JFM：美国学者首次提出N-S方程的规范哈密顿公式
JFM：美国学者首次提出N-S方程的规范哈密顿公式
近期，N-S方程的正则哈密顿公式被提出。论文《A canonical Hamiltonian formulation of the Navier–Stokes problem》，于4月1日刊登在了流体力学领域顶级期刊《Journal of Fluid Mechanics》上，论文作者同步发文：今天我可以正式宣布，有史以来第一次，我们有了纳维尔-斯托克斯问题的哈密顿公式，这是数学中最著名的未解问题之一。这项工作已经通过了同行评审。
该论文提出了基于最小二乘原理推导的最小作用原理的各向同性纳维-斯托克斯问题的新型哈密尔顿公式。该公式使用速度和压强作为可变化的场量，以及从分析中推导出的正则共轭动量。基于此，该研究构造了满足哈密顿正则方程的守恒哈密顿函数H*，并针对可压缩和不可压缩流制定了相关的哈密顿-雅可比方程。这个哈密顿-雅可比方程将寻找四个独立场量的问题简化成在这些场中找到单个标量泛函（scalar functional），即哈密顿的主泛函此外，哈密顿和雅可比的变换理论为解决纳维-斯托克斯问题提供了一个规定的方法：找到哈密顿主泛函S*。
本文提出了一种新的各向同性纳维-斯托克斯问题的哈密顿公式,该公式基于从最小二乘原理推导出的最小作用原理。该公式使用速度u_i(x_j,t)和压力p(x_j,t)作为要变化的场量,以及从分析中推断出的典型共轭动量。由此构造了满足哈密顿规范方程的守恒哈密顿泛函H*,并针对可压缩和不可压缩流动制定了相关的Hamilton-Jacobi方程。这个哈密顿-雅可比方程将寻找四个独立场量(u_i,p)的问题简化为在这些场中寻找单个标量泛函的问题——哈密顿的主泛函S*[u_i,p,t]。此外,哈密顿和雅可比的变换理论现在为解决纳维-斯托克斯问题提供了一个新的方案:找到S*。如果可以得到S*的解析表达式,它将通过规范变换导致一组新场,这些场仅等于它们的初始值,从而给出原始速度场和压力场的解析表达式。如果做不到这一点,如果只能证明这个哈密顿-雅可比方程的完全解存在或不存在,那也将解决解的存在问题。这里采用的方法并不特定于纳维-斯托克斯问题,甚至不特定于经典力学,可以应用于任何传统的非哈密顿问题。
鉴于本文的标题,作者有责任向读者保证,我们并没有声称已经完成了不可能的事情。毕竟,粘性流体是非哈密顿系统。不存在哈密顿原理产生纳维尔-斯托克斯方程的通常形式的作用积分,我们也不主张其他形式。然而,值得注意的是,通过考虑一个数学上等价的高阶问题,仍然可以找到哈密顿公式,正如我们现在将通过简单的例子来证明的那样。 01 一个激励人心的例子
考虑一阶初始值问题
具有唯一解v(t)=e^(-t)。在这里,v(t)可以解释为集总质量在一维粘性介质中移动的速度,具有线性阻尼。就像传统的纳维-斯托克斯方程,这也是一个本质上非哈密顿问题, 因为没有动作S的哈密顿原理(δS=0)产生控制方程v(导数)=-v。然而,如果我们简单地微分方程的两边(v(二阶导数)=-v(导数)),使用原始方程写出v(导数)=-v并应用额外的初始条件v(导数)(0)=-v(0)=-1,我们得出数学上等效的二阶问题它具有相同的唯一解v(t)=e^(-t),但它是哈密顿量不是在总机械能守恒的意义上,而是在数学上具有哈密顿结构的意义。 正如Sanders(2021,2022,2023a,b)和Sanders&Inman(2023)首次观察到的那样,可以通过以标准形式(R≡v ̇+v=0)编写原始方程来获得相关作用,对残差R进行平方并随时间进行积分:其中我们使用了2vv ̇=d(v2)/dt是总时间导数的事实,因此可以在不改变生成的欧拉-拉格朗日方程的情况下从作用中排除(Lanczos 1970)。这就是所谓的“最小二乘时间平均原理”(Sanders 2021, 2022, 2023a,b;Sanders & Inman 2023):由于R=0是R2的局部最小值,因此它也是∫dt(R2)的局部最小值。S*的第一个变化是
在这里,以及接下来的内容中,我们将按照哈密顿场论中的惯例,使用符号π来表示规范共轭动量,以避免以后与压力场p混淆。由于数学常数3.14159...没有出现在现在的结果中,所以不会有歧义。 
值得注意的是,这个哈密顿量与系统的总机械能无关,尽管它是一个守恒量。我们顺便指出,Liouville定理是满足的,因为运动沿着π=−v线发生,因此相空间体积始终为零,是守恒的。哈密顿方程组
在数学上等价于二阶问题,因此在数学上也等价于原始的一阶问题。 相关的哈密顿-雅可比方程(Hamilton 1833, 1834, 1835; Jacobi 1837, 1842–1843; Whittaker 1904; Lanczos 1970)是ww
其中,哈密顿的主泛函S*=S*(v,t)用作规范变换到新坐标φ的生成函数,该坐标恒定且等于其初始值。尽管这与简单谐振子的哈密尔顿-雅可比方程几乎相同——唯一的区别是(1/2)v2前面的符号——但通常形式的S*(v,t)=W(v)+T(t)形式的可分解,其中W(v)和T(t)分别是v和t的函数,不起作用,正如读者可以检查的那样。 其中F(t)和f(t)是t的未确定函数。选择此试验解决方案是为了从等式中取消项(1/2)v2。将我们的试验解代入哈密顿-雅可比方程,我们发现
为了使这个方程对所有v都成立,我们必须满足以下条件:
其中γ是另一个积分常数,它只是相加的,因此可以丢弃。 
使用一个积分常数(α)来匹配单自由度(v),这是哈密顿-雅可比方程的完整解。新的坐标φ(常数且等于其初始值)是通过规范变换获得的
在t=0时计算,得出α=−2。使用新坐标φ等于其初始值的事实,我们得到了
