数学建模：最大化捕捉数学问题的精确解

连续介质力学理论是一种在宏观上模拟固体和流体的理论，它忽略了不均匀性，如分子、颗粒或晶体结构。因此，在这个理论中，固体和流体的行为可以是空间变量的拥有属性平滑函数。连续介质力学的主题包括以下基本课题: (1)不考虑原因的运动和变形的研究(运动学) ，(2)内力的研究(动力学) ，(3)保守方程或平衡原理，表明有某些重要的物理性质，如质量，动量和能量必须保守，和(4)本构模型，提供运动学和动力学变量之间的关系。它是通过一个本构模型，在连续介质力学中，我们可以区分固体和流体，橡胶和岩石等等。本节目录如下：1.1 运动与变形1.2 应变度量1.3 应力度量1.4 客观应力率1.5 守恒方程1.6 本构模型1.1 运动与变形在连续介质力学中，物体B被认为是由无限组材料点形成的，这些材料点被赋予了一定的力学性质。物体初始未变形构型中材料点的位置矢量表示为X，相对于某个坐标基。X被命名为材料或拉格朗日坐标。同一材料点在变形配置中的位置由称为空间坐标或欧拉坐标的x表示。固体的运动（变形）用函数φ（X，t）来描述。空间坐标和材料坐标之间的关系可以建立如下： 物体的位移场、速度场和加速度场是描述物体运动的主要运动学场。材料点X的位移，用u（X，t）表示，是其当前位置φ（X，t）和初始位置φ（X，0）之间的差。所以 一个物质点 X 的速度，用 v (X，t)表示，定义为该物质点位置的变化率，即 这就是拉格朗日速度场。该速度场存在欧拉形式，但由于MPM采用拉格朗日描述，因此此处不再讨论材料点X的加速度是其速度的变化率，即速度的材料时间导数， 变形梯度张量F是有限变形连续力学中的一个关键量，因为所有的变形量都是从它导出的。它是一个线性映射算子，将参考配置中的每个无穷小线性元素dX映射为当前配置中的无穷小线性元dX。它被定义为 其次，介绍了物质时间导数的概念。要理解这一重要概念，请考虑以下情况。假设我们在物体上定义了一个特定的场（标量、矢量或张量），我们想知道在给定材料点X的变化率。这被称为φ的材料时间导数。这个概念有两个定义，分别对应于物质描述和空间描述1. 拉格朗日描述。在拉格朗日描述中，自变量是材料坐标X和时间t。因此，我们所要做的就是取给定场的偏导数。对于材料场φ（X，t），其材料时间导数为 其中前两个方程指示材料时间导数的标准表示法。由于MPM采用拉格朗日描述，因此物质时间导数非常简单2. 欧拉式的描述。所考虑的字段为φ（x，t）。这种情况要复杂得多，因为不仅时间变化，而且考虑的粒子的空间位置x也变化。我们必须计算材料描述的关于时间的偏导数，保持x固定 利用链式规则，我们得到了欧拉标量场的物质时间导数的重要公式 项dφ/dt被称为空间-时间导数，项φ，jvj是对流项，也称为输运项。1.2 应变度量在非线性连续介质力学中，有许多度量应变和应变速率的方法。对于任何刚体运动，特别是刚体转动，应变度量必须消失。在此，我们回顾一些常用于非线性连续介质力学的应变度量方法。它们是右柯西-格林变形张量 C，格林应变张量 E，和变形速率张量 D右柯西-格林变形张量写为 其中上标T表示转置运算符。格林应变张量由下式给出 这个应变张量度量 dX 和 dX 长度的平方的差速度的空间梯度或速度梯度张量 L 定义为速度的空间梯度 速度梯度 L 允许变形梯度 F 的材料时间导数写为 在第二个等式中，我们使用了拉格朗日场的物质时间导数随物质梯度而交换的事实。注意到，这一事实并不普遍适用于欧拉领域。将速度梯度张量 L 分解为对称和反对称两部分 其是二阶张量的标准分解。变形率张量D被定义为L的对称部分，而自旋张量被定义为斜对称部分。使用这些定义，可以编写 其中 D 描述了拉伸和剪切的速率。1.3 应力度量由于存在不同的应变度量，因此也存在与之工作共轭的不同的应力度量。最常用的应力张量是（1）柯西应力，（2）基尔霍夫应力。这些应力张量之间的关系如表1所示。柯西应力是与变形体积的变形率D的真应力和功共轭。基尔霍夫应力也称为加权柯西应力系与初始体积的变形张量率的功共轭。第一次PK应力是非对称的，与变形梯度的速率共轭功。第二皮奥拉-基尔霍夫应力是一个完全材料对称的应力张量，与格林应变速率张量是功共轭的。请注意，一些作者，例如Belytschko等人（2000），更喜欢使用标称应力，其转置为第一PK应力。表1 不同应力测量之间的关系 1.4 客观应力率本构方程常用速率表示，即应力速率与变形速率之间的关系。在大转动情况下，简单地使用应力张量的材料导数，例如 Cauchy 应力 Dσ/Dt 的速率，是错误的，因为它不能在叠加刚体运动下正确地转化为张量。我们讨论了三种常用的客观应力率: Jaumman 率、 Truesdell 率和 Green-Naghdi 率。一个本构模型可以根据这些目标应力率中的任何一个来制定，并且从一个应力率转换到另一个应力率需要重新制定本构模型。用方程式可以表示为： 1.5 守恒方程连续介质力学中一组重要的方程式是守恒方程式或平衡方程式。对于热力学系统，守恒定律包括1. 质量守恒2. 线性动量守恒3. 角动量守恒定律4. 能量守恒质量守恒。质量守恒定律用质量守恒方程来描述，或者通常称为连续性方程 如果密度不变，即材料是不可压缩的，因此密度的材料时间导数消失，连续性方程变为vi，i=0，这是众所周知的不可压缩性条件。对于拉格朗日描述，质量守恒的一个更简单的代数方程由下式给出 线性动量守恒。这个定律要求线性动量在时间上的变化等于作用在物体上的所有外力(体积和表面力)的总和。它用所谓的动量方程来描述。 这个定律要求柯西应力是一个对称张量角动量守恒定律。能量守恒。这条定律指出，物体内总能量(包括内能和动能)的变化率等于外力所做功的速率加上热通量 q 和能源所提供的功的速率。 其中 e 是特定的内能; ρs 表示单位体积的热源。1.6 本构模型前面给出的所有方程都与材料无关：它们对固体和流体都有效。为了对材料行为进行建模，需要一个本构方程或本构关系——与运动量（如应变）相关的运动量（例如应力）之间的关系。正是通过本构方程，人们才能区分流体与固体、混凝土与橡胶等。第一个本构方程（本构定律）由Robert Hooke提出，被称为Hooke定律。它涉及线性弹性材料的情况。从那时起，已经开发了大量的构造模型来表征各种各样的天然和工程材料。值得注意的是，数值模拟只能与所使用的材料模型一样精确。来源：STEM与计算机方法