清华笔记：计算共形几何讲义 （13）Koebe 迭代收敛性

顾险峰 纽约州立大学石溪分校

计算机与应用数学系 终身教授

图1. 亏格为0、带有多个边界的曲面到平面圆域（Circle Domain）的共形映射。

这节课我们讲解亏格为零、带有多个边界曲面的共形模（conformal module）。如图1所示，带有多个洞的人脸曲面可以保角的映射到带有圆洞的平面圆盘（circle domain）上。这种映射彼此相差一个莫比乌斯变换。

图2. Koebe迭代。

如图2所示，多联通区域到圆域（circle domain）的共形映射可以用Koebe迭代方法计算。假设多联通区域为，其边界为

,

这里为外边界，其他为内边界。在第步骤，我们将所有内边界填充，只留下，这里指标代表模再加上1，得到，然后计算共形映射：，这里是标准环带，，为标准同心圆。在第步骤，我们将的内圆填充，将打开，然后计算，将映成内圆。这时，原来的内圆不再是标准圆形。如此反复，所有内边界形状越来越接近圆形；以至无穷，所有内边界都收敛成标准圆形。

Koebe迭代算法优美和谐，目前为止难以被其它方法所取代。但是其收敛性的证明深奥而繁难，角标系统相对复杂。

给定圆周，关于圆周反射定义为

。

我没说两个平面区域关于圆周对称，如果。如果不是圆周，区域和曲线同时包含在一个平面区域中，和定义在上的共形映射，使得成为标准圆周，和关于对称，这时我们依然说关于曲线对称，并记成

。

假设全纯函数定义在上半平面上，同时 F 在实数轴上取值为实数，那么函数可以被延拓成定义在整个复平面上，

。

因为上半平面和单位圆盘共形等价，因此如果全纯函数 F 定义在单位圆内部，并且单位圆的取值在单位圆上，那么应用Schwartz 反射， F 可以被延拓到单位圆外部。

图3. 共形变换诱导的形变。

引理：假设A是一个拓扑环带，具有共形模，内、外边界分别为Jordan曲线，那么

并且

，

这里是曲线所围绕的面积。

证明：令全纯函数将标准环带 映到拓扑环带A，

那么，

,

,

因此，我们得到

。

直径被更大集 合的直径所界定，这里。这些集 合的直径被边界长度的一半所界定。于是我们有

由Schwartz引理，我们得到

等价的

,

两边对进行积分，即得第二个公式。证明完毕。

图4. Koebe's 迭代图解。

我们令，包含无穷远点，，其在复平面上的补集为，其边界为。

存在双全纯函数，，将多联通区域映到圆域。圆域的补集为标准圆盘。同时在无穷远点附件，全纯函数具有归一化的形式，。

应用黎曼映照，，将区域映成单位圆，同时，。这样。如此反复，在第步， 构造黎曼映照，将映成单位圆；在点归一化，。我们规定记号如下：

构造双全纯映射：

,

和从圆域到的双全纯映射，

,

在无穷远点归一化，。

因为是标准单位圆，能够关于进行反射，其镜像记为。黎曼映照定义在上，区域

满足

。

映射在上没有定义，但是它将边界映成标准圆，根据对称性原则，可以被延拓，延拓后的将映成，并且

。

重复迭代过程，我们得到一个序列，满足对称关系：

。

同样，是标准圆，是关于的对称像，

,

这里，每个映射都需要用反射原则（reflection principle）来解析延拓。我们有对称关系：

。

同样，对于任意的，，我们定义区域，使得对称关系成立：

。

经过第一轮迭代，所有的区域都被定义。因为再度成为单位圆，我们定义为关于的反射图像。，但是其他的为新生成的区域。应用延拓后的黎曼映照，我们得到一系列的镜像区域：

,

同样，我们可以定义镜像区域：

                           ,

经过轮迭代，我们得到重镜像，满足对称关系：

。

图5. 圆域上的多重镜像反射。

考察映射，我们有

不依赖于角标。同样，所有的多重镜像

,

及其边界

。

圆域的n个边界都是圆，彼此相离。这些边界曲线都是多重镜像，也都彼此相离。

我们在w-平面上进行如下操作。我们将所有的同心放大，直至有两个圆相切，这时的圆记为，放大系数为。我们将关于进行多重反射，其镜像记为

。

令表示标准环带，其边界为

,

其共形模为

,

它的任意镜像都具有相同的共形模

。

这些标准环带在共形映射下的像也具有相同的共形模，我们记为

,

其边界为

。

我们的目的是估计全纯函数 ，圆域的 重镜像反射是

每个圆盘的边界为

，

这里的指标，满足任意相邻的一对脚标不等，同时 。我们选择一个足够大的圆周，包括所有的初始补集圆盘，对于一切属于初始圆域的点

，

根据柯西公式（Cauchy formula）

，

因为， 当时

,

对于余下的积分，因为  在所有的圆  之外，积分

。

对于任意复数，积分

,

我们得到

令距离常数

,

我们有，因为 ，。更进一步，我们定义

,

曲线在半径为的圆中，我们将选成这个圆的圆心，那么对于一切，

,

积分路径的长度是，这里，由（*）式我们得到

由引理，考虑以为边界的拓扑环带，我们得到估计

同时，

。

图6. 标号图解。

考察所有的圆，它们都在圆盘的内部，因为

因此所有这些圆都在之内，因此也都在之内。我们得到不等式：

,

同样的

,

考察环带，其边界为

,

共形模为

。

同理，考察的像，

。

所有圆都包含在内，因此

继续下去，我们得到

,

最后一项求和式的值等于所有圆盘的面积和乘以，我们记之为。至此，我们得到

。

同样的，在z平面上，我们得到估计

,

这里是所有曲线所围区域的面积之和。

如果所有的标准圆盘都包含在大圆之内。全纯函数  在区域上是单值的（univalent），根据Koebe 1/4定理，圆域的像包含，由此我们得到估计

。

综上所诉，我们得到最终的估计，当时：

至此，我们证明了Koebe迭代算法的收敛性，给出了收敛阶。