭加原理）
（4）周期对称的位移条件，周期对称边界上的对应点有相同的位移状态
4.边界约束条件的处理（见前）。
5.单元类型选择的一般原则
选择原则：同一问题所选单元应使计算精度高、收敛速度快、计算量小。
1、杆系结构：a、铰接连接时，选杆单元；b、刚性连接时，选刚架单元。
2、平面结构：a、外载平行于平面内，选平面单元b、外载不在平面内，选弯曲板壳单元
3、空间结构：a、结构和受力具有轴对称性，选轴对称单元；b、一般实体，选三维实体单元。
38.可以采用哪些方法提高有限元的计算精度？不同单元连接时需要注意哪些问题？
1、提高计算分析精度方法：h方法、p方法、r方法、自适应方法及组合方法h-p adaptive。
① h方法：不改变各单元上基底函数的配置情况，只通过逐步加密有限元网格来使结果向正确解逼近。② p方法：保持有限元的网格剖分固定不变，增加各单元上基底函数的阶次，从而改善计算精度。③ r方法：不改变单元类型和单元数目，通过移动节点来减少离散误差，因而，单元的总自由度保持不变。④自适应方法：运用反馈原理，利用上一步的计算结果来修改有限元模型，其计算量较小，计算精度却得到显著提高。
2、不同单元连接时需要注意：①、单元之间不能没有连接；②、连接要协调，两节点的边不能与三节点的边相连接；③、边节点不能与角节点连接。
三．其他
1. 有限单元法首先求出的解是位移，单元应力、应变可由它求得。
2.模型简化
力学模型简化就是借助对称原理、圣维南原理、叠加原理、等效准则等，在保证考察问题的精度不受影响或具有足够近似精度的要求下，对所研究问题的力学模型进行简化，从而达到减小计算时间和存储空间的目的。常用方法有降维处理、等效变换、对称性利用、组合分析、场耦合分析。
3.对称性利用注意事项
（1）不仅结构的形状、载荷要对称，还要求位移约束也对称（2）若对称面上作用有载荷，则应取载荷的1/2进行分析（3）若对称面上存在板或梁，这时板或梁单元的刚度应取整个单元刚度的1/2（4）用对称面剖分结构时，应尽量使剖分面不在结构的最大应力位置。其他略。
4.整体刚度方程中的约束条件引入
引入约束的方法常有：1）降阶法（打乱[K]{R}的储存顺序）2）对角元素置1法 3）对角元素乘大数法
5.有限元方程求解前为什么要进行约束处理？
消除刚体 位移，使方程有唯一解;总刚矩阵是奇异矩阵，其物理意义是整个结构可在无约束或约束不足的情况下发生刚体运动。为了求出结构的变形位移，就必须对模型施加足够的位移约束，以排除各种可能的刚体运动。
23.用有限元法进行结构计算时怎样才能求得约束反力？
进行约束处理消除刚体 位移之后，可求得唯一解，从而得到位移向量，代回平衡原方程即可求得约束反力。
24.桁架单元与板单元连接时是否需要补充位移协调关系？为什么？
需要，因为两种单元的自由度数不同，不补充位移协调关系会导致自由度不连续。桁架与板单元因自由度不同,需要;桁架与其他单元:不一定,看与其连接的单元自由度数是否相同.
25.桁架单元与其他单元连接时是否需要补充约束使其相对变形与实际相一致？
不一定，要与桁架连接的单元自由度数与桁架单元是否相同，相同的话就不需要。
26.刚架单元与实体单元连接时是否需要补充位移协调关系？怎样补充？
需要，可以多点约束方程（还可以采用过渡单元）。
27.有限元法求解结构力学问题时，只能给出有限个节点的位移和有限个单元应力输出点的应力，而无法得到整个结构的位移场和应力场。这种说法是否正确？为什么？
不正确，求解以后能得到单元节点的位移、应变、应力，然后通过位移插值函数得到单元内任意一点的位移，进而得到应变、应力。
28.协调单元的应变在单元公共边界上是连续的吗？应力也连续吗？
协调单元的应变在单元公共边界上是连续的，应力不一定连续。
29.什么是自然坐标？自然坐标有什么优点？在单元分析时为什么要使用自然坐标？
自然坐标是沿质点的运动轨道建立的坐标，包含切向和法向的坐标，它是以质点为中心建立的坐标，随点变化，单元分析时可利用各个节点建立各自的自然坐标，能更容易地描述单元的变形,不同单元具有良好的同一性.
30.基于最小势能原理的有限元法，其位移计算精度与应力计算精度哪一个精度更高？为什么？
位移计算精度高，基于最小势能原理的有限元法是先求得位移，然后再通过位移计算出应力，求位移时已经有一定的误差，再计算应力时又会产生二次误差。
31.你认为有限元方法与实验方法相比有哪些优点和不足？
优点:1)经济、快捷、成本低、周期短2）一次分析可以获得大量的数据3)可以与设计同步进行4）可以配合优化算法对设计进行优化
缺点：计算结果不如实验结果真实可靠。
4.阐述边界元法的主要优缺点。
有限单元法是基于变分原理的里兹（Ritz）法的另一种形式，从而使里兹法分析的所有理论基础都适用子有限单元法，确认了有限单元法是处理连续介质问题的一种普遍方法．利用变分原理建立有限元方程和经典里兹法的主要区别是有限单元法假设的近似函数不是在全求解域而是在单元上规定的，面且事先不要求满足任何边界条件，因此它可以用来处理很复杂的连续介质问题。有限单元法中所利用的主要是伽辽金（Galerkin）法。它可以用于已经知道问题的微分方程和边界条件，但变分的泛函尚未找到或者根本不存在的情况，因而进一步扩大了有限单元法的应用领域。
三十多年来，有限单元法的应用已由弹性力学平面问题扩展到空间问题、板壳问题，由静力平衡问题扩展到稳定问题、动力问题和波动问题。分析的对象从弹性材料扩展到塑性、粘弹性、粘塑性和复合材料等，从固体力学扩展到流体力学、传热学等连续介质力学领域。在工程分析中的作用已从分析和校核扩展到优化设计并和计算机辅助设计技术相结合。可以预计，随着现代力学、计算数学和计算机技术等学科的发展，有限单元法作为一个具有巩固理论基础和广泛应用效力的数值分析工具，必将在国民经济建设和科学技术发展中发挥更大的作用，其自身亦将得到进一步的发展和完善。
1.有限单元位移法求解弹性力学问题的基本步骤有哪些（5分）
答：（1）选择适当的单元类型将弹性体离散化；
（2）建立单元体的位移插值函数；
（3）推导单元刚度矩阵；
（4）将单元刚度矩阵组装成整体刚度矩阵；
（5）代入边界条件和求解。
答：（1）单元为块体形状。常用单元：四面体单元、长方体单元、直边六面体单元、曲边六面体单元 、轴对称单元。（2）结点位移3个分量。（3）基本方程比平面问题多。3个平衡方程，6个几何方程，6个物理方程。
