一种分析砂土地基在排水条件下高循环荷载作用下变形的新方法

8月前浏览1349

声明：本文为我与Dr.-Ing. Khalid Abdel-Rahman 与Prof. Dr.-Ing. Martin Achmus 在International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics期刊上发表的文章《A new method for the analysis of foundation behavior in sand under drained high-cycle loading》的中文翻译，原文免费下载，地址如下：

https://doi.org/10.1002/nag.3542

鉴于中英文表达习惯不同，若有歧义，请以英文原版为准。

该翻译版本以及原文仅作为学习交流使用，禁止用作其他用途

一种分析砂土地基在排水条件下高循环荷载作用下变形的新方法

作者：曹舒瀚，Khalid Abdel-Rahman, Martin Achmus

作者单位：汉诺威大学岩土工程研究所

摘要：在海上风能技术中，尤其是在海上风力发电机中，结构的永久变形必须加以限制。为此，必须尽可能准确地预测地基在循环荷载作用下的永久变形累积。为了计算非粘性土中的累积变形，可采用半经验法、p-y 曲线法和数值法等不同方法。在数值方法中，刚度折减法（Stiffness Degradation Method, SDM）具有实用性强的优点。然而，该方法仅适用于相对简单的本构模型，且未考虑土体初次加载以及再次加载应力路径不同的影响。基于 SDM 的基本概念，一种新的数值方法予以提出，即循环应变累积法（Cyclic Strain Accumulation Method, CSAM）。CSAM 克服了 SDM 的弱点，尤其是与更高级本构不兼容的问题，同时还保留了 SDM 的主要优点--实用性。通过对大直径单桩基础的数值计算发现，如果采用相同的土体本构模型，CSAM 可得到与 SDM 相同的结果的结果。此外，CSAM 的计算效率更高，有着继续优化的潜力。适用于任意土体的本构模型，可以考虑不同应力路径的效果。结果表明，CSAM 是一种很有前途的新数值方法，可用于计算土体的变形。

关键词：海上风力发电机、大直径单桩基础、循环变形、有限元法（FEM）、刚度折减法（SDM）、循环应变累积法（CSAM）。

1 引言

海上风力发电机在其设计寿命期间会承受大量的循环载荷，这些载荷来自于风浪造成的大量周期性载荷，从而使地基结构产生越来越大的永久变形。对于海上风机而言，其竖直向荷载相较于偏心的循环荷载（源于机舱到基底的大力臂）较小，故而需要特别加以注意。在正常使用极限状态设计(Serviceability Limit State)中，通常要求不可恢复的结构倾斜，即永久变形不超过0.5°，其中因安装造成的倾斜不超过0.25°，因循环荷载导致的倾斜不超过0.25°。基于上述原因，预测海上风机因循环荷载引起的永久变形尤为重要(见图1)。

在适当的水深及场地条件下，海上风能发电机的基础通常采用大直径单桩基础。在大直径单桩的实际设计中，其永久循环变形常以半经验公式加以估算。此类公式通常由小比例模型试验推导而出用以估算桩端的转角或水平位移。虽然有着使用简便的优点，但此类公式却通常不考虑实际的场地条件，故而会使用循环p-y曲线法加以补足。在循环p-y曲线法中，桩被视为梁单元，土体结构相互则用非线性弹簧加以描述。在此背景下，土的影响仅以整合形式加以考虑，换言之，每个弹簧都代表其周围土体的影响，故而其计算精度亦会受限。

上述缺点可以利用区分隐式和显式方法的数值方法加以克服。循环变形的隐式和显式方法。隐式方法是经典塑性理论的延伸，即在数值模型中遵循真实的加载情况，也就是每一个加载周期。即在数值模型中追溯每个加载周期，并根据塑性理论计算循环变形。

