湍流模拟｜19 近壁面处理

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CFD 方法中的壁面处理是预测壁面剪切应力所必需的，在动量方程中的壁面单元中需要壁面力。壁面剪切应力是根据 j=1 点的速度（可能还有和其他量）的已知解（如上一次迭代的已知解）计算得出的。图 103 中描述了以单元为中心的有限体积法。因此任务是在 j=1 处根据给定的速度计算壁面剪切应力以封闭动量方程。

在平衡流动（零压力梯度边界层、通道流、管道流、库艾特流）的近壁面位置，求解变量遵循与近壁面剪应力和近壁面分子运动粘度成比例的普遍规律。换句话说，如果近壁变量被这些量无量纲化，则可以将所有平衡近壁分布折叠到单个曲线上。无量纲化基于近壁摩擦速度（计算公式为）、湍流动能（注意在对数层中有）和运动粘度，计算方法如下：

使用这些变量，可以得到如下形式的通用速度分布：

图 104 显示了边界层两个雷诺数的分布图。对于这两个雷诺数，靠近壁面的分布是相同的，而外侧部分则不同。遵循通用分布的程度取决于雷诺数。

假设确实存在通用速度曲线，那么 CFD 有什么好处？假设近壁单元（j=1）的速度是已知的，例如从上一次迭代中得到的速度。由于第一个单元中心的位置也是已知的，粘度和密度也是已知的，因此可以将它们全部代入方程 (9.56)。唯一的未知数是摩擦速度，因此可以通过迭代来计算（由于方程的非线性）。从可以得到壁面剪切应力，这是关闭近壁网格离散化所必需的。一旦达到这一点，就可以开始新的全局迭代直到收敛。每个模型的细节略有不同（例如涉及），可以在用户文档中找到。不过，原理与本文所述相同。

通用分布由不同部分组成。在非常靠近壁面的地方，湍流受到阻尼，速度分布是线性的（粘性子层）。在完全湍流的近壁层，速度分布呈对数形式（对数定律）。这两个区域之间有一个 "过渡层"。图 104 以对数图描述了两个平板边界层分布（雷诺数不同）。速度分布大致可划分如下：

线性层。0<y+<5且U+=y+
过渡层。
对数层。

对数曲线有两个常数：冯卡门常数，通常选择为 = 0.41，及附加常数C = 5.2。

重要：虽然速度剖面在靠近壁面处遵循普遍规律，但以 y+ 为单位的对数层厚度取决于雷诺数。因此，对于高雷诺数流动，例如 y+ = 50 的 y+ 分辨率是足够的，但对于低雷诺数流动则不然。在高雷诺数情况下，壁面网格与边界层边缘（例如在 = 5000 处）之间有大量网格，而在低雷诺数情况下，边界层边缘可能在例如 = 200 处。

注意：即使是高 Re 数流动，内层（子层+过渡层+对数层）也只占整个边界层厚度的 10-20%。
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1 标准壁面函数

一直以来，许多湍流模型都与壁面函数（Wall Function，WF）方法相结合。壁面函数不允许/不要求对粘性子层进行方程积分。相反，用户需要提供一套网格，其中第一层网格点（单元中心）位于对数层。然后根据对数层公式计算壁面剪切应力。具体的 WF 计算公式细节可以在文档中找到。

壁面函数处理法的优点是可以在相对较粗的网格（壁面法线方向）上进行模拟。但是，用户必须确保第一个层网格中心位于对数层中。如图 104 所示，这并非易事，因为对数层的上限取决于边界层分布的雷诺数。因此，对于对数层适用的位置，我们无法定义一个通用的上限。特别是对于中低雷诺数（设备雷诺数为 1e4 -1e6 ），对数层的厚度可能很窄，第一个网格点很容易被放置在离壁面太近或太远的地方，从而错过对数层。此外，在较低的雷诺数下，即使第一层网格中心位于对数层中，网格分辨率也可能不够，无法用足够的单元覆盖边界层的其余部分。

标准壁面函数存在很大问题，因为计算结果取决于用户的以下能力：

确保第一层网格中心点不要太靠近壁面，以免落入过渡层/粘性子层。
确保第一层网格中心点不要距离壁面太远，以免落入外层。
确保有足够多的网格解析边界层。

违反其中任何一个条件都会导致重大误差。最棘手的问题是，网格细化超过一定程度会导致结果恶化。这违背了数值方法的原则，即网格细化最终应导致更一致和网格收敛的解。上述要求很难实现，尤其是在低中雷诺数条件下。我们还不能忘记，网格是在求解之前创建的，因此将第一层网格放入对数层是一项艰巨的工作。因此，我们不鼓励使用标准壁面函数--基于的模型就不能使用标准壁面函数。