总之,通过将控制方程的顺序加倍并提供额外的辅助条件,我们将非哈密顿问题变成了哈密顿问题(Sanders 2021, 2022, 2023a,b; Sanders & Inman 2023)。此外,这个简单的例子表明,该方法 正确地给出了原始非哈密顿问题的解。事实上,似乎每个非哈密顿问题都属于具有相同解的等价类问题,并且在每个等价类中都有哈密顿变体。本文的其余部分将该概念应用于各向同性纳维-斯托克斯问题(Stokes 1845; Anderson et al. 1984; Anderson 1995; Batchelor 2000; White 2006; PozR_ikidis 2009; Cengel & Cimbala 2018)。 不可压缩的纳维-斯托克斯方程(Stokes 1845; Anderson et al. 1984; Anderson 1995; Batchelor 2000; White 2006; PozR_ikidis 2009; Cengel & Cimbala 2018)由下式给出
其中 (πi,π4)是适合与场量(u_i,p)共轭的“动量”,使得哈密顿的规范方程
构成该问题的数学等效二阶公式,其中 δH*/δu_i、δH*/δp、δH*/δπi和δH*/δπ4是H*的Volterra(1930)关于场量和共轭动量的泛函导数。我们会发现,对于可压缩流体来说,这通常是可能的。对于不可压缩流体,方程p ̇=δH*/δπ4需要替换为不可压缩性条件u_i,i=0,这与众所周知的结果一致,即压力通常用作不可压缩性约束的拉格朗日乘数(Lanczos 1970;Badin & CR_isciani 2018)(参见Lanczos(1970)的第361页和Badin & CR_isciani 2018的第137和141页)。
本文的其余部分组织如下。第2节全面概述了迄今为止的相关文献。第3节和第4节包含本工作的主要结果,最终得到一个守恒的哈密顿泛函H*满足数学上等效二阶问题的哈密顿方程(1.19a,b)和(1.20a,b),以及随附的哈密顿-雅可比方程(Hamilton 1833, 1834, 1835; Jacobi 1837, 1842–1843; Whittaker 1904; Lanczos 1970)。第5节讨论了二阶公式的物理解释。第6节以无限平板上的一维流动形式提供了一个简短的案例研究。最后,第7段以一些结束语结束了本文,并概述了本表述如何有助于解决纳维-斯托克斯问题解决方案的存在性和唯一性问题。 在论文的最后,我们将完全实现标题所承诺的:问题的规范哈密顿公式,为解决数学中最著名的未解决的问题之一开辟了新的途径。 自18世纪以来,分析力学领域以哈密顿的稳态作用原理(Hamilton 1833,1834,1835)或达朗贝尔的虚功原理(d'Alembert 1743)为基础,对经典物理学和量子物理学的发展都至关重要。这种方法用途广泛,有助于对所讨论问题的物理理解,并且哈密顿形 式主义的基础、结构和效用得到了很好的记录(Becker 1954; Taylor 2005; Hamill 2014; Bohn 2018; Cline 2023; Fowler 2023)。变分微积分以及辛和微分几何的支持数学也可以在许多优秀的来源中找到(Arnold 1989; Berndt 2001; Hall 2003; Boas 2006; Stone & Goldbart 2009; Gelfand & Fomin 2012; Arfken 2013; Needham 2021)。因此,研究人员将分析形 式主义应用于可追溯到拉格朗日时代的经典流体也就不足为奇了(Lagrange 1811; Lichtenstein 1929; MorR_ison 1998, 2006; Berdichevsky 2009a,b; dell’Isola & GavR_ilyuk 2011; Badin & CR_isciani 2018; Bedford 2021)。 获得流体流动控制方程解的任务是科学和工程中最具挑战性的问题之一。在大多数情况下,数学公式表示为初始边界值问题:一组耦合的非线性偏微分方程,这些方程将在各种初始条件和边界条件下求解。控制方程的复杂程度取决于流体的类型。对于包含摩擦和热传导传递现象的粘性流体,控制方程称为纳维-斯托克斯方程(Stokes 1845; Anderson et al. 1984; Anderson 1995; Batchelor 2000; White 2006; PozR_ikidis 2009; Cengel & Cimbala 2018)。纳维-斯托克斯方程是通过将基本物理原理(质量守恒、动量守恒和能量守恒)应用于粘性流体而得出的,该推导可以在任何流体力学教科书中找到(Anderson et al. 1984; Anderson 1995; Batchelor 2000; White 2006; PozR_ikidis 2009; Cengel & Cimbala 2018)。重要的是要认识到,今天已知的纳维-斯托克斯方程不仅仅是由 Navier 和 Stokes 开发的;事实上,泊松、柯西和其他人也积极参与了他们的发展(DarR_igol 2002)。据目前的作者所知,迄今为止,对于三维纳维-斯托克斯方程是否总是存在唯一的、光滑的、非奇异的解的问题,仍然没有确切的答案(LemaR_ie-R_ieusset 2018),这构成了数学中最著名的未解决的问题之一。 分析力学的应用(Goldstein 1980; Arnold 1989; Fetter & Walecka 2003; Gelfand & Fomin 2012)对流体力学领域(Lanczos 1970)的兴趣最近有所回升(Salmon 1983, 1988; Brenier 2017; Giga, Kirshtein & Liu 2018; Mottaghi, Gabbai & Benaroya 2019; Taroco, Blanco & Feijoo 2020; Bedford 2021; Mavroeidis & Athanassoulis 2022)经过漫长的历史。