塑性理论计算循环变形。其中的典型案例为Dafalias 等及 Liu等的 SANI-Sand 模型[1][2]。由于要对实际的加载过程进行跟踪和计算，隐式方法的计算成本很高，通常只能用于较少的循环次数（至多数百次）。因为循环次数过多时数值误差过大，系统难以收敛。数值误差过大，系统难以收敛。然而，在实际情况中，往往需要计算数百万次循环后的循环变形。从这个意义上说，隐式方法可能不再适用，而显式方法成为唯一的选择。与隐式方法不同，显式方法并不对实际加载过程加以追踪，而注重于模拟循环造成的系统反馈。换言之，在给定循环次数下的循环变形，是通过是通过循环加载的累积规律直接计算得出的，循环累积规律，则是从基础循环试验推导而出（如循环三轴试验）。若假设系统的应力状态保持基本不变，则可将显式计算结果外推，籍由达到计算高循环次数后系统的变形。显式方法的例子有 Niemunis 等人的高循环累积法（HCA）[3][4] 以及 Achmus 等人的刚度折减法（SDM）[5]。

HCA 模型建立于亚塑性理论之上，土体在循环荷载作用下的应变累积由应力历史，应变幅度，孔隙比，围压，应力比以及循环数共同决定。在数值计算中，作用于系统中。籍此，该方法可用于描述在普遍循环荷载情况下的变形，但由于模型的复杂性，该方法需要大量的土工循环试验及诸多模型参数。

在刚度折减法(SDM)中，土体的循环变形以折减土体的弹性刚度加以实现。折减的程度籍由三轴试验的结果，土体局部加载程度以及循环数决定，详见2.2节。相较于其他更加严格的方法，如HCA，SANI-Sand, SDM 的一个重要的优点在于其简便实用性。SDM 建立于摩尔库伦理想弹塑性模型上，故有较为丰富的经验模型参数可供参考，除此之外，仅需额外两个参数（由循环三轴试验回归分析）即可描述土体在循环荷载作用下的行为。相关研究表明，SDM 可用于预测大直径单桩基础在循环荷载作用下的变形(参见Achmus et al.[5], Albiker[6], Westermann et al.[7][8] Yang et al.[9])。然而，SDM的不足之处在于其折减弹性刚度这一方式，折减土体弹性刚度可以有效的方式前提系统中的形变必须以弹性形变为主，故而SDM只兼容于较为简单本构模型，如理想弹塑性材料模型。更为精确的土体本构模型，则不被SDM所兼容。除此之外，折减土体刚度这种方式仅适用于大直径单桩水平受载的情况。对于其他基础，如重力式基础，其循环变形作用于竖直方向，而折减土体刚度不仅使得循环荷载对应的变形增大，也使得恒载造成的变形增大。

除上述缺陷，由于SDM仅兼容于理想弹塑性本构模型，应力路径加以区分。故而作为显式计算法的基础，土中应力仅能通过土体的初加载路径加以确定。而对于受循环荷载的土体，其再加载路径更具有代表性。

基于上述SDM的缺陷，本文提出一种新方法，亦即“循环应变累积法” （Cyclic Strain Accumulation Method, CSAM）。在循环应变累积法中，SDM的基本理念，亦即其简便实用性得以保留，但计算所得的循环变形并非通过折减土体弹性刚度的方式间接实现，而以应变的方式直接作用于数值模型中。此种变化使得CSAM可兼容于任意本构模型。本文中的计算中，在均使用理想弹塑性材本构的前提下，比较CSAM与SDM的计算结果。除此之外，CSAM与以亚塑性理论相结合，用以探究本构法则以及考虑再加载路径时计算大直径单桩基础变形时的影响。

