数值积分|龙贝格公式

本篇需要熟悉复合梯形公式，辛普森公式，牛顿-科特斯公式以及自适应积分。

在积分区间    使用梯形公式有

将积分区间    2等分，使用复合梯形公式有

由    可得辛普森公式

将积分区间    4等分，使用复合梯形公式有

由    可得辛普森公式

若以    表示积分子区间数目为n时的复合梯形公式，例如当积分区间    2等分，即有2个子区间时，

若以    表示积分子区间数目为2n时的复合梯形公式，例如当积分区间    4等分，即有4个子区间时，

于是可得到辛普森公式的递推式为

在推导牛顿-科特斯公式时，至少4个子区间起步，且牛顿-科特斯公式与辛普森公式的关系为

以此类推，如果一种计算公式至少8个子区间起步，且与牛顿-科特斯公式的关系为

   就是龙贝格求积公式(Romberg's method)。

如图所示

辛普森公式可由复合梯形公式得到

牛顿-科特斯公式可由辛普森公式得到

龙贝格公式可由牛顿-科特斯公式得到

龙贝格公式的计算过程如图所示

重复以上过程，直到相邻两个R的相对误差满足要求时，停止计算。

[算例]求    ,误差为    。

附python代码