DC/DC转换器：针对各控制系统的传递函数共通化

前言

·        前言

传递函数

·        所谓传递函数－传递函数和导出的基本概念

·        所谓传递函数－基尔霍夫定律和阻抗

·        所谓传递函数－传递函数和导出的基本概念

前言

传递函数是指表示系统的输入和输出的关系性，输入和输出的转换函数。控制工程是指作为用评估传递函数系统的举动或稳定性的手段。当然，本网页的主题是电源的传递函数，电源设计计算出传递函数，可评估响应特性或稳定性。本文“传递函数篇”是以DC/DC转换器的传递函数的概念、导出的方法等有关话题展开。多少会谈及些复杂的数学公式，对理解传递函数非常有意义。

然而，虽然在这里计算出DC/DC转换器的传递函数这一主题，是通往“对各控制系统传递函数的通用化”课题的首要课题。

为了导出DC/DC转换器的传递函数，需要将开关工作周期的时间平均化，近似为线性工作。此外，导出的传递函数与降压、升压、升降压等电压转换的类型，电压模式或电流模式以及导通时间固定迟滞控制（也称为纹波控制、比较器控制等）等控制方法有所不同。大概是因此，各模式的方法不统一，结果总之处于烦杂的状况。

因此，考虑到这些多种多样的传递函数不能总结为统一方法， DC/DC转换器的传递函数的导出成为了“通用化”课题。

进行稍微具体的说明。下图从左至右分别为降压转换器的“电压模式控制”、“电流模式控制”、“导通时间固定迟滞控制”的 FRA（FrequencyResponse Analyzer：频率特性分析器）的测量波形。尝试如此排列并比较不同控制的特性，可以看出完全不同的部分和相似的部分。思考能否用共通的想法和方法，对这些传递函数的导出方法进行归纳，在通过共通的平台下把不同的特性函数化。

在这里，记住以下两点推进话题。

1. 传递函数的导出过程是以数学方法为基本传递函数导出过程中，使用状态平均法、行列等数学方法，从传递函数的正面相向。但是，最终做到不使用它们，而是通过形象化导出传递函数。

2.对于各控制方法采取统一的方法对于降压或升压、电压模式或电流模式等的不同，不采取不同的方法为前提。相同方法进行中，通过编入各模式的特征导出传递函数。

最终的目的是，理解虽然DC/DC转换器的控制模式不同但根本上是相同的。目标为捕捉每个共通部分和各模式的特征，导出函数原本的一般性和统一性较高的传递函数。

关键要点:

・无论开发者还是设计者理解传递函数都非常有意义。

・在这里传递函数导出的通用化作为课题。

・传递函数的导出过程以数学方法为基本，对于各控制方法采取统一的方法。

所谓传递函数－传递函数和导出的基本概念

本页进入主题。说明内容或术语等以理解电气、电子的基础为前提。如果有不明白内容或术语，返回头来学习也是重要的。能在此意义之上使用本文将不胜感激。

传递函数

那么，传递函数是指，如前一节中说明是“表示系统的输入和输出的关系性，输入转换为输出的函数”。从这里起如果符合思考的话可以说“通过黑匣子输入信号(v_in)被变换为输出信号(v_out)时的变换变量”。

作为通常的传递函数所示的重要因素的有增益和相位。增益表示传递路径的增幅率，相位表示传递时间的偏差。简化它们，并总结在图1中。

图 1

说起“增益和相位”，对从事模拟系统的人首先浮现在脑海中的大概是运算放大器的特性。正如所说，如果运算放大器作为黑匣子考虑，用传递函数可以表现运算放大器的增益和相位的特性。

关于DC/DC转换器，瞬态响应特性的评价中增益和相位的特性的测定被熟知。DC/DC转换器时，也认为是DC/DC转换器作为黑匣子表示增益和相位的传递函数。图1中虚线包围的电路，是DC/DC转换器时的内部为黑匣子的一个例子。

传递函数导出的基础概念

在以图1为基础计算传递函数时，传递函数有方便的特点。那就是传递函数可以分解，以它们的积来描述。具体例子如图2所示。

图 2

图2是指图1的DC/DC转换器的内部是黑匣子，红线包围的整体作为G_(S)，将每个模块分解为G_1(S)、G_2(S)、G_3(S)、G_4(S)后可以描述为如下的公式1-1。

