数值积分|第二类反常积分

1月前浏览238

1 概述

第二类反常积分是值积分区间包含奇异点(singular points)。常规计算方法是将积分积分区间在奇异点内收，然后按照定积分来处理，再将计算结果取极限。如图1所示：

2 算法实现

如图2所示：a为奇异点，在a附近划分一个子区间 ,长度为 ,将其一分为二，中点为 ,右半部分参与积分计算，再将左半部分二等分，中点为 ,右半部分参与积分计算，如此下去，直到误差满足要求。

python代码如下：

import math### 第二类反常积分数值分析### y = 1/sqrt(x) ### 积分区间(0, 1]def Func(x):    return 1/ math.sqrt(x)     def Improp2(Func, a, b, eps = 1e-6):### ### a为区间的左端点，是奇异点###子区间积分时，还要调用自适应梯形公式，这里可以任选方法。比如辛普森公式        h0 = 0.1e0 * (b-a)    #子区间长度    s = 0e0    h = h0    s1 = 1e0    while(math.fabs(s1) > eps * math.fabs(s)):        h *= 0.5      # 半区间        x = a + h        s1 = AdaptiveTrapzCtrl(Func,x,x+h,eps)        s += s1            a += h0        s += AdaptiveTrapzCtrl(Func, a, b, eps )        return s            ### 自适应梯形公式求积分   def AdaptiveTrapzCtrl(Func, a, b, eps = 1e-6):    kmax = 9000   #最大迭代步数    h = b-a       # 积分区间    n = 1    t0 = 0.5*h*(Func(a) + Func(b))          for k in range(1,kmax+1):        sumf = 0        for i in range(1,n+1):             sumf += Func(a+(i-0.5)*h)                t = 0.5*(t0 + h*sumf)            if (k > 1):            if (math.fabs(t-t0) <= eps*math.fabs(t)): break                                                     if (math.fabs(t) <= eps and math.fabs(t) <= math.fabs(t-t0)): break                h *= 0.5        n *= 2        t0 = t        if (k >= kmax): print("已经达到最大迭代步数!")        return t        s = Improp2(Func, 0, 1, eps = 1e-6)print(s)