在没有非保守力的情况下,无粘性流体是哈密顿系统,因此经典的哈密顿理论适用。SerR_in(1959),Benjamin(1984)和Holm,Marsden和Ratiu(1986)都描述了不可压缩,无粘性流体流动的变分和哈密顿公式。Roberts(1972)提出了弱相互作用涡旋的哈密顿动力学。本研究通过设置哈密顿量来定义集 合,得到了一组两个分离良好的涡旋环的哈密顿动力学规范方程。Olver(1982)表明,无粘性和不可压缩流体流动的欧拉方程可以转换为哈密顿量。Benjamin & Olver (1982)研究了水波问题的哈密顿结构。他们研究了这个问题的对称群,发现哈密顿分析能够解决问题的保守元素。然而,该研究也承认,需要进一步的研究来确定数学结果的物理意义。Maddocks&Pego(1995)提出了一种新颖的哈密顿公式,即以材料坐标表示的理想流体流动。他们的哈密顿公式源于约束系统的一般方法,该方法不限于流体力学中的问题。相反,它广泛适用于从受逐点约束的拉格朗日场方程中获得无约束哈密顿动力学系统。最近,Arnold(2014)还研究了理想欧拉方程的哈密顿性质。 粘性力是非保守的,这在将哈密顿原理应用于粘性流体时提出了一个根本性的挑战(Millikan 1929; Finlayson 1972a,b; LemaR_ie-R_ieusset 2018)。事实上,一个众所周知的定理(首先由Millikan 1929证明)是,通常形式的Navier-Stokes方程不能从经典作用原理中推导出来(Millikan 1929;Finlayson 1972a,b)。Millikan(1929)将他的主要结果总结如下: 不可能从变分原理推导出粘性不可压缩流体的稳态运动方程,该变分原理涉及速度分量及其一阶空间导数的表达式作为拉格朗日函数,除非对这些速度分量施加条件,使得所有项 vu,2;wu,3;wv,3;uv,1;uw,1;vw,2从它们在纳维-斯托克斯方程中的位置消失(Millikan 1929)。 (需要注意的是,上面提到的六个项来自对流加速度u_i,juj,Millikan(1929)使用了符号u=u1,v=u2和w=u3)。更一般地说,已经表明变分公式的存在与系统相对于标准对偶关系的自伴随性有关,这是所有非保守系统所缺乏的特性(Vainberg 1964)。在过去的80年中,已经开发了许多替代方法,试图规避耗散系统的非自伴随性(PR_igogine & Glansdorff 1965; Biot 1970; Finlayson 1972a; Lebon & Lambermont 1973; Tonti 1973; MagR_i 1974; Telega 1979; Tonti 1984; Filippov 1989; Sieniutycz 2000; Robinson 2001; Galley 2013; Kim, Dargush & Lee 2016; Mottaghi et al. 2019; Taroco et al. 2020; Bersani & Caressa 2021; Junker & Balzani 2021)。特别是应用于Navier-Stokes方程的替代变分方法的数学研究仍然是一项正在进行的努力(Oseledets 1989; Vujanovic & Jones 1989; DoeR_ing & Gibbon 1995; Fukagawa & Fujitani 2012; Jones 2015; Gay-Balmaz & Yoshimura 2017; Hieber, Robinson & Shibata 2017; Hochgerner 2018; Gay-Balmaz & Yoshimura 2019a,b; Rashad et al. 2021; Gonzalez & Taha 2022; Taha & Gonzalez 2022; Sanders 2023b)。 Oseledets (1989)试图用哈密顿形 式主义来表达Navier-Stokes方程。他能够形式化不可压缩的欧拉方程,但表示他的结果对可压缩流体无效。最近的尝试,如Fukagawa和Fujitani(2012),Jones(2015)和Gay-Balmaz和Yoshimura(2017,2019a,b),已经使用对熵的非完整约束来强制耗散。Hochgerner(2018)试图获得一个可以准确模拟流体动力学的哈密顿相互作用粒子系统。他的研究将动力学分为慢速(确定性)和快速(随机)分量,以捕捉精细尺度效应。该研究能够从随机哈密顿系统推导出纳维-斯托克斯方程,但忽略了应力张量,无法分离构型和动量变量,也没有建立能量守恒或耗散。 Rashad等(2021)在所谓的“波特-哈密顿”框架中模拟了不可压缩的纳维-斯托克斯方程,而不是标准的哈密顿框架。他们的模型使用向量演算而不是外部演算来最小化算子的数量。虽然这项研究的主要目标是提高计算研究人员对使用向量微积分的兴趣,但他们也证明了向量微积分可以帮助制定纳维-斯托克斯方程的各个子系统和模型的边界端口。 Gonzalez & Taha (2022)、Taha & Gonzalez (2022) 和 Taha, Gonzalez & Shorbagy (2023)最近将高斯的最小约束原则(Gauss 1829)应用于Navier-Stokes问题。Taha等(2023)使用高斯原理表明,对于不可压缩流体,压力梯度的大小在域上最小,他们称之为最小压力梯度原理(PMPG)。当应用于二维无粘性流体时,PMPG提供基于第一性原理的闭合条件,可以认为Kutta条件推广到光滑几何形状。应该指出的是,高斯原理(Gauss 1829)与哈密顿原理(Hamilton 1833,1834,1835)根本不同。哈密顿框架涉及不变作用积分并采用坐标(或在连续介质力学中,场量)的变化,而高斯原理则采用加速度的变化。因此,高斯原理的框架不会导致规范变换。 