图 1: 建立在大直径单桩上的海上风能发电机

2 现行水平受载大直径单桩设计方法

如前文所述，受水平循环荷载的大直径单桩的循环变形可由半经验公式，循环p-y曲线法以及数值方法加以计算。以下对上述方法加以简短介绍。

2.1 半经验公式以及循环p-y曲线法

表 1（摘自文献[10]）总结了典型的半经验公式。半经验公式一般以桩端水平位移或转角相较于首次加载后的增量的形式表达。而半经验公式一般由不同的试验条件下推导而出，故而经验参数范围甚广。除此之外，半经验公式一般不考虑具体的场地条件，如土的参数，桩土之间相互作用，故而使用半经验公式难以得到较为精确的预测。

非黏性土循环p-y 曲线一般由修改静态p-y曲线而来。美国石油协会(API)[11]建议的循环p-y曲线为：

式中p_u为土体承载力，其大小与深度，土的内摩擦角相关，为代表刚度的参数，亦与内摩擦角相关。A为校准系数，在考虑循环荷载时，A的推荐值为0.9，对应N ≈ 100的情况。

基于这一概念，Dührkop[12] 提出了基于小规模 1g 试验的修正公式：

式中

r_A与循环数相关。对应静态p-y曲线， r_A=1.0，N = 100时，r_A=0.3 ，N=10⁵时，r_A=0.0 。由此，p-y曲线可根据所加载的循环数加以修改。

近年来，Achmus 与宋俊男 [13]提出“叠加模型”(Overlay model), 即使用y-乘子将任意静态p-y曲线转化为与加载次数相关的循环p-y曲线。该叠加模型由SDM推导而出，SDM将在2.2节加以介绍。

表1: 横向循环荷载导致的循环位移或旋转累积模型概览[10]

2.2 刚度折减法(Stiffness Degradation Method, SDM)

Achmus et al. [5] 与 Albiker[6]介绍的刚度折减法(Stiffness Degradation Method, SDM)是一种简便的显示数值法，其重点关注于方法的实用性，目的是使用尽量少的模型参数。SDM建立在摩尔库伦理想弹塑性材料以及Ohde的应力相关刚度函数[14]，定义为：

在此，Es代表土的侧限压缩模量，σ_m为平均主应力，σ_at 为参考应力，等于100kPa。 λ与κ为描述应力相关刚度的参数。对于非黏性土而言， λ与κ可根据相对密度配合相应的经验参数加以预估，如参见EAU[15]。

描述循环受压三轴试验下轴向应变累积的Huurman公式[16](见图2)为SDM的控制方程，其表达式为

图 2: 循环三轴压缩试验的结果与Huurman公式的对比[16]

此处为首次加载后的轴向应变，则为N次加载后的轴向应变。N为循环加载次数，b1与b2为从三轴固结排水循环试验结果中回归分析得到的系数。X为表征使用率的应力比：

σ1为循环加载中轴向最大应力，σ1f为轴向承载力，在三轴试验中可经由强度参数 c,φ以及围压σ3计算。

Huurman公式描述了土体在恒定循环载荷强度下的变形规律。在SDM中，Huurman公式通过折减土体弹性刚度进行间接数值转换：

将折减程度不同的刚度带入系统，以折减后的刚度再次进行计算可考虑单元间的相互作用及因折减刚度造成的应力重分布。回归系数b1与b2由一系列的三轴试验准备，其数值与土的种类，相对密度相关。Achmus et al.[5] 与Albiker[6] 列举了b1与b2的取值范围，根据相关归纳，b1的范围大致为0.10到0.30, b2则在0.5到20.0。根据文献中的结果以及自身的三轴试验结果，Albiker指出b1与b2的取值主要与相对密度相关，并推荐对于中密砂b1=0.15 & b2=0.50，密砂 b1=0.12 & b2=0.50。

与三轴试验情况不同的是，在应用Huurman公式到桩土系统时，土中主应力方向并不会保持不变，且大主应力与小主应力会同时改变。除此之外，即使在初始应力状态下，土中的应力状态一般为各向异性，故而需对施加荷载前后的应力比X(0)与X(1)加以区分，X(0)与X(1)对应不同的破坏应力。故此，引入特征应力比Xc如式 8 用以取代式 7 中的。描述初始状态的应力比X(0)与加载后的应力比X(1)的差值与X(0),X(1)之间差值的最大值，如是，利用率以 Xc的形式加以重新定义。

