本期推送将介绍 MPM 固体力学的基本概念。该公式适用于所有现有的 MPM 变体，如 GIMP、 CPDI 和 BSMPM。

本次推送的主要目录如下：

1. 强形式
2. 弱形式和空间离散化
3. 以粒子为积分点的物质点法有限元

1. 强形式

对于纯机械载荷（忽略热交换）下的连续体，更新拉格朗日描述中的控制微分方程包括平衡律、本构方程、运动学方程和边界/初始条件，这些条件统称为

其中    是密度，    表示速度，    是    应力张量，    是比体力，    是关于当前配置的梯度算子。变形张量的速率用    表示，    表示大旋转所必需的一些客观应力速率。

能量守恒方程是用来更新状态方程的内能和检验能量守恒。由于在 MPM 使用了拉格朗日描述质量守恒，上述方程式中的第一个方程并未求解。

基本 MPM 的公式是等温的，因此，能量方程也没有求解。

已知量包括    边界上的规定位移     (或等效规定速度) ，牵引边界上的规定牵引力    ，初始速度    和初始应力    。回想一下，在拉格朗日公式中，物质时间的导数仅仅是对时间的偏导数。这比材料时间导数的欧拉公式简单得多。

如上所述，拉格朗日公式中的自变量是材料坐标    和时间t。因变量包括（i）质量密度    （一个未知），（ii）速度场    （3D中有3个未知）、（iii）应力场    （6个未知，因为柯西应力张量是对称的）和（iv）变形率张量    （6个未知数）。因此，在三维空间中，我们总共有16个未知数。控制方程包括（i）质量守恒（1个方程）、（ii）动量守恒（3个方程），（iii）能量守恒（1个子方程）；（iv）本构方程（将六个应力分量与变形率张量的六个分量相关联的六个方程）和（v）应变-位移方程（6个方程）。

我们总共有17个方程式。然而，由于我们对非绝热、非等温过程感兴趣，能量守恒不是PDE，因此最终我们有16个方程，用于16个未知数。注意，在所谓的状态方程中需要能量守恒，该方程涉及压力、体积和比能。

2. 弱形式和空间离散化

MPM 可以被看作是一个更新的拉格朗日有限元法，但它也使用了一个较弱的公式。动量方程的弱形式可以表达为：

其中    表示当前构型，    是特定的柯西应力，即    ，下标    表示向量和张量的分量，    是虚位移场或测试函数，    是加速度场。具体的牵引矢量用    表示.

请注意，以上是用指示符号表示的，这将有助于推导离散方程。从这个弱形式出发，我们可以像 Sulsky 等人(1994)那样，在下面得到 ULMPM 的半离散方程，或者我们可以从 ULFEM 的半离散方程中推导出 MPM 的半离散方程，通过考虑粒子作为正交点

整个材料域    由一组材料子域    离散，并假设一个材料子域的整个质量集中在相应的材料点，这意味着质量密度场表示为

   是体积倒数的狄拉克delta函数。注意，    表示质点    的质量

其中使用了恒等式    。由于颗粒构成一个体积，在计算由于牵引引起的外力时需要引入一个边界层厚度 h (Zhang et al。2016)。简而言之，作为一种粒子方法，它缺乏对固体边界的明确表示，很难在 MPM 中应用诺伊曼边界条件。

接下来，通过有限元网格（或网格）离散空间，从而可以近似任何空间变化的场。网格由具有与每个节点I相关联的形状函数    的    个节点组成；    是节点I的位置向量的i分量。在3D中，通常写为。下标I表示网格节点的值，下标p表示粒子的值。由于使用了有限元网格，形状函数和导数的评估是标准的（因此是有效的），并且不像其他无网格方法（如SPH或EFG）那样涉及邻近搜索。