与本工作特别相关的是,Sanders (2021, 2022, 2023a,b) 已经表明,高阶动力学是“内在变分的”,从某种意义上说,经典运动方程的高导数版本可以从最小作用原理推导出来,即使对于耗散系统也是如此,从而允许固有的非哈密顿问题被视为哈密顿问题。这一发现已经导致了两个应用:阻尼动力系统的直接模态分析(Sanders 2022),以及随后用于计算阻尼系统谐振频率的新的、更有效的算法(Sanders & Inman 2023)。以前在量子引力物理学领域已经研究过高阶导数理论(Pais & Uhlenbeck 1950; Van den Berg & VanderVorst 2002; Kalies & VanderVorst 2004; Bender & Mannheim 2008; Smilga 2009; Mostafazadeh 2010; Baleanu et al. 2012; Chen et al. 2013),但到目前为止,它们尚未应用于经典流体。而标准形式的纳维-斯托克斯方程可能不适合哈密顿形 式主义(Millikan 1929; Finlayson 1972a,b; DoeR_ing & Gibbon 1995; Hieber et al. 2017; LemaR_ie-R_ieusset 2018),这里将表明,高阶动力学可用于以与哈密顿和哈密顿-雅可比形式一致的形式重述问题。 总之,尽管围绕纳维-斯托克斯方程的研究很广泛,但迄今为止似乎还没有发现纳维-斯托克斯问题的规范哈密顿公式。这就是本工作所要实现的目标。 虽然我们主要对(1.16)和(1.17)给出的方程的不可压缩形式感兴趣,但在这里我们将从方程的可压缩形式开始,并理解我们最终将采用不可压缩极限。对于可压缩情况,线性动量平衡和连续性方程由下式给出
其中ρ=ρ(x_j,t)是密度场(现在是与u_i和p一起的未知场量之一),λ是一个额外的粘度系数,根据Stokes (Stokes 1845)假设,它与μ相关,因为λ=−2μ/3,确保机械压力与热力学压力一致。从今以后,我们将假设所有量都经过适当的无量纲化。(3.1)和(3.2)中的无量纲(常数)粘度可以看作是雷诺数的反比,无量纲压力可以被认为是由惯性标度ρ_0U^2归一化,ρ_0和U是适当的密度和速度标度。正如我们稍后将看到的,从方程的可压缩形式开始,我们将允许我们将压力视为与速度一起的动力场变量,而不仅仅是拉格朗日乘数。至关重要的是,这将毫不含糊地揭示在不可压缩极限中与压力共轭的动量(稍后将确定)会变成什么样子。 一般来说,(3.1)和(3.2)将附加能量方程,该方程引入了额外的热力学变量,例如温度和焓或熵。其中两个热力学变量被指定为“主要”变量,并且需要状态方程才能将其余变量与主要变量联系起来。通常,选择压力和温度作为主要变量,例如,密度的状态方程表示为ρ=ρ(p,T)。守恒方程与状态方程一起构成了六个未知域(u_i、p、T、ρ)的六个方程。从今以后,在目前的工作中,我们将假设温度是恒定的,尽管我们打算在以后的工作中考虑温度的变化。 不可压缩流动是指密度的材料导数消失的流动,即dρ/dt= ̇ρ+ρ_,i u_i=0,此条件用作状态方程。为了简单起见,通常还假设密度既恒定又均匀,进一步将状态方程ρ=ρ(p,T)简化为ρ=ρ_0作为系统参数的规范。因此,(3.2)简化为ρu_i,i=0,能量方程与系统解耦。因此,在不可压缩极限中,只有四个未知场量(u_i,p),动量平衡和连续性方程足以满足控制场方程。 我们在这里停下来指出,所有四个场方程(3.1)、(3.2)在时间上都是相对于场量u_i和ρ的一阶。当我们将方程的顺序加倍时,这一点很快就会变得很重要。还应该注意的是,如前所述,上面描述的一阶问题本质上是非哈密顿量的,因为没有动作S的哈密顿原理(δS=0)产生一阶场方程(Millikan 1929;Finlayson 1972a,b)。最后,我们注意到,在不可压缩极限中,R_4变得独立于ρ ̇,并且在时间上不再是一阶。 01 二阶公式
尽管该问题的一阶表述本质上是非哈密顿量的(Millikan 1929;Finlayson 1972a,b),然而,通过考虑二阶公式,可以找到系统的哈密顿量。在Sanders(2023b)之后,我们观察到流体的实际运动对应于以下动作达到局部最小值的特定场(u_i,p,ρ):其中d^4x=dx_1dx_2dx_3dt,积分在流体占用的控制体积V(x_j∈V)和感兴趣的时间段(t∈[t_1,t_2])上进行。必须强调的是,此操作不包含任何新的物理特性。同样,这只是最小二乘法原理(Finlayson 1972b)在流体所占据的时空上取平均值。问题的整个物理特性已经包含在残差(R_i,R_4)中。如果没有一个与ρ和p相关的状态方程,则该问题在五个未知场量和只有四个动态场方程的情况下受到欠约束。假设不可压缩流动的情况,其中密度是恒定的,四个场量是u_i和p,从今以后,我们将假设一个形式为ρ=ˆρ(p)的状态方程,其中ρˆ是一个已知函数,由第一性原理或经验确定。这样,密度场可以被消除,有利于压力场,场方程采用以下形式:
其中ρˆ’=dρˆ/dp。我们注意到,在平衡条件下,ρˆ’与声速c和体积模量K有关,因为ρˆ’=1/c^2=ρ/K(对于不可压缩流体,ρˆ’≡0,声速和体积模量都是无穷大的)。指定了ρ(ˆp)、μ、λ和b_i(x_j,t),并规定了适当的辅助条件(初始条件和边界条件),求满足控制场方程和辅助条件的四个场量(u_i,p)。为了恢复不可压缩流的情况,我们最终将取ρˆ’≡0。 我们在这里停顿一下,注意到,即使残差(R_i,R_4)在实际运动中消失了,它们也不是微不足道的零。也就是说,对于满足一阶场方程(3.4)和(3.5)的特定场(u_i,p),残差仅消失;它们不会在所有可以想象的(u_i,p)中消失。因此,取R_i≡0,R_4≡0是不合适的。当我们讨论这个问题的哈密顿公式时,我们将回到这一点。 现在,我们注意到动作S*=S*[u_i,p]定义了拉格朗日量