对于单向循环加载的大直径单桩，SDM分为三个计算步骤(如图3)：

1. 初始步骤：施加土中初始应力以及恒载，用以计算在每一个应力积分点上的X(0)值。

2.循环荷载初加载步骤：循环荷载以静荷载的形式施加，用以计算在每一个应力积分点上的X(1)值。以X(0)，X(1)以及给定的土体参数b1, b2 ,c 和φ 计算相应的经过N次加载后折减的土体刚度。

3.循环荷载加载配合折减后刚度步骤：在相同的加载情况下进行新的计算。与第二步计算导出的与循环加载次数有关的土体折减刚度。确切地说，在这一步中，使用的是恒定但不均匀的土体刚度。对于需要考虑的每个循环加载数都需要进行单独的新计算。

图 3: SDM计算过程 [5]

在 SDM 计算步骤中，前两个步骤是隐式的，用以计算第三个显式步骤需要的变量。通过这些步骤，循环变形可借由折减土体弹性刚度间接计算出来的。

2.3 方法讨论

在已介绍的方法中，半经验方法和循环 p-y 曲线方法因其应用简单、计算效率高而在实际设计中被广泛采用。这两种方法的主要缺点为没有准确考虑土壤与桩的相互作用。此外，现有的循环 p-y 曲线部分未经实验验证，或仅针对较小的循环次数进行验证。

刚度折减法（Stiffness Degradation Method, SDM）作为一种简化的数值方法，侧重于实际可行性而非理论精确性，因此只需 8 个输入参数（见表 2）。因其更加接近现实的土结构相互作用的模拟以及考虑了特定场地条件与半经验法和 p-y 曲线相比，SDM 的计算精度大大提高。

然而，SDM 有其弱点，因为它是间接的数值转换，即通过降低土体弹性刚度来间接产生循环变形。这种方式便于编程和收敛但也限制了它的进一步应用，因为它只能与变形主要取决于一个参数（土的弹性刚度）的本构模型兼容。在更先进的本构模型中，如亚塑性模型[17]或硬化土小应变模型[18]中，变形取决于几个相互影响的参数，这使得将 SDM 架构于这些本构模型上非常困难，甚至不可能。

由于刚度折减法（SDM）无法与更高级的本构法结合使用，故而其发展优化的潜力已殆尽。例如，使用简单本构模型无法准确模拟受偏心荷载的浅基础，因此SDM也并不适用于浅基础。基于上述原因，有必要提出一种新的显示算法，在保留SDM的优点，亦即其简便实用性的前提下，同时克服SDM的缺点。

3 新数值方法

在新方法中，Huurman公式仍然作为基本的控制方程（见式 5），但其应用方式有所改变。由于SDM的缺陷主要由Huurman公式的间接应用产生，在新的数值方法中，循环变形是通过在土体的应力积分点上直接施以应变加以实现。换言之，并非作为土体刚度的折减系数，而是作为土体应变的放大系数用以描述循环加载效应，基础应变则是由初次加载计算得来。根据所提议的数值过程，新的数值方法被称为 "循环应变累积法"(Cyclic Strain Accumulation Method)，简称 CSAM。

由于 CSAM 中的循环变形是通过在应力积分点上直接施加应变而产生的，因此它与任意本构兼容，而且应变的施加形式也很容易修改。在当前版本的 CSAM 中，考虑了三轴压缩应力路径下的循环法向载荷引起的循环应变累积（通过应用Huurman公式）。如有必要，在 CSAM 框架下，还可以考虑其他应变累积机制，如循环直接剪切试验路径(Direct Simple Shear, DSS)导致的剪切应变累积。总体而言，CSAM 提供了一个高度灵活的框架，因此具有进一步修改和优化的巨大潜力。

3.1 CSAM 的第一个版本

在 CSAM 的第一个版本中，其计算条件与 SDM 相似：这意味着它依旧使用摩尔库伦（Mohr-Coulomb）理想弹塑性本构模型。应力状态（用于推导应变增加率）也从初始（原始）加载路径中读取。SDM中折减土体弹性刚度的力学效应可由广义胡克定律结合Huurman公式表达为：

式中下标 i,j,k代表坐标 x,y,z .

