缘起“收敛性”——Maxwell方程与求解

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“收敛性”的问题是几乎所有CAEer工程师心中的痛，计算不收敛意味着你辛辛苦苦完成了模型建模，求解设置，提交仿真后，计算的“残差”却迟迟达不到要求的收敛门限，如图所示，迭代残差理想的收敛趋势如蓝色曲线所示，残差随着迭代的进行，稳定的逐渐变小，直至预设的收敛门限，表示计算的结果趋于稳定，持续的迭代计算并不会引起计算结果明显的变化，因而说明计算结果已经趋近“正确解”，计算结果准确可信。迭代残差不理想的收敛趋势如红色曲线所示，残差随着迭代的进行，发生剧烈跳动，始终无法下降至预设的收敛门限一下，这就说明，最后一次计算结果与上一次计算结果的差异性始终较大，计算结果随迭代的进行发生较大变化，计算结果无法逼近“正确解”，计算结果不可信。

两种收敛性状态对比（摘自Altair官方）

该系列文章的写作目的旨在从“宇宙大爆炸“（maxwell方程组诞生）说起，介绍“收敛性”问题产生的来源以及解决措施。专题将分为四篇文章来展开，系列文章的写作脉络如图所示：

写作脉络

1）Maxwell方程与求解：将简单概括一下maxwell方程组的诞生，解析求解所遇到的“困境”以及引入离散的思想给该问题求解带来的革命性影响；

2）矩量法及MLFMM：本文将以FEKO常用的矩量法（MOM）为例介绍基于场-源转换思想的maxwell方程的求解方法，然后针对MOM求解电大问题所遇到的计算速度慢，内存消耗大的问题，介绍了基于“多层快速多级子”的加速计算方法；

3）矩阵理论基础：通过“离散”之后，maxwell方程的求解问题最终都会变成“解方程组”，此时需要完全依赖“矩阵”的工具，本文将对矩阵理论的基础知识进行提纲挈领的介绍和重点知识的梳理，并从“矩阵”求解的角度介绍“收敛性”问题的由来；

4）收敛性提高：通过前三篇文章建立起的有关“收敛性”的理论体系，本文将针对多层快速多级子算法（MLFMM）计算过程中遇到的收敛性差的常见案例进行分析，介绍收敛性问题出现的常见场景，改善计算收敛性常用方法等。

1.maxwell方程的诞生

1758年，库仑通过实验得出了“库仑定律”，其最直观的物理现象规律就是“电荷的同性相斥，异性相吸”，同时也给出了“排斥力”或“吸引力”与电荷量大小之间的定量关系，从而引出了“电场”概念，即一个电荷对另一个电荷的力作用是通过该电荷在周围空间产生的“电场”来实现，电荷量越大，产生的电场就越强，对另一个电荷的作用就越强烈，这其实和“气场”是一样一样的，强大的人会在周围产生强大的气场，从而影响周围的人，能力越强，气场越强。

1820年，奥斯特发现了电流的磁效应，即运动的电荷(电流)可以在其周遭的空间产生磁场，其后数月，毕奥和萨伐尔以及安培给出了磁场与电流的定量关系，即毕奥-萨伐尔公式和“安培环路定理”。

1831年，法拉第通过实验发现了“磁生电”现象，即电磁感应定律：变化的磁场可以产生电流，其后天才物理学家麦克斯韦引入了“位移电流”的概念，说明变化的电场也可以产生磁场，即“电生磁”。

至此，电与磁的关系基本明朗：电荷产生电场，电荷的移动（电流）引起电场的变化，变化的电场又会产生磁场，变化的磁场又会产生电场……，如此循环往复，电场与磁场的互相激发，从而以电磁波的形式向无穷远处传播，就如同水波一样。

波的传播

然而以上所述均为定性的描述，任何一个学科想要走向成熟，数学工具是不可或缺的，麦克斯韦凭借着他坚实数学功底，定量的统一了电与磁，这就是著名的麦克斯韦方程。麦克斯韦方程组诞生为后续整个电磁大厦的建设奠定了最为重要的基础。

以上内容援引自之前转载的“长尾科技”的两篇介绍麦克斯韦方程的长文（积分形式，微分形式），感兴趣的可以了解了解。

最美的公式：你也能懂的麦克斯韦方程组（积分篇）

最美的公式：你也能懂的麦克斯韦方程组（微分篇）

2.解析求解的“困境”

