【流体力学微教材】水波动力学

作为水波动力学的研究对象，波浪运动常见于海洋、湖泊、水库等宽广水面上，其主要特征是水面做有规律的起伏运动（如图1和图2所示），水体质点则作周期性往复振荡。由于在运动过程中，水位和质点速度均是时间的函数，故波浪运动是一种非定常运动。

图1  波浪运动（重力波）

图2  波浪运动（重力推进波）

实验发现，任何波动必须具备下列三个条件：（1）必须有一个不受扰动的平衡态存在（介质）；（2）必须有一个破坏平衡的扰动力；(3)必须有一个重新建立平衡态的回复力。在波浪运动中，扰动力常有：风力、潮汐力、船行力、地震力等；回复力有：重力、表面张力、惯性力等。如图3所示，表征波浪运动的主要物理量有：波峰指波浪在静水面以上的部分；波顶指波峰的最高点；波谷指静水面以下的部分；波底指波谷的最底点；波高指波顶和波底之间的垂直距离h；波长指两相邻波顶之间的水平距离λ；波陡指波高与波长的比值；波浪中线定义为平分波高的水平线。实际上由于波峰比较尖突，波谷比较平坦，静水面至波峰的距离大于静水面至波谷的距离，因此波浪中线常位于静水面之上，其超出的高度称为超高。重复一个完整的波动过程所经历的时间称为波周期T。在波动过程中，波形向前移动的波称为推进波。在推进波中，波峰沿水平方向移动的速度称为波速，a=λ/T。把波高、波长、波陡、波速和波周期等称为波浪要素。

图3 波浪要素

如果水质点作以波高h为直径的圆周运动，平均速度为V_m=πh/T，其与波速的比值可表示为

一般，波高比波长要小得多，通常位于0.15～0.02之间。统计记载，海浪波高在1.3m以下的占45%，在4m以下的占80%，在.6.7m以上的占10%。根据航海记载，在1836年～1839年期间，在南美洲测得7.6m的波高；1894年，在大西洋遇到至少12m高的狂浪，在太平洋遇到20m的狂浪；1933年，在太平洋遇到35m高的波浪。一般而言，粘性对表面张力波的衰减作用较大，而对重力波的衰减作用较小，故重力波可以维持较长的时间。波浪在传播过程中，方向不变，但遇到障碍和进入浅水区情况就不同了。如果遇到实物波浪会反射，遇到浅水区波浪会折射。波浪在深度上的影响是按指数规律衰减的。在深水区一个5m高150m长的波浪，在水面下50m处只能引起直径60cm的运动，水质点速度由1.6m/s减小到0.2m/s。2～3m的波浪，在15m以下，几乎没有影响。

设有二维波浪运动，在水深不变的水面上传播。取x轴为波浪前进的方向，z轴垂直向上。平衡水面的高度为z=0，波浪行进的水面高度为η，如图4所示。

图4  二维波浪

    忽略波浪运动过程的粘性力，同时将z向的加速度忽略不计，压强服从静水压力分布。利用水平方向的运动方程和质量守恒方程，1747年法国科学家D‘Alembert（如图5所示）推导出著名的关于波浪方程。

其中，水面波速，H为水深。利用分离变量法，得到关于波高解为

其中，F和G为波形函数。该式说明，在波动传播中波形保持不变。

图5  法国力学家达朗贝尔

（Jean le Rond d'Alembert，1717年～1783年）

海洋中的波浪，类型繁多，形态各异，名称杂乱。产生波的扰动力有：太阳、月球、风暴、地震、风等；回复力有：Coriolis力、重力、表面张力等。在海洋波中，由风生的重力波是主要的，也称为风浪。（1）按成因和频率分类，有：表面张力波，频率小于10Hz；短周期重力波，频率位于1～10Hz；重力波，频率位于1/30～1Hz；长周期重力波，频率位于1/300～1/30Hz；长波1/8.64×10^-4～1/300Hz；惯性波和行星波，频率大于1/8.64×10^-4Hz。（2）按干扰力分类，有风波、潮汐波、船行波等。（3）按激发力分类，有自由波和强迫波。如静水中由石块激起的波为自由波。指干扰力撤消后的波，波的传播和演变只受水性质的制约。强迫波是指干扰力连续作用的波，强迫波的运行受干扰力和水性质的制约。潮汐波就是一种强迫波。（4）按质量输移分类，有输移波（潮汐波、洪水波等）和振动波。如果波浪在前进时平均意义上存在质量的输移（产生流量），称为输移波（如图6至图8所示）。否则，如果波浪前进时不产生流量（平均流量为零），称为振动波（如图9所示）。风浪是一种振动波，质点作循环运动，不产生流量。在振动波里，又根据波形是否相对于介质有水平方向的运动而分为推进波（Progressive wave）和立波（驻波，定波，Standing wave）。显然，波浪存在水平方向的运动是推进波；没有水平方向的运动是立波（水质点做垂直方向的振动）。波浪外形的运动和水质点的运动是不同的，如果波浪外形的运动和水质点的运动方向一致，称为纵向波（Longitudinal wave）。如果运动方向垂直，称为横向波（Transverse wave）。一般而言，海面波即不是纵波，也不是横波。水质点在一个垂直平面上作圆周运动或椭圆运动。