公式 1-1

例如，G_1(S)是指误差放大器模块的传递函数，对于输入Δv_in输出Δv_c可以表示为Δv_c / Δv_in，各模块可以如下表示。

这里套用公式1-1

公式 1-2

得出公式1-2，可以看出公式1-1是正确。

也就是说，导出各模块的传递函数，通过取得它们的积可以计算出作为整体的传递函数。

关键要点:

・传递函数是指通过黑匣子输入信号(v_in)被变换为输出信号时候的变换变量。

・增益和相位通常是传递函数的重要的要素。

・传递函数可以分解，可以用它们的积来描述。

所谓传递函数－基尔霍夫定律和阻抗

以各模块计算具体的传递函数之前，在导出传递函数时，确认两个重要的定律。

一个是指基尔霍夫的电流定律。本定律是指“任意的节点中电流的和为0”。本定律必须要注意的是电流的流向。

另一个是指基尔霍夫的电压定律。本定律是指“任意的闭合电路中电压波动为0”。这两个定律如图3所示。

图3

为了导出传递函数而使用上面两个定律，但是有一件事必须要探讨。那就是如何表述阻抗。如下面的图4所示，电阻R、电容C、线圈L连接于DC电源V，各自的变动不同。电阻R两端的电压不随时间的推移变化。电容器的电压逐步上升，一定时间后达到电源的电压。线圈的电压立刻达到电源的电压，逐步下降。

图4

从图4的特性可以认为，以电容器和线圈以及电阻考虑时，电阻值（阻抗）可以作为时间（相位）的函数。这样，包括随时间变化的电阻，都可以表述为阻抗。可以说输入电压为步进响应时的电容器的阻抗随时间的推移变大。线圈与其相反。电路的场合，因为作为时间的倒数而使用角速度ω、可以表示为如图5所示。

图5

最后，解释出现复数的原因。电路中复数表示相位，是响应时间相关的参数。这种情况，表示电源的响应速度。电容器的情况为延迟后到达电源电压V，线圈与其相反，可以表示为如图5所示。

关键要点:

・基尔霍夫定律是为了导出传递函数的重要定律。

・因为需要表示阻抗，使用时间的倒数作为角速度ω。

・出现复数原因是电路中复数表示响应时间。

所谓传递函数－传递函数和导出的基本概念

传递函数的频率特性

这里通过“传递函数的频率特性”来考虑传递函数。和前项的“基尔霍夫定律和阻抗”中的解说有密切的关系所以希望合在一起阅读。

首先，请看图6。电阻和电容器组成简单的闭合电路。首先，尝试计算出本电路的传递函数。

为了让电路图容易形象化，将图6改画成图7。当然，作为电路是相同的。这样一来，能立刻明白ΔV_out是ΔV_in通过R和C的阻抗分割的。

形成公式ΔV_out = ΔV_in ×（C/（R+C)），表示阻抗。正如前项的“基尔霍夫定律和阻抗”说明的那样，虽然R的表示为R，然后尝试画波特图。波特图是指横轴为频率（⨍），纵轴为增益（Gain）和相位（Phase）的图表，需要计算按增益和相位。首先，从增益开始计算。接着，计算相位。

总结上述，如下面的图10所示。至此，可以让增益（Gain）和相位（Phase）的特性形象化。

图10

图11

前项“基尔霍夫定律和阻抗”中，讲述了电容器的阻抗表示为“1/jωC”，以达到理解传递函数的目的。请看图11。

图11是指图6的电路的步进响应特性。电容器电源波动的瞬间（与f = ∞等值），电容器的阻抗为0，ΔV_out=0。经过一定时间变为（与f=∞等值）ΔV_in相等。

接着，图形化如下。这是电容器步进响应针对阻抗“1/jωC”的示意图。

图12

图13中包括线圈的各元件的阻抗记述和ω=0以及ω=∞时的等价处理，而且，图14中表示频率特性。

关键要点:

・思考表示ΔV_in通过电容器和电阻分割的ΔV_out的传递函数的例子。

・电容器的阻抗表示“1/ jωC”形象化传递函数。

・以波特图（频率特性）为基本，恰当的理解增益和相位的基础概念的含义。

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