前面说了，天才物理学家麦克斯韦在前人关于“电”和“磁”研究的基础上，凭借着过人的数学基础结合“位移电流”的引入，最终建立麦克斯韦方程组，实现了“电”与“磁”的大一统，奠定了电磁学大厦的地基。

好的，既然“电场”与“磁场”满足的方程已经得到了，下一步自然是要对麦克斯韦方程组进行求解，得到“电场”与“磁场”的空间分布，这才是最终目标。但是，这个方程好解吗？答案是否定的，主要的困难有两点：

1）方程问题：首先这个方程组中，电场E与磁场B是完全耦合在一起的，另外，方程即包含了空间作用算符“∇”，它表示场分布E和B随空间的变化，又包含了时间运算符“

”，它表示场分布E和B随时间的变化，这就意味着方程中不仅包含了“电场”与“磁场”的耦合，还包含“时间”和“空间”的耦合。（补充说明一下：“∇”为矢量场的空间作用算符，其与矢量E和B的运算主要为三种（梯度，散度与旋度），形象的解释可以参考B站大V“3Blue1Brown”的视频，链接如下）。

https://www.bilibili.com/video/BV19s41157Z4

当然电场“E”和磁场“B”的耦合，“时间”和“空间”的耦合问题都可以解决，电场和磁场的耦合可以通过联立方程（3）和（4），带入消元可以实现“E”和“B”的各自独立满足的方程。

这就是"数理方程"中需要重点解决的一类方程——波动方程，学过数理方程都应该依稀记得被其支配的恐惧。

2）边界问题：如果电场和磁场只是在自由空间，没有阻碍的，自由自在的传播，那么这个方程还是可以通过一定的数学努力进行求解的，但是，现实的世界永远不会这么岁月静好，实际的情况是，电磁场在传播的过程中会碰到高山，房屋，行人……等等各种各样的障碍，这些障碍都会导致电磁波的传播发生反射，折射，从而使得整个空间的电磁场分布全部发生改变，这一切的一切概括起来就是一个问题，即电磁场传播的空间边界太复杂。边界越复杂，求解就越困难，其实际就是，除了自由空间，半空间以及空间中有个球等少数几个非常简单的问题可以精确求解，绝大部分情况下，这个方程根本就没有一个解析解。

方程的复杂性会导致计算变的十分棘手，这一点很好理解，但是边界的复杂性给方程带来的麻烦可能大家可能很无感，然而，恰恰是边界的复杂性才是制约这类问题求解的最主要原因。

以体积计算为例吧，比如说给你一个正方体，然后让你计算一下它的体积，你肯定说我幼稚，体积V=a^3嘛，然后再给你一个球体，那也没有多复杂，球的体积V=4/3*pi*R^3。但是当我给你一个霍格沃兹魔法学校的城堡，让你帮我算一下它的体积时，你肯定说我变态。

霍格沃兹魔法学校城堡

你看，同样的是物理量“体积”的计算，一旦形状变的复杂起来，你就根本无法提供一个直接的计算公式进行求解。同样的，对于波动方程的求解，形状的复杂本质就是边界的复杂，无法提供的计算公式就是波动方程在这样复杂的边界条件下根本没有“解析解”。

3.离散——"退一步，海阔天空"

maxwell方程组是如此伟大，其完美的统一了“电”与“磁”，汇集了无数天才物理学家的智慧，代表了经典物理学发展的最巅峰。然而，当你辛辛苦苦学习完maxwell方程组，尝试着去利用这个公式求解实际电磁问题，大展拳脚的时候，却发现顶天了就只能“算个球”，此时的心理落差着实令人唏嘘。所以，怎么办呢…….

精确求解无法实现，那么我们可不可以退而求其次，找出一个近似解呢？霍格沃兹魔法学校的体积我们无法求解，但是乐高版的霍格沃兹魔法学校的体积我们还是可以计算的，所要做的先计算出每一个小积木块的体积，然后再对所有小积木的体积进行求和就可以了，这样就将一个复杂物体的求解问题转化成机械的重复的数数问题，虽然耗时，但是这种无脑重复性的工作可以交给计算机。同时近似解与精确解之间的误差可以通过减小积木体积，增多积木数量实现不断减小。