从式 9 和 10 中可以看出，所有六个应变分量都通过折减土体刚度被放大。为达到与SDM相同的力学效应，所有的六个应变分量通过放大系数直接予以放大，不使用土体刚度作为媒介：

利用上述等式，可以计算出循环加载引起的附加应变，这些附加应变取决于循环加载次数N。

在数值模型中，这些附加应变可以虚拟徐变或热力学应变的方式加以考虑。在 SDM 中，循环变形是 "间接 "产生的。而在 CSAM 中，循环变形是 "间接 "产生的，这将在后面的计算示例中讨论。

与 SDM 一样，第一版 CSAM 的数值计算过程也分为三个步骤。在前两个步骤中根据应力条件计算特征应力比 𝑋c，并使用公式 11 和 12 计算不同循环次数下的循环应变。第三步，在数值模型中直接施加循环应变。而第三步可根据预期的循环次数分为几个子步骤。换言之，使用 CSAM 计算循环行为时，只需执行一次计算，根据需求逐步增加应变。而使用SDM时，对应每一个循环加载次数则需执行一次独立的计算，故而与 SDM 相比，CSAM 的计算效率更高。

为验证CSAM，选取Achmus et al.[5]文中的典型大直径单桩基础作为案例进行探究(参见图4)。该模型受15MN的完全卸载水平单向循环荷载，相对于土体表面的力臂为15m。

土体的本构模型采用摩尔库伦理想弹塑性材料，同时，采用式4以考虑土体刚度与应力间的关系。桩土间的摩擦系数假设为。鉴于Achmus et al.[5]文中所使用的回归系数与取自文献中的数学平均值，本文中的与取自Albiker [6]通过试验确定的相应数值。选用的土体的模型参数归纳于表2中。

表 2: 用于比较SDM与CSAM的模型参数 (参见[5][6])

在上述条件下，使用有限元软件 ABAQUS [19]对 SDM 和 CSAM 进行了计算比较。使用C3D8单元建立的3D模型对大直径单桩基础在砂性土中受循环荷载的行为。利用几何以及荷载的对称条件，仅对一半模型进行分析。大直径单桩被模拟为空心桩。进行数值模拟时，首先以K0作为静土压力系数计算土中初始应力，接下来使用“wished in place”方法将桩激活，亦即不考虑桩的生产造成的影响。桩土间的接触使用Penalty 法结合库伦摩擦定律进行模拟。

关于模型边界以及单元、网格划分，进行了相应的敏感性分析。模型径向尺寸为14倍桩直径大小，深度方向的尺寸为桩长的两倍以保证计算结果不受模型边界影响。典型的有限元模型如图4所示。

图4: 使用的ABAQUS模型

计算结果以桩的挠曲曲线及桩端水平方向位移的方式在图5至图7中展出。图5所示为桩直径7.5m，桩长40m时分别以SDM及CSAM计算所得结果。正如预期的那样，桩端位移随着荷载循环次数的增加而增大，并且在中密砂（图 5A）和密实砂（图 5B）中，桩的旋转点都略微向下移动。SDM与CSAM的结果非常吻合，只是SDM计算所得的挠度稍大。造成这微小不同的原因为CSAM与SDM施加循环效应的方式不同(间式9至式12)。在SDM中，由于不同单元的刚度折减程度不同会出现应力的重新分布，而在CSAM中，应力重分布则是因为不同的单元被施加了不同的循环应变。故而CSAM与SDM是通过不同的加载路径达到循环应力状态，因而无法得到完全一致的结果，但对于大直径单桩基础而言，计算结果的差别极小。