用户常常误以为壁面函数能处理边界层--也就是说，只需在网格中正确放置 y+ 近壁面网格，就能进行准确的边界层模拟。然而事实并非如此。壁面函数只是一种特殊类型的边界条件，边界层本身仍需要用足够多的网格来求解。

重要提示：使用标准壁面函数时，很容易因网格过粗或过细而产生不正确的解。因此不建议使用标准壁面函数。
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重要：仅有适当的 y+ 并不足以进行精确的边界层模拟。边界层内还需要足够多的网格。
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2 Scalable壁面函数

可以采用一个简单的技巧，通过在 y+ 上应用限制器，避免在使用标准壁面函数进行网格细化时出现解质量下降的问题 [55]：

这种限制器可以防止壁面函数进入粘性子层，从而保证即使在网格细化的情况下，壁面剪切应力（和壁面传热）也保持一致。虽然可扩展的壁面函数是一项重大改进，但仍需要大量假设，因为网格不再向壁面细化，而是向 y+ = 11 处的虚构位置细化，从而稍微改变了几何形状。与高雷诺数相比，这种变化在低雷诺数时更为明显，因为 y+ = 0 和 y+ = 11 之间的间隙在整个几何图形中所占的比例更大（如通道或边界层的高度）。

3 粘性子层模型（VSM）

一种更一致但更昂贵的方法是将方程一直积分到壁面上。这要求近壁面网格的分辨率为 y+~1 或更细。然而，只有在湍流模型被校准以表示子层的情况下，才能进行这种积分。由于湍流会受到过渡层和子层中粘性阻尼作用，大多数湍流模型需要额外的阻尼项和/或特定的边界条件才能考虑这种影响。

一直以来，可以积分到壁面的模型被称为低雷诺数模型或low-Re模型。这是一个极易混淆的术语，因为 "low-Re" 指的不是设备雷诺数，而是湍流雷诺数，其中是湍流动能，是壁面距离，是运动粘度。由于受到壁面的阻尼，湍流动能在低 y+ 水平时趋近于零，湍流 Re 数也趋近于零。在所有设备雷诺数下，靠近壁面的所有流动都是这种情况！因此，下文中 "低雷诺模型 "一词将由 "粘性子层模型-VSM" 取代。

为基于方程的模型开发 VSM 是一项重大挑战。随着时间的推移，已经开发出许多此类模型（如 [56]），但它们通常存在以下一个或多个缺陷：

鲁棒性差
取决于初始条件的多种解
未经数据校准的伪转捩行为
再附/滞止点/线的壁面剪切力和传热过大。

对此有一些补救措施。第一种也是应用最广泛的一种方法是使用所谓的 2 层公式（[57], [58]）。在这种方法中，方程不通过过渡层和子层求解，而是采用代数公式。这样， -方程就会被一个源项所支配，从而强化代数关系。

第二种方法是在基于方程的模型中增加额外的微分方程，以考虑近壁面阻尼。这些模型通常称为 "椭圆混合 "或 V2F 模型[59]。这种方法的缺点是由于增加了两个方程和相关的复杂边界条件而大大增加了复杂性。此外，这种模型仍然允许伪转捩行为，即人为的非校准层流-湍流转捩过程，这是不可取的。由于这些原因，ANSYS CFD 没有使用类似 V2F 的模型。

基于方程的模型的优点之一是不需要额外的阻尼项。通过边界条件的简单转换就可以获得对壁面的积分。这些模型还避免了所有实际目的下的伪转捩，并且不会在重新附着/滞止点/线处导致过多的壁面剪切和传热。因此，基于方程的模型是 ANSYS CFD 的首选。

重要：基于的模型比基于的模型更难实现对壁面的积分。
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4 Y+不敏感壁面处理

经典的 VSM 总是需要 y+~1 或更精细的近壁网格。在复杂的应用中，不可能对所有壁面都做到这一点。因此，最好能提供在 y+ 变化时保持一致的公式。这种模型称为 y+ 不敏感模型（或全 y+ 模型）。在一系列具有不同 y+ 分辨率的网格上计算流动时，此类模型可提供近似独立于 y+ 值的壁面剪切应力（和传热）水平。请注意，只有在边界层内有足够数量的网格时，这种说法才是正确的。在图 105 中可以看到采用这种公式进行的模拟，图中在三套不同网格上计算了平板零压力梯度边界层[29]。计算出的速度分布与细网格解密切相关。在 y+ > 20 的网格上，公式基本上切换回壁面函数。