运动的有限元近似由下式给出

可以看出，形状函数是用拉格朗日坐标    而不是欧拉坐标    来表示的，类似于拉格朗日有限元。

使用上式对初始方程改写，可以得到

   是    的i分量——初始配置中节点I的坐标。

因此位移近似为

其中    表示节点I的位移矢量的i分量。

由此给出了速度场和加速度场

其中    ，    分别是节点I的速度和加速度矢量的i分量。注意上式的第一个式子在本节给出的半离散方程的推导中不需要，它将在以后使用，例如计算速度梯度和更新颗粒位置。

使用Bubnov-Galerkin方法，虚位移场近似为

也就是说，虚位移场是用相同的形状函数来近似的。由此给出    的空间导数

替换在粒子上评估的    ，    和    有限元近似值得到：

由于    是任意的，我们获得了以下方程组（对于每个节点I，I分别为1，2，3个方程，对于1D，2D，3D，I=1，…，    ）

它可以写成以下简洁的形式

其中    ，    ，    分别是一致质量矩阵的    分量、外力向量和内力向量。这个方程式与FEM的方程式完全相同。上述表达式通常被称为半离散方程，因为只有空间被离散化。

一致质量矩阵的    分量由下式给出:

请注意，质量矩阵不是常数的有限元，但随着时间的变化，因为材料点移动，而网格节点是重新设置后的一个时间步骤。

外力矢量写为

内力矢量为

式中，表示形状函数的梯度；    是粒子    的体积；    是颗粒p的3×3柯西应力矩阵。回想一下，颗粒密度定义为颗粒质量与颗粒体积的比值。请注意，节点内力的定义与非线性有限元文献中的定义略有不同——有限元公式中没有减号。我们决定与MPM表示法保持一致，这样初学者就不会出现混淆。

为了理解内力的紧凑表达式，我们将内力矢量明确地写成如下形式：

由于在 MPM 规定牵引力的诺依曼边界 t 没有精确定义，因此由于牵引力非零，很难计算外力。这个困难适用于在热和热力学分析中强制执行非零热流。

3. 以粒子为积分点的物质点法有限元

在下文中，我们表明，通过将粒子视为积分点，可以直接从更新的拉格朗日有限元方程中获得MPM半离散方程。对于有FEM经验的读者来说，这种推导通常是最直接的。更重要的是，它显示了标准MPM的一个主要缺点：该方法的正交逼近性质。注意，这种推导MPM方程的方式不适合获得GIMP和CPDI公式。这就是为什么一个人必须掌握从弱形式开始的前一种方式。

更新拉格朗日有限元质量矩阵、内力和外力矢量由下式给出：

为了简单起见，我们跳过了外力中的牵引力项。

上述方程中的积分是使用数值积分或数值求积规则计算的。被积函数在称为积分点或高斯点的有限点集上进行评估，并使用这些值的加权和来近似积分。对于函数f，可以写：

其中    表示积分点    的权重，    表示该点的位置。结果表明，如果以材料点为积分点，权重为体积，则有限元方程简化为 MPM 方程。

例如:

在MPM中，由于只有粒子位置和体积被更新，变形域不能像FEM中那样在没有间隙的情况下平铺，参见图1.1。因此，在MPM中没有准确地保留积分度量。换句话说，粒子体积的总和并不完全等于变形域的体积。因此，由于MPM（更准确地说是标准MPM公式）中的数值求积引起的误差是显著的。这只是MPM中正交误差的第一个来源。理解这个问题对于减少开发方法中的这个错误是至关重要的。

正交误差的第二个来源来自粒子相对于背景网格独立定位的事实。因此，基于粒子的求积不遵循网格函数的连续性或这些函数的支持。这与其他Galerkin无网格方法类似，例如参见Dolbow和Belytschko（1999）。在MPM的背景下，Steffen等人（2008a）对这种正交误差进行了详细分析。

MPM的正交误差的解决方案包括使用平滑的网格基函数，如GIMP、B样条、CPDI，或者采用有限元求积规则（通常用于具有非结构化背景网格的岩土工程界）和Moresi等人（20032007）的FEMLIP，其中实时计算求积权重，从而可以精确地重建仿射函数。在这些技术中，CPDI在求积方面是最准确的。