(a) 中密砂

(b) 密砂

图 5: 使用CSAM与SDM计算得到的桩挠曲曲线(桩直径7.5m，桩长40m)

第二个例子则是探究直径5.5m，桩长30m的情况，其他条件均保持不变。因作用于相同大小的荷载(15MN)以及力臂(20m)，则系统的利用率大增，故而系统的形变亦变大不少。在第二个例子中，CSAM于SDM的结果几乎相同。

(a) 中密砂

(b) 密砂

图 6: 使用CSAM与SDM计算得到的桩挠曲曲线(桩直径5.5m，桩长30m)

图7给出了从图5图6中提取的桩端水平位移于循环加载次数的关系。显然，CSAM于SDM之间结果的一致性是令人满意的。据此可以得出结论，对于水平循环受载的大直径单桩系统，如果使用相同的本构模型，CSAM能够得到与SDM大约一致的结果。

图 7: 两种不同大直径单桩几何条件下 SDM 和 CSAM 的桩端位移比较(L = 30 m / D = 5.5m 及 L = 40 m / D = 7.5 m)

3.2 本构模型的变化以及再加载应力路径的考虑

接下来，在CSAM的框架下，探究本构模型对于循环累积行为的影响。为此，选用摩尔库伦理想弹塑性模型(MC)与带粒间应变张量亚塑性模型(Hypo)作为对比。除此之外，应力路径的影响亦被研究，即对比考虑初始加载路径的情况(与SDM的定义一致)与考虑再加载路径对于循环变形的影响。

亚塑性本构模型源于使用尽量简单的数学框架用以描述土体行为的概念。其与众不同之处在于，颗粒材料力学行为的主要特征用一个单一的张量方程表示。在亚塑性理论中，并不像弹塑性本构模型一样区分弹性应变、塑性应变，亦没有屈服方程，塑性势，一致性条件等数学表达，而是用张量方程表达应力与相对密度(或孔隙比)对颗粒材料力学行为的影响。土体的刚度，剪胀或剪缩以及内摩擦角均由应力比、应力状态以及土体的形变方向推导得出。亚塑性本构理论详见参考文献[20][21][22][23]。

摩尔库伦理想弹塑性模型与带粒间应变张量亚塑性模型在侧限压缩试验路径及三轴试验路径下的对于如图8所示。可以看出，二者所描述的土体力学行为明显不同，尤其是摩尔库伦理想弹塑性模型并未考虑土体的强化且不区分土体初始加载及再加载时的不同响应，故而在计算中会造成误差。

图 8: 根据理想弹塑性模型 (黑线) 及带粒间应变张量亚塑性模型(浅黑线) 在三轴试验路径下(左) 以及侧限压缩试验路径下(右)的的加载卸载循环示意图[24]

对于如本文介绍的显示方法，基本的前提为选取具有代表性的应力状态。当考虑系统中的塑性，尤其是当使用类似于可以考虑强化以及区分初加载、再加载应力路径的本构模型如亚塑性理论时，土中应力会在初加载时出现相当的应力重分布。换言之，初加载的应力路径仅会在系统中出现一次，故而再加载路径会比初加载路径更具代表性。基于上述原因，在后续计算中，还增加了一个变量，以区分用于显式计算的应力状态是取自初加载路径以及再加载路径。

使用的亚塑性模型源于Tamagini et al.[25]提供的编译于ABAQUS 的UMAT。使用的材料参数来源于Wichtmann et al.[26]对卡尔斯鲁厄砂的总结(见表3)。本研究保留了图 5 中的基本模型条件，并再次考虑中密砂和密砂，其相对密度分别为 0.58 和 0.89 。