在 Fluent 中，Spalart-Allmaras 单方程模型和模型（使用 2 层 VSM 公式和 ML VSM）都有对 y+ 不敏感的壁面公式。在这两种代码（Fluent 和 CFX）中，所有基于方程的模型都是基于y+不敏感的公式。这些公式的细节取决于模型和数值计算，更多细节请参见相应代码的理论文档。

4.1 基于w模型的y+不敏感近壁面处理

在靠近壁面的地方， -方程简化为（在粘性子层中，湍流生成和湍流扩散也可以忽略）：

对于粘性子层和对数层中的，该方程有以下近壁面解：

其中，为在壁面上指定的（通常较高）值。这种公式足以提供适当的近壁面阻尼和正确的对数层。对 y+ 不敏感的方程在这两种解之间平滑融合。

由于近壁面公式简单而稳健，无需复杂的阻尼函数（或像 V2F 模型那样的新的额外输运方程），因此模型成为工业湍流基础模型中最具吸引力的选择。

4.2 k-epsilon双层模型

为了避免历史上 VSM（low-Re）模型的复杂性和鲁棒性限制，但仍能使 CFD 用户通过粘性子层集成这些模型，引入了所谓的 "双层"（2L）公式[57], [58]。2L 公式是目前工业代码中使用较广泛的模型湍流近壁面公式之一。其主要思想是完全避免近壁面方程的复杂性，代之以代数公式，并在此使用混合长度模型。然后将这种代数式与远离壁面的 -方程混合起来。

在 2L 模型中，近壁面分布是通过代数方程计算得出的：

其中为基于壁面距离的混合长度：

此外，还在标准模型和代数混合长度模型之间混合了涡流粘度：

使用混合函数：

之所以需要混合，是因为在预先指定的位置，代数公式和传输方程得出的分布不一致。为防止出现不连续性和收敛问题，需要进行平滑变化。

公式中的常数：

湍流雷诺数也用于代数模型与传输方程之间的混合。这些混合的细节通常取决于代码，因此不在此提供。代数方程与输运方程之间的这种混合可能会导致稳健性问题，因此需要在边界层内部的很大一部分区域（ < 200）上逐步进行。

在低雷诺数流动中，2L 混合可能会产生问题，因为在低雷诺数流动中，模型可能会被代数公式所支配。对于非平衡流动，2L 混合长度模型部分和公式产生不同的结果，然后用混合函数将这些结果拼接在一起，也会产生相当大的雷诺数效应。混合长度模型在边界层中起作用的相对部分取决于边界层的Re数。对于低 Re 值，模型的代数部分将覆盖边界层的很大一部分，而对于高Re值，2L 模型只在近壁面的一小部分区域（相对于边界层厚度）起作用。由于这两种模型在非平衡流动中的表现不同，这意味着在低时，组合模型将倾向于混合长度模型，而在高时，将倾向于模型。

另一个问题来自于观察到的基于的混合函数在自由流值较低的情况下，甚至在边界层外也可以切换回 "近壁面模式"，从而导致边界层外的湍流变量的非物理分布。通过这种机制，可以人为地创建一个高湍流粘度层，因为涡流粘度也切换到了混合长度模式（由于壁面距离较大，显然混合长度也较大）。图 106 显示了围绕 NACA 4412 机翼进行的模拟。图中 (a) 部分显示了混合函数中使用的分布。壁面处的为零，在边界层内迅速增加（在此比例下很难看出），但在边界层外又再次减少。图 106 中部显示了对混合函数的影响。该函数在靠近壁面时为 =0（在此比例尺上看不到），然后在边界层内如愿地切换为 =1。然而，在边界层之外，公式又切换回代数形式（ = 0）。从图 106c 的下半部分可以看出，这种切换是有问题的，因为它也将涡流粘度切换回了代数形式，图中。该比率在边界层外达到相对较高的值，而在更远的地方，当函数切换回 = 1 时，又会切换回较低的自由流值。

这些例子表明，2L 模型的切换程序可能会产生问题。对于多相流和/或物理属性变化很大的复杂流动，情况更是如此，在这种情况下，模型会因混合长度和传输方程之间的不稳定切换而显示出不稳定性，从而阻碍求解器收敛。虽然 2L 公式在许多工业流中都能很好地使用，但它还不足以作为默认的湍流模型，因为默认的湍流模型需要适用于所有的物理场景组合。