共轭梯度法解线性方程组

本文摘要（由AI生成）：

共轭梯度法是一种迭代方法，适用于求解系数矩阵为对称正定的方程组，特别适合有限元求解。其原理是通过找到n个两两共轭的共轭方向，每次沿一个方向优化得到极小值，最终求得n维问题的最优解。该方法克服了梯度下降法收敛慢的缺点，又避免了牛顿法所需的二阶导数信息存储和计算。共轭梯度法适合并行计算，并在n维二次规划问题中最多n次迭代就能找到最优解。如需获取相关代码，可后台回复“梯度法”。

共轭梯度法是方程组求解的一种迭代方法。这种方法特别适合有限元求解，因为该方法要求系数矩阵为对称正定矩阵，而有限元平衡方程的系数矩阵正好是对称正定矩阵(考虑边界条件)。同时，共轭梯度法也适合并行计算。

●算法原理

对于方程组Ax = b，假定A(nxn)是对称正定矩阵，采用共轭梯度法算法步骤如下：
取初始值x0

这里k=0，1，2，...。迭代持续进行，直到向量gk的模达到一个较小的值，也就是误差允许范围之内。

后台回复“梯度法”可获取Fortran及python代码下载地址。

共轭梯度法是介于梯度下降法与牛顿法之间的一个方法，是一个一阶方法。它克服了梯度下降法收敛慢的缺点，又避免了存储和计算牛顿法所需要的二阶导数信息。
在n维的优化问题中，共轭梯度法最多n次迭代就能找到最优解（是找到，不是接近），但是只针对二次规划问题。
共轭梯度法的思想就是找到n个两两共轭的共轭方向，每次沿着一个方向优化得到该方向上的极小值，后面再沿其它方向求极小值的时候，不会影响前面已经得到的沿哪些方向上的极小值，所以理论上对n个方向都求出极小值就得到了n维问题的极小值。