图6  输移波（潮汐波）

图7  退潮波（波速不同）

图8  涨潮波

图9  振动波

（5）按水深的大小分类，有深水波、浅水波和中水波（如图10和11所示）。设水深为H，波长为λ，则H/λ就是相对于波浪而言的相对水深。河床底部对波浪运动有无影响视相对水深的大小。研究表明：当H/λ>1/2时，底部对波浪的影响可忽略不计，称为深水。如用更全的波速a公式分析

当H/λ>1/2时，波速为，与水深无关。如果用同样的方法确定浅水的界限，当H/λ<1/125时，波速为。

通常规定（如图12所示）：H/λ>1/2时（深水波）；（浅水波）；（中水波）。

图10  深水波

图11  浅水波

图12  在不同水深比下的质点运动轨迹形状

波浪理论的研究经历了从规则波到随机波的过程，规则波理论的特点是将波浪运动看作为确定的函数形式，通过流体力学分析研究各种情况下波浪的动力学性质和运动规律。规则波理论的研究从19世纪至今，经历了由线性理论向非线性理论及湍流理论发展的过程。主要包括：微幅波理论（如图13所示），斯托克斯（Stokes，如图14所示）高阶波理论、椭圆余弦波理论、孤立波理论等。其中，微幅波理论是由英国数学家与天文学家艾利（G.B.Airy，1801年～1892年，如图15所示）于1845年提出的，该理论是一种应用速度势函数研究波浪运动的线性理论，作为波浪理论中最基本和最重要的内容，在近海工程中得到最广泛的应用。1887年英国流体力学家斯托克斯提出了高阶波理论，在近海工程计算中，常用该理论计算最**高。因斯托克斯高阶波理论没有考虑水深变化的影响，故只适用于深水的情况。在浅水情况下，斯托克斯波理论误差较大，但如果采用能反映波动主要规律的椭圆余弦波理论，则可获得较高的精度。椭圆余弦波理论最早由荷兰数学家科特韦格（D.J.Korteweg，1848年～1941年，图16所示）于1895年提出的，科特韦格另一个在波浪理论中著名的成果是在1895年与他的学生荷兰数学家德弗里斯(G.de Vries,1866年～1934年，如图17所示)共同研究浅水中小振幅长波运动时，提出一种表征单向运动浅水波的偏微分方程（即著名的KdV方程），其解为簇集的孤立子（孤立波）。各种波浪理论的比较，因采用的判据不同，得出的结果也差别较大。在定性分析方面，目前只能确定椭圆余弦波一般用于浅水区，孤立波一般适用于近岸浅水区且周期波的波峰能量占全波能量的90%以上的情况，微幅波一般适用于深水区，而对于有限水深区，情况则较为复杂，多种波浪理论的适用范围在此交叉，需要依照实际工况进行分析才能选取合适的波浪理论。

图13 微幅波

图14  英国力学家与数学家斯托克斯

(George Gabriel Stokes，1819～1903年)

图15  英国数学家与天文学家艾利

（George Biddell Airy，1801年～1892年)

图16  荷兰数学家科特韦格

（D.J. Korteweg，1848年～1941年)

图17  荷兰数学家德弗里斯

（G.de Vries,1866年～1934年)

（1）深水推进波（圆余摆线理论）

对于有限振幅的深水推进波，常用的近似理论是1802年由德国物理学家盖司特耐（F. Gerstner,1756年～1832年，如图18所示）提出的圆余摆线理论。以二维深水波为例说明之。在分析中假定：水体是理想不可压缩液体，不考虑粘性的影响；水深无限大，波浪运动不受海底的影响；水质点在垂直平面上，作等速圆周运动，圆心位于质点静止时的位置之上一定距离；静止时位于同一水平面上的水质点，波动时形成的曲面为波动面，同一波动面上的水质点，具有相等的圆周运动半径r，在水面处r=h/2；而在垂直方向，自水面向下r值急剧减小；水质点作圆周运动时，径向线与向上垂线的夹角为相位角θ，在同一瞬时，任一波动面上，相位角顺波浪行进方向随距离的增加而减小；在同一瞬时，圆心位于同一垂线上的各水质点的相位角相等。如图19和图20所示。

图18  德国物理学家盖司特耐

（F. Gerstner,1756年～1832年）

图19  不同水深圆余摆线波面形状

图20  不同水深等相位圆余摆线波面形状

（2）浅水推进波（椭圆余摆线理论）

考虑到深水推进波特征受到水深的影响较大，1871年法国科学家布辛尼斯克（J.V. Boussinesq，如图21所示）提出了椭圆余摆线理论。椭圆余摆线理论的假设、推导过程与圆余摆线理论完全类似，其主要不同之处在于：水质点作椭圆运动，椭圆的长轴为水平轴（波传播方向），椭圆的短轴为垂直轴，椭圆的长轴和短轴沿垂直方向减小。水质点在椭圆轨迹上不再作等速运动，但其相速度仍为等速。如图22所示，与圆余摆线相比，椭圆余摆线的水面波峰更尖，波谷更坦。图23给出不同水深下水面形状曲线。

图21  法国科学家布辛尼斯克

(Joseph Valentin Boussinesq，1842～1929年)图22  椭圆余摆线水面形状

图23  不同水深等相位椭圆余摆线水面形状