用于描述循环累积行为的参数b1与b2根据其相对密度取自表2，几何及荷载条件取自图4(直径D=7.5m，桩长L=40m)。摩尔库伦理想弹塑性模型所用参数归纳于表4。在使用摩尔库伦理想弹塑性模型时，土的强度参数c与𝜑进行校准，使其在静三轴路径下得到相同的破坏应力。得到与的数值后，继续假定桩土间的摩擦系数为𝜇=2/3tan 𝜑。土的刚度参数𝜅 与 𝜆经过调整后，使得当考虑H=15MN时其桩端水平位移与使用亚塑性本构时相同(见图9)。如此选择材料参数便于比较使用不同本构模型时大直径单桩的循环行为。如图9所示，在小荷载的情况下，系统响应略有不同，亚塑性模型所得到的系统刚度略大。

表 3: 带粒间应变张量亚塑性模型所用模型参数 (取自Wichtmann et al.[26])

表 4: 摩尔库伦理想弹塑性模型参数

图 9: 带粒间应变张量亚塑性模型及摩尔库伦理想弹塑性模型情况下单桩 D = 7.5 m/L = 40 m荷载-位移曲线的比较

3.3 加载应力路径影响

为了说明应力路径对循环行为的影响，使用摩尔库伦理想塑性模型研究了大直径单桩在循环荷载下的行为。用于计算特征应力比Xc(见式6及式8)的应力状态分别取自初加载路径及再加载路径。

对于中密砂的情况，特征应力比Xc的分布情况如图10所示。其中虽可看出些许差别，但桩端附近的被动土压力区的分布却较为相似，因此可以预计，是否考虑再加载路径可能对结果影响不会太大。

(a) 应力状态取自初加载路径

(b) 应力状态取自再加载路径

图 10: 使用摩尔库伦理想弹塑性模型中密砂的X_c 分布图

中密砂与密度砂的大直径单桩挠度曲线归纳于图 11，图 13 则总结了桩端水平位移随荷载循环次数的变化情况。对比可知，考虑更具有代表性的应力路径，即再加载路径所得到的循环位移累积略小。对于中密砂，若从初加载应力路径读取应力状态时，桩端水平位移增加了 2.33 倍。若从再加载路径读取应力状态，则增加系数为 2.07。对于密砂系数则增加系数分别为 1.97 和 1.78。由此表明，读取应力状态的加载路径对结果有重大影响并需予以考虑。因此在后续应用带粒间应变张量亚塑性模型时(区分初加载路径及再加载路径)，特征应力比Xc均由读取再加载路径的应力状态计算而来。

(a) 中密砂

(b) 密砂

图 11: 使用摩尔库伦本构模型（考虑初始加载应力路径及再加载应力路径）的桩身挠曲曲线

3.4 亚塑性模型结果

图12 展示了使用摩尔库伦及亚塑性本构模型的计算结果，用以展示本构模型对于大直径单桩循环行为的影响。在计算中，均读取再加载路径的应力状态用以计算循环变形。结果清楚地表明，采用更复杂的材料定律并不会明显改善结果。在中密砂中，摩尔库伦模型所预测的累积位移略大于亚塑性模型，而在密砂中，得到的循环位移增加几乎相同。

图13总结了桩端的水平位移在使用摩尔库伦及亚塑性模型的结果，同时也佐证了CSAM可兼容于任意本构模型的观点。若在初次加载后的系统响应一致时，CSAM在使用不同本构模型时可得到相同的结果。此外，研究结果表明，使用显示计算方式时，再加载路径应作为具有代表性的应力状态予以考虑。

(a) 中密砂

(b) 密砂

图 12: 使用摩尔库伦本构模型及亚塑性模型（考虑再加载应力路径）的桩身挠曲曲线

图 13: 使用摩尔库伦模型(MC)及亚塑性模型(Hypo)的桩端水平位移比较

4 讨论

对于第3节中研究的大直径单桩基础，应用新方法CSAM与SDM得到的结果差别甚小。然而该结论仅适用于大直径单桩基础，不能加以推广。SDM并不适用于循环变形在竖直方向，亦即重力方向上的基础。竖直方向上的非循环荷载(如重力)亦会因刚度的折减造成额外的形变，进而导致高估循环累积形变。

