《Mechanics of Solid Polymers》5.3.4 储能对I1和I2的依赖性

yunduan082

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5.3.4 储能对I1和I2的依赖性

固体聚合物在变形过程中储存的亥姆霍兹自由能取决于应用变形的不变量I1、I2和J。换言之，超弹性理论是由储能如何依赖这些不变量来唯一定义的。

为更好地说明这些依赖关系，考虑弹性体的实验数据是很有用的。图5.6展示了Treloar[15, 16]对天然橡胶在单轴拉伸、双轴拉伸和纯剪切条件下的实验数据。

在这个案例中，橡胶材料被变形到非常大的工程应变，超过300%。对于每个应变值，在材料被允许松弛后测量平衡应力。如预期的那样，该图显示应力-

应变响应在所有三种加载模式都是非线性的，且双轴应力最高，单轴应力最低。

从这些数据可以直接计算出材料在各加载模式下的储能与变形的关系。图5.7展示了自由能如何依赖于第一不变量I1。一般而言，内部能不仅依赖于第一不变量I1，还依赖于I2和J。这在图中清晰可见，因为三种加载模式的能量曲线并不完全重合。

图 5.6 天然橡胶在单轴拉伸、双轴拉伸和纯剪切条件下的实验数据

通过计算I1和I2如何依赖于不同加载模式下的拉伸，可以研究I1和I2对自由能的影响。例如，将方程(5.78)-(5.80)中的变形梯度直接代入I1和I2的定义（见方程(4.65)和(4.66)）可得到图5.8和5.9所示的结果。这些图显示，在三种加载模式中，双轴加载使材料经历的I2值远高于单轴加载或平面应变加载。

图 5.7 根据Treloar的数据计算的亥姆霍兹自由能与第一不变量I1的关系

图5.8 单轴、平面应变和双轴加载下 I 2 值的比较，作为施加拉伸 λ 1 的函数。

图5.9 单轴、平面应变和双轴加载下 I2 值的比较，作为施加拉伸 λ1的函数。

另一种绘制数据的方法是将I2/I1的比值作为应用拉伸λ的函数，见图5.10。对于任意变形状态，有三个不变量，如果材料是不可压缩的那么仅有两个不变量：I1和I2。以混凝土为例，考虑一个变形状态，其中λ1=2，然后改变λ2，可以直接从λ1和λ2的值计算I1和I2的值，并计算比值I2/I1。该计算的结果如图5.10所示。

图5.10 各种加载模式下的 I2 /I1 归一化值 (针对各向同性材料)

这些结果有助于理解图5.7中显示的实验亥姆霍兹自由能。在该情况下，双轴加载下的自由能高于单轴加载或纯剪切下的能量。造成这种情况的原因之一可能是双轴加载下I2的值更高，因此仅将能量绘制为I1的函数会低估自由能。

来源：ABAQUS仿真世界

《Mechanics of Solid Polymers》5.3.3 纯剪切与平面拉伸的相似性

5.3.3 纯剪切与平面拉伸的相似性在特定条件下,平面拉伸试验的结果可等效转换为的纯剪切数据。当需要剪切数据但缺乏专门的剪切试验设备时,这种方法很有用。为说明纯剪切与平面拉伸的相似性,我们从不可压缩材料在纯剪切下的变形梯度开始:其中α为剪切位移。F11项取1/(1-α^2)是为了保持体积不变,即det(F)=1。图5.4展示了纯剪切下,正方形在不同α值时的变形情况。图5.4 展示了纯剪切下正方形在不同α值时的变形：注意,正方形变形成等边菱形。这与简单剪切下正方形变为平行四边形的情况不同现考虑不可压缩平面应变拉伸的变形梯度:其中α与公式(5.59)中的位移值相同。在此变形梯度下,2方向发生拉伸,而1方向无应变。如果我们将这个变形状态绕1方向旋转45°,则旋转矩阵为:旋转后的变形梯度变为:对于小应变,此方程可简化为:其中Δ是一个很小的值，用于保证不可压缩性。O(α^3)是大O记号，表示该项的阶为α^3。如果α≪1，则α^2及更高阶项可忽略，得到：这与纯剪切的变形梯度相同。这表明对不可压缩材料，在小应变下纯剪切和平面拉伸行为是一致的。随着变形的增加，纯剪切和平面拉伸的差异会变大。图5.5展示了理想化不可压缩加载情况下，真实应力随变形α的变化。图中σ23表示纯剪切应力，σ22表示平面拉伸应力。应力计算采用剪切模量为1MPa的Neo-Hookean(NH)材料模型。图表明，当变形α>0.5时，两种变形模式开始出现明显差异。图5.5 纯剪切和对应平面拉伸在不同应用变形下的预测应力比较来源：ABAQUS仿真世界