其中积分仅在体积V上进行(d^3x=dx_1 dx_2 dx_3),具有拉格朗日密度
由于残差(R_i,R_4)已无量纲化,因此拉格朗日密度也是无量纲的。再一次,即使拉格朗日量在实际运动中消失,它也不是微不足道的零,并且取L*≡0是不合适的。 如上所述,流体的实际运动对应于S*达到局部最小值的特定场(u_i,p)。为了得到欧拉-拉格朗日方程、共轭动量和自然辅助条件,我们坚持在场(δu_i,δp)的微小变化下,S*不会变化到一阶(δS*=0)。通过计算δS*、按部分积分和收集相似项,我们发现
其中纯体积积分(d^3x)在V上进行,曲面积分(d^2x)在边界∂V上进行,n_i是∂V的单位向外法向量。请注意,由于我们使用的是欧拉坐标x_j,因此体积元素d^3x不能变化。 欧拉-拉格朗日方程(适用于所有x_j∈V)可以直接从时空(d^4x)积分中读取
a'a'a应该注意的是,所有四个欧拉-拉格朗日方程(3.9)、(3.10)在时间上都是二阶的,因为它们涉及残差的时间导数。通过将方程的顺序加倍,我们将问题置于哈密顿形式,与Sanders (2023b)的一般结果一致。我们还注意到,二阶公式的所有四个欧拉-拉格朗日方程都由一阶公式的解自动满足(即实际运动),其中R_i=0和R_4=0无处不在。 对应于四个场量中的每一个都是一个规范共轭的“动量”场,可以从(3.8e)中读取。速度u_i的动量共轭为
在即将到来的哈密顿公式中,共轭动量将用于消除哈密顿量的场量的(部分)时间导数(u ̇_i,p ̇)。一般来说,哈密顿原理会坚持在端点t=t_1和t=t_2处消失变化(δu_i,δp),以确保纯体积积分(3.8e)消失。有趣的是,对于实际运动(R_i=0,R_4=0),即使不采取(δu_i,δp)在t_1和t_2处消失的情况,体积积分(3.8e)也已经消失了。我们将其解释为实际运动是二阶公式的自然演化(Sanders 2023b)。 尽管共轭动量(π_i,π_4)与传统的线性或角动量不一致,但共轭动量和线性动量密度P_i=ρu_i之间存在着奇怪的数学联系,我们目前将从自然边界条件中看到这一点。这些直接从曲面(d^2x)积分中读取
最后一个条件(3.15)在新的共轭动量和传统的线性动量之间建立了联系。将(3.15)乘以ρˆ,并注意到ρˆu_i=ρu_i=P_i,我们发现
显然,边界条件(3.15)指出,通过边界∂V的向量Π_i≡π_i+π_4P_i的通量应该消失。有趣的是,这个新向量Π_i包含新旧动量,其中π_4由P_i“携带”(即给定方向)。这些自然边界条件的实际物理含义不太清楚,可能需要进一步调查。 02 一阶和二阶公式的等价性
一阶和二阶公式在数学上是等价的,从某种意义上说,对两个公式施加相同的辅助条件将产生相同的解(u_i,p)。换言之,在相同的辅助条件下,(u_i,p)是一阶公式的解,当且仅当相同的(u_i,p)是二阶公式的解。 证据很简单。分别考虑这两个公式,并对二阶公式施加与一阶公式相同的辅助条件。特别是,就像第1.1节中给出的简单例子一样,二阶公式需要额外的辅助条件,而不是应用于一阶公式的辅助条件。这些条件包括使所有 x_k ∈ V ∪ ∂V 的R_i(x_k,0)=0和R_4(x_k,0)=0的初始条件,以及使所有x_k∈∂V和所有时间t的R_i(x_k,t)=0、R_i,j(x_k,t)=0和R_4(x_k,t)=0的边界条件。根据假设,应用于两个公式的辅助条件是相同的,因此足以证明(u_i,p)在V中任何地方和任何时候都满足一阶公式(R_i=0和R_4=0)的控制场方程(3.4)、(3.5),当且仅当(u_i,p)满足V中任何地方和所有时间的二阶公式的欧拉-拉格朗日方程(3.9)、(3.10)。 首先假设(u_i,p)满足V中任何地方和所有时间的一阶公式的控制场方程(3.4)、(3.5)。则R_i=0,R_4=0,并且(u_i,p)是二阶公式的欧拉-拉格朗日方程(3.9)、(3.10)的简单解。 相反,假设(u_i,p)满足二阶公式的欧拉-拉格朗日方程(3.9)、(3.10)在V中的所有位置和所有时间。我们注意到(R_i=0,R_4=0)构成了欧拉-拉格朗日方程(3.9),(3.10)的平衡解。因此,因为选择初始条件使得对于所有x_k∈V∪∂V,R_i(x_k,0)=0,R_4(x_k,0)=0,并且因为选择边界条件使得对于所有x_k∈∂V和所有时间t,R_i(x_k,t)=0,R_i,j(x_k,t)=0,R_4(x_k,t)=0,那么R_i和R_4将在其中的任何地方保持相同的零。因此,(u_i,p)满足V中任何地方和所有时间的一阶公式的控制场方程(3.4)、(3.5)。这样就完成了证明,我们已经确定这两个公式是等价的。
我们现在准备继续用哈密顿公式来解决这个问题。拉格朗日量L*具有对应的哈密顿量
通过勒让德变换从拉格朗日密度L*获得的哈密顿密度H*
同样,这个H*与系统的总机械能无关,尽管它是一个守恒量,因为H*=0对于实际运动——就像§1.1的例子一样。为了写出哈密顿方程,我们必须用场和共轭动量来表示H*,消除u ̇_i和p ̇。观察R_i=πi/ρˆ,并且暂时忽略不可压缩极限,我们可以得出R_4=π_4/ρˆ(ρˆ≠0)。这样,使用(3.4)和(3.5)给出的残差的函数表达式,我们发现 
哈密顿方程(Hamilton 1834,1835)如下:
其中δH*/δu_i、δH*/δp、δH*/δπ_i和δH*/δπ_4是H*相对于场量和共轭动量的Volterra(Volterra 1930)函数偏导数。方程(4.6a,b)分别再现(4.3)和(4.4)。方程(4.7a,b)又再现了二阶公式的欧拉-拉格朗日方程(3.9)、(3.10)。 现在我们回到我们先前关于残差消失的观察。虽然H*对于满足一阶公式的控制场方程(3.4)、(3.5)的特定域(u_i,p)消失,但对于所有可以想象的(u_i,p)来说,它不会消失。根据(4.6a,b),后者意味着u ̇_i≡0,p ̇≡0,但通常情况并非如此。这一观察结果,以及(4.7a,b)忠实地再现了二阶公式的欧拉-拉格朗日方程(3.9),(3.10)这一事实,证实了上述哈密顿公式实际上是对问题的合理重新表述。在下一节中,我们发展了与当前公式相关的哈密顿-雅可比理论,目标是找到一组新场(φ_i,φ_4)和共轭动量的规范变换,哈密顿量确实消失了。 为了获得不可压缩流的哈密顿量,我们从一开始就设置ρˆ≡0,在这种情况下,R_4简化为ρˆu_i,i和π_4消失相同,这与R_4独立于p ̇的事实一致。哈密顿密度又降低到