例如，图 14 显示了对于垂直加载条形基础的 SDM 和 CSAM 计算结果。基础尺寸及荷载条件均取自Helm et al.[27]的离心机试验(亦参见Wichtmann et al. [28])，测试结果也如图14所示。尽管本文中砂土的材料参数并不适用于试验中的土体条件，仍适用表3、表4中中密砂的参数。

显然，CSAM 预测的累积沉降量明显小于 SDM。首次加载后的沉降与实验值基本相同(2.6cm)。然而，在经过 10,000 次循环后，CSAM 预测的沉降量为 4.6 cm，而 SDM 预测为 7.1 cm。在离心机试验中，首次加载后的沉降为 2.4 cm，而在 10,000 次循环后，测量得到的沉降为 5.0 cm。虽然这里没有打算对离心机试验进行精确的数值反算，但比较结果表明，在这种情况下，CSAM 的预测结果比 SDM 的预测结果更加真实。

图 14: 循环垂直荷载条形基础的 CSAM 和 SDM 预测比较 (参见[27] [28])

5 总结

根据 Achmus et al.提出的刚度折减法（SDM）[5] 的基本概念，提出了一种新的数值显式方法称为循环应变累积法 (CSAM) ，用于计算循环加载地基的循环行为。SDM 与 CSAM 的本质区别在于数值计算过程。在 SDM 中，循环变形是通过折减土体弹性刚度 "间接 "产生的，而在 CSAM 中，循环变形是通过对系统中的土体施加应变而 "直接 "产生的。只因这一细小修改，SDM的弱点被克服，适用CSAM可以应用更先进的材料定律，更精确地模拟土壤行为，并能更真实地考虑系统中的循环应力路径，包括考虑再加载应力路径作为计算循环变形的基础。此外，CSAM 保持了 SDM 在简便实用性方面的优势，甚至在计算上更为高效，因为在计算过程的循环计算阶段，只需进行一次应变逐步增加的计算。而在 SDM 中，每个加载数的循环变形都需要单独进行新的计算。

从本文介绍的大直径单桩结果中，可以得出以下主要结论：

· 对于所考虑的大直径单桩系统，CSAM 预测的挠度与 SDM 相似。由于已经证明，SDM可用于预测大直径单桩系统的循环行为([5][6][7][8][9])，故而这一结论也适用于 CSAM。

· 在计算循环位移时，以再加载应力路径为应力状态基础的计算所得的循环位移更小，故而应在计算时以再加载应力路径为应力状态基础，而非以初加载应力路径。

· 使用简单的摩尔库伦本构模型与复杂的亚塑性模型的计算结果仅有微小差别，故而本构模型的选择不会对循环计算结果造成很大影响。

新开发的 CSAM 不仅能研究单桩的循环行为，还能研究其他地基结构（如重力地基）的循环行为，这些结构通过垂直循环应力将循环荷载传递到地基土。而SDM并不适用于这类基础，因刚度折减会导致垂直方向作用的初始（静态）应力引起变形增大。此外，其他影响循环应变累积的应力路径（如循环动压缩路径）可以通过添加额外的循环应变轻松纳入 CSAM。SDM 和 CSAM 用于预测条形基础在循环垂直荷载作用下的沉降。数值结果表明与 SDM 相比，CSAM 得出的结果更真实。

应该指出的是，CSAM 和 SDM 都是简便的显式模型，旨在估算岩土系统在循环荷载作用下变形的增加量。土工系统在循环荷载作用下的变形量。这些模型的前提条件是排水加载条件和不变的循环荷载强度，故而不适合某些系统和荷载条件。尽管存在这些局限性，但CSAM 仍为一种非常有前途的新数值方法，可用于计算地基的循环变形。