几何非线性| 桁架单元(一)

在上篇几何非线性| 应变张量，得到拉格朗日应变表达式为

用指标记法

对于杆系结构，有

拉格朗日应变适用于描述几何非线性。

▲图1

如图1所示的桁架单元，局部坐标下的位移插值

其中，    是单元节点位移矩阵。

拉格朗日应变

虚位移

虚应变

这里，(6)用到了变分运算公式

内力虚功为

记

则

由(6)可得

应力

由(8)(10)(11)可得

▲图2

如图2所示的非线性迭代过程，当某一迭代步    达到收敛标准时，可以认为处于平衡状态，即

式中    是结构内力，    是外荷载，    是    迭代步时的节点位移。

   迭代步时的内力用一阶泰勒展开

由(13)(14)得

记

其中，    叫做切线刚度矩阵，(15)可写成

   是内力的导数，    是新的荷载步下的外荷载。

其中    叫做初始刚度矩阵，    叫做几何刚度矩阵。对于桁架单元

几何刚度矩阵

其中

同理

最终得到局部坐标下的切线刚度矩阵为

局部坐标和整体坐标下的节点位移转换关系

整体坐标下的切线刚度矩阵