或者,就共轭动量而言, 
其中密度ρˆ=ρ是一个常数,我们使用了u_i,i=0的事实。哈密顿方程u ̇_i=δH*/δπ_i、π ̇_i=−δH*/δu_i和0≡π ̇_4=−δH*/δp 仍然适用(并在不可压缩极限中再现相应的方程),但p ̇=δH*/δπ_4必须替换为u_i,i=0的约束。不可压缩性条件应取代压力方程p ̇=δH*/δπ_4与众所周知的结果一致,即压力通常用作不可压缩性约束的拉格朗日乘数(Lanczos 1970;Badin&CR_isciani 2018)。01 哈密顿-雅各比方程
哈密顿格式最重要的方面之一是,它导致了哈密顿(1833,1834,1835)和雅可比(1837,1842-1843)的变换理论(参见Whittaker(1904)和Lanczos(1970)),他们以将粒子力学与波动光学(Hamilton 1833)统一起来,并因其与量子力学的薛定谔方程(Schrödinger 1926a,在这里,我们将得到一个表示纳维-斯托克斯问题的哈密顿-雅可比方程。 在离散力学的背景下,哈密顿的主泛函是作为哈密顿-雅可比方程的解获得的,该方程又由哈密顿量的函数形式定义。Hamilton主泛函为一组新的广义坐标和共轭动量的正则变换提供了生成函数,在这种情况下,Hamilton方程实际上变得微不足道。新坐标和它们的共轭动量简单地等于它们的初始值。 在本文中,哈密顿主泛函的作用由特征函数s*=s*[u_i,p,t](不要与作用s*混淆,尽管它们是相关的;见附录A)发挥,这是以下哈密顿-雅可比方程的解:
其中,δS*/δu_i和δS*/δp是S*相对于场量的Volterra(Volterra 1930)函数导数。感兴趣的读者可以在附录A中找到(4.10)的推导。此后,我们将把S*称为“哈密顿主泛函”。代入(4.5)中的共轭动量,我们得到了Hamilton–Jacobi方程
与四个原始场方程(3.1)和(3.2)不同,Hamilton–Jacobi方程(4.11)是Hamilton主泛函s*中的一个方程。这构成了问题的等价公式,因为(4.11)的完全和非平凡解等于哈密顿方程(4.6a,b)和(4.7a,b。通过这种方式,我们将寻找四个独立的场量的问题简化为在这些场量中寻找一个函数的问题。人们只需要推导(甚至猜测)S*的一般形式就可以解决这个问题。如果可以获得S*的解析表达式,它将通过正则变换导出一组新的域(φ_i,φ_4)和共轭动量,它们简单地等于它们的初始值,给出四个原始域(u_i,p)的解析表达式。 不可压缩流的情况需要注意,因为ρˆ≡0和ρˆ出现在(4.11)项的分母中。即便如此,哈密顿公式在不可压缩极限下仍然是适定的。回想一下,当ρˆ≡0时,R_4减少到ρˆu_i,i,π_4相同地消失,哈密顿密度减少到(4.9)。代入(4.9)中的共轭动量π_i,相应的Hamilton–Jacobi方程为
其中δS*/δp=0,因为对于不可压缩流,π_4同样消失。在这里,从方程的可压缩形式开始的优点变得完全明显,因为在不知道通常π_4=ˆρR_4的情况下,不一定清楚δS*/δp应该在不可压缩极限中消失。这是Hamilton–Jacobi方程的形式,因为它与传统的Navier–Stokes问题有关。在这种情况下,压力是最后确定的,并且是强制不可压缩性约束u_i,i=0所需的压力(再次与压力作为拉格朗日乘数Lanczos 1970的作用一致;Badin&Crisciani 2018)。
必须承认的是,上面发展的Hamilton–Jacobi方程(可压缩情况下的(4.11)或不可压缩极限下的(4.12))包含Volterra(1930)泛函导数,因此求解起来绝非易事。事实上,求解此类方程本身似乎是数学中一个长期存在的开放问题,自二十世纪上半叶以来,这一问题几乎没有受到关注(Michal 1926; Jordan & Pauli 1928; Levy 1951; Tatarskii 1961; Syavavko & Mel’nichak 1974; Dieudonne 1981; Koval’chik 1993)。然而,如果能够发展出这种方程的严格理论,Navier–Stokes问题的当前公式可能会作为一个特例得到解决。本提交人认为,这种努力是值得的,值得进一步研究。在本节的最后,我们指出,在无粘性极限(μ=λ=0)中,前面的所有形 式主义仍然完全正确。在这种极限情况下，正如人们所预料的，本方法产生了数学上等价的无粘欧拉方程的二阶公式。有兴趣的读者可以在附录B中找到完整的细节。
在本节中,我们对第3节的发展进行了一些定性解释。更具体地说,我们研究了欧拉-拉格朗日方程(3.9)和(3.10)的不可压缩形式(通过恒定的均匀密度),当残差R_i和R_4被替换时。 我们的动机再次是§1.1的简单示例,其中一阶非哈密顿系统v̇=−v通过(手动)消除非保守的“阻尼”项v ̇转换为二阶哈密顿系统 (参见Sanders (2022)关于阻尼谐振子从二阶转换为四阶动力学的类似结果)。Sanders (2023b)表明,通过定义(1.3)中的动作,消除过程是“自动化”的,该定义被推广到(3.3)中的动作,用于我们当前包含场的连续介质动力学问题。 首先考虑压力方程(3.10)和相应的自然边界条件(3.15),它们采用以下不可压缩形式:
这个高阶场方程只是残差R_i的散度。在代入(3.1)的R_i并随后施加(3.2)的不可压缩连续性条件u_i,i=R_4/ρ=0后,我们得到 
这是压力的泊松方程。边界条件是Neumann型,需要指定边界上的法向压力梯度n_ip_,i=p,n≡f(x_j,t),其中方程(5.2)和边界条件(5.3)以确保速度场是螺线管的方式递增压力。这是一种众所周知的基于压力-速度的公式,通常用于不可压缩流动的数值解(例如Ferziger&Peric 2002;Pozrikidis 2009)。接下来,我们考虑速度方程(3.9),目前,它有一个更难以捉摸的物理解释。在这里,我们从自然边界条件(3.13)和(3.14)开始,这是由于δu_i和δu_i,j的变化。这些方程的不可压缩形式是 
涉及残差R_i的边界条件是与一阶纳维-斯托克斯方程相容的边界条件,例如无滑移和无穿透条件。事实上,如果我们指定边界上实际运动的速度矢量,那么在那里R_i≡0。请注意,边界上的实际运动压力将从(5.2)的同步解中得知。然而,梯度项R_i,j将引入必须指定的高达三阶空间导数。这些代表了高阶控制方程必须伴随的附加边界条件,很快就会看到高阶控制方程式在时间上是二阶的,在空间上是四阶的。再次回顾§1的例子,其中系统(1.2a–c)必须附加一个二阶(初始)条件,指定坐标v(t)的(时间)导数。在目前的情况下,这些边界条件表面上等同于通过速度梯度来指定边界上的粘性应力。一般来说,边界条件需要两个过渡关系(Batchelor 2000;White 2006)来最终描述动量输运。从数学上讲,这些条件是速度(动量强度)的跳跃和应力(动量通量)的跳跃。在一般的物理条件下,速度和应力被假定为连续的。然而,这是过渡关系的一种特殊形式,有一些熟悉的例子并不适用。例如,在液气界面处,应力关系被修改,以解释由表面张力引起的力平衡的法向应力的非零跳跃(切向应力分量通常仍然被视为连续的)。类似地,在发生分子滑移的情况下,典型的转变关系给出了滑移速度的表达式(例如Thompson&Troian 1997;Thalakkottor和Mohseni 2016)。在能量传输的情况下,需要关于温度(强度)和热流(通量)的跳跃的类似条件,这被认为是热接触电阻的概念。 现在,我们将注意力转向欧拉-拉格朗日方程(3.9),该方程在施加不可压缩性和展开乘积项导数时产生
手边是残差R_i的随体导数。我们在这里的目的是观察一阶Navier–Stokes方程中的哪些项在高阶公式中被“消除”。具体来说,我们感兴趣的是非保守粘性项;虽然体力b_i也可能是非保守的,但我们不会担心这种可能性。将R_i直接代入(5.5)会产生许多项,但发现只有一项被抵消:速度(的时间导数)的粘性拉普拉斯算子,即μu*_i,jj。该项从(5.5)中的ρR*_i和-μR_i,jj项中相互出现。为了保持概念的清晰性,我们将残差设为
其中下标k用于避免与(5.5)中具有下标j的梯度算子混淆,R ̃_i=ρu_ku_i,k−ρb_i是残差中的其余项。将上述代入(5.5)的第一项和最后一项,取消前面提到的μu ̇_i,jj项,然后除以密度得到
其中, ν=μ/ρ是运动粘度(回想一下,所有变量都是无量纲的)。我们看到这个方程在时间上是二阶的,在空间上是四阶的。粘性项仍然出现在方程中,包括二阶和三阶空间导数。然而,Sanders(2023b)详述并在此使用的技术显然确保了(5.7)具有相应的哈密顿结构。
我们可以通过考虑一个具有已知场解的简化示例来探索如何应用这种方法。在Navier-Stokes方程具有已知解析解的各种情况下,最简单的是涉及稳定流的情况。虽然欧拉-拉格朗日方程(3.9)、(3.10)可以用于这些情况,但相应的哈密顿-雅可比方程是微不足道的,因为对于稳定流,场已经等于它们的初始值。 因此,值得研究最简单的非定常流,这应该会产生一个非平凡的Hamilton–Jacobi方程。事实上,存在一类Navier–Stokes方程采用相同简化形式的流动:其中流动是不可压缩的和单向的(Batchelor 2000)。这类问题包括Stokes流(Stokes 1851),其中半无限流体受到在其自身平面中移动的边界的影响。在这些情况中的第一种情况下,边界脉冲启动,而在第二种情况下边界振荡。我们还可以包括在通道或管道中发展流动。这些流动之间的唯一差异来自初始条件和边界条件,但Navier–Stokes方程以及当前的Hamilton–Jacobi方程采用了相同的形式。 在这里,我们将研究仅在x1方向上存在运动的情况,并且速度的形式为{u_i}＝{u_1(x_2,t),0,0}。在没有外力的情况下,我们在x_1方向上的压力梯度仅仅是时间的函数,并且在x_2和x_3方向上的压强梯度为零。因此,只有两个未知的场量:u_1(x_2,t)和p(x_1,t),其中p在x_1中是线性的。主要感兴趣的场方程是 并且剩余的场方程由场的假定形式自动满足。按照上述过程,u_1和p的动量共轭由下式给出 
哈密顿的主泛函s*=s*[u_1,p,t]只能表示为x_2上的积分,因为其他空间坐标不会出现,可能会被积分掉。通过这种方式,我们可以得到哈密顿-雅可比方程,如下所示: 
当δS*/δp=0时。(6.4)的解将提供对一组新坐标的规范变换,给出(u_1,p)的解析表达式。 尽管在这个特定示例中知道这些场的解析解,但本文作者仍无法求解这个哈密顿-雅可比方程,因为这些方程的解本身就是一个开放性问题(Michal 1926; Jordan & Pauli 1928; Levy 1951; Tatarskii 1961; Syavavko & Mel’nichak 1974; Dieudonne 1981; Koval’chik 1993)。因此,这个例子似乎是解决一般问题的良好起点。另一个值得考虑的有趣例子可能是二维泰勒-格林涡旋,如Wu, Ma & Zhou (2006)所考虑的涡旋。
本文提出了可压缩和不可压缩流体各向同性Navier-Stokes问题的一个新的哈密顿公式。这个规范的公式为最终解决这个问题开辟了几个以前未探索的途径,我们将在下面简要描述。 也许最明显的途径是直接求解Hamilton主泛函s*[u_i,p,t]的Hamilton–Jacobi方程——可压缩情况下为(4.11),不可压缩情况为(4.12)。如果能找到S*的完整解,它将通过正则变换导出一组新的场,这些场等于它们的初始值,从而给出原始速度场和压力场的解析表达式。或者,如果可以根据新兴的分析技术简单地确定,在通常的假设下,这个Hamilton–Jacobi方程的完整解确实存在(或不存在),这也将解决解的存在性问题。 另一种策略可能是研究基于(3.3)中给出的作用S*的相应拉格朗日公式。由于一阶和二阶公式在数学上是等价的(请回忆§3.2中的证明),S*必须具有与传统一阶公式的解一样多的局部极小值。直观地说,似乎应该可以基于拉格朗日量的形式来确定——或者至少建立边界——一个动作的临界点的数量(Van den Berg & VanderVorst 2002; Kalies & VanderVorst 2004)。如果可以确定,在通常的假设下,S*总是恰好有一个局部最小值,或者证明在某些情况下它不能达到局部最小值的话,这也将解决存在性和唯一性的问题。 以上任何一个程序都不是琐碎的。如§4.1所指出的,求解包含Volterra(1930)泛函导数的方程本身就是数学中一个长期存在的开放问题,自二十世纪上半叶以来,这一问题很少受到关注(Michal 1926; Jordan & Pauli 1928; Levy 1951; Tatarskii 1961; Syavavko & Mel’nichak 1974; Dieudonne 1981; Koval’chik 1993)。人们甚至可以称之为“被遗忘的”开放问题(正如本论文的一位审稿人所做的那样,他慷慨地提请我们注意Jordan & Pauli 1928; Levy 1951; Tatarskii 1961; Syavavko & Mel’nichak 1974; Dieudonne 1981; Koval’chik 1993)。是的,我们认为缺乏对这类方程的研究是一个挑战,但同时我们也认为这是推进分析连续体力学领域的一个重要机会。也许,尽管复杂性明显增加,但毕竟可以发展出这种方程的严格理论,在这种情况下,Navier–Stokes问题的当前公式可能会作为一个例子得到解决。我们认为,至少这种努力值得进一步研究,我们打算在今后的工作中继续研究。 最后,值得注意的是,这里使用的技术绝非Navier–Stokes问题所特有,也不局限于经典力学领域。适当平均的最小二乘原理(Sanders 2021, 2022, 2023a,b; Sanders & Inman 2023)可以应用于任何传统的非哈密顿动力学系统,以便形成数学上等效的高阶哈密顿系统。据信,这一基本结果也将在纯数学和应用数学的其他分支中得到应用。在下文中,区分两组解是很重要的:二阶欧拉-拉格朗日方程(3.9)和(3.10)的解,以及一阶场方程(3.4)和(3.5)的解。后者是前者的子集,但不是前者的子集。 
其中t是当前(可变)时间,t_0是任意初始时间,L ̃*表示满足二阶欧拉-拉格朗日方程(3.9)和(3.10)的场的拉格朗日量(3.6),不一定是一阶场方程(3.4)和(3.5)。至关重要的是,由于场不一定满足一阶场方程,因此取S*≡0是不合适的。我们假设时间积分已经完成,因此函数S*可以被视为V上的积分,即 
其中s*是满足二阶欧拉-拉格朗日方程(将记为L ̃*)随时间从t_0到t积分的场的拉格朗日密度(3.7)。 从(A1)开始,评估S*的第一个变化就像我们在§3中对动作S*所做的那样,我们发现 
我们使用了二阶欧拉-拉格朗日方程(3.9)和(3.10)在定义上得到满足的事实,并且我们还强制执行了自然边界条件。但是,根据Volterra(1930)功能导数的定义,我们有
在这里,积分只是哈密顿量H*,共轭动量被符合(A5a,b)的泛函导数所取代。因此,我们得出了哈密顿-雅可比方程 
在本附录中,我们考虑了本公式在无粘性极限下的情况,即在设置粘度μ=λ=0时。虽然这是一个相对简单的练习,但由于它与经典欧拉方程的关系,它引起了人们的兴趣,当然,经典欧拉方程已经是保守的,因此不需要高阶公式来将它们置于哈密顿形式(Olver 1982)。 
其中,我们使用条形图来区分无粘性残差(R ̄_i)与(3.1)中给出的更一般的形式。应用状态方程ρ=ˆρ(p),我们得到
质量平衡的残余R_4不受粘性效应的影响,将保持原文中的原样。 
同样,所有四个欧拉-拉格朗日方程在时间上都是二阶的,因为它们涉及残差的时间导数。这是无粘性欧拉方程的数学等效二阶公式,如正文所述。 
动量π_4与压力p共轭,与正文中一样。对于可压缩流动,生成的哈密顿密度采用以下形式
再一次,高阶哈密顿量与系统的总机械能无关,而是在实际运动中消失(就像在粘性流动的情况下一样)。有了这个哈密顿密度,哈密顿方程就呈现出通常的规范形式
其中H ̄*表示H ̄*积分在体积V上。方程(B9a,b)再现了欧拉-拉格朗日方程(B4)和(B5)。在不可压缩流动的情况下,哈密顿密度降低到
哈密顿方程u ̇_i=δH ̄*/δπ ̄_i, ̇π ̄_i=−δH ̄*/δu_i和0≡π ̇_4=−δH ̄*/δp仍然适用,但p ̇=δH ̄*/δπ_4必须替换为u_i,i=0的约束,再次与压力作为不可压缩性约束的拉格朗日乘数这一事实一致(Lanczos 1970;Badin&Crisciani 2018)。 
在后一种情况下,我们有δS ̄*/δp=0,因为π_4对于不可压缩流动同样消失。 上面描述的二阶公式与一阶欧拉方程的经典哈密顿公式(Olver 1982)有根本的不同,尽管在数学上仍然等价于经典哈密顿公式。 翻译转载自《Journal of Fluid Mechanics》"A canonical Hamiltonian formulation of the Navier–Stokes problem"
