第1章 正交各向异性材料力学

本章是后续章节的基础，介绍了关于复合材料的一些基本的力学概念，包括坐标转换、本构方程等。正交各向异性材料的变形和应力采用连续介质力学来描述。本章1.2节到1.9节介绍了一些基本方程。张量操作在1.10节中介绍，后续章节中将会用到。在单层板坐标系、层压板坐标系及其他坐标系中表示应力、应变和刚度时将会用到坐标转换，这部分内容在本章1.10节到1.11节中介绍。本章内容将在后续章节中多次应用，因此即使是熟练掌握连续介质力学的读者通常也会根据需要重新温习一下这些内容。

1.1 单层板坐标系

单层的纤维增强复合材料薄板表现为正交各向异性材料的力学特性。也就是，该材料有3个相互垂直的对称面。三个对称面的交线为材料的3个轴向，包括纤维方向（x´₁），厚度方向（x´₃）以及垂直于前两个方向的第三个方向x´₂ = x´₃×x´₁（向量叉乘）。

1.2 位移

在力的作用下，物体内的每一个点都可能像一个刚体一样平移和转动到新的位置。图1.1所示的物体内任意点P的位移u_i定义为由3个分量组成的一个向量，在笛卡尔（直角）坐标系下表示为u_i = (u₁, u₂, u₃)。

图1.1 位移分量符号

位移的另一种表示方法是u_i = (u, v, w)。位移是一个向量或一阶张量，如式1.1所示。

式中黑体字（例如u）是用张量符合表示的一个张量，在本例中是一个向量（或一阶张量）。在本书中，所有张量都用黑体字（例如σ），但是它们的元素不用黑体字（例如σ_ij）。张量的阶数（即一阶、二阶、四阶等）必须根据上下文来确定，或者像式1.1中那样，通过观察与索引符号相同的下标的个数来判断张量的阶数（例如u_i下标个数为1，因此u或u_i为一阶张量）。

1.3 应变

对于几何非线性分析，拉格朗日应变张量的元素为

式中

如果位移梯度非常小，u_i的偏导数项与线性（一阶）导数项相比可以忽略时，（无穷小的）应变张量ε_ij可表示为

再次说明，黑体字表示张量，它的阶数根据上下文确定。例如，ε是一维应变，ε是应变的二阶张量。索引符号（例如ε_ij）会经常用到，表示标量、向量、二阶等变量的张量字母根据上下文也很容易理解。

根据式1.4的定义，应变是二阶对称张量（即ε_ij = ε_ji）。应变的展开形式如下：

式中，ϵ_α（α=1，...，6）在1.5节中定义。应变的法向分量（i = j，即正应变代）表单位长度的长度变化（图1.2）。应变的剪切分量（i ≠ j，即剪应变）代表初始直角变化的一半（图1.3）。工程剪应变

经常替代张量剪应变，因为剪切模量G在材料力学中的定义为

作为二阶的应变张量可以表示为一个矩阵：

式中，符号[ ]表示矩阵。

图1.2 正应变

图1.3 工程剪应变

1.4 应力

平面上一点的应力向量就是作用在平面上该点的单位面积的力。可以用名为应力张量的二阶张量来完整地描述一个点的应力状态。应力张量可以表示为如图1.4所示的在三个相互垂直的平面内与直角坐标系各轴向相同的应力分量。应力的张量符号为σ_ij（i, j= 1, 2, 3），其中第一个下标表示该应力分量所在平面的法向，第二个下标表示该应力分量的方向。拉伸正应力（i = j）的定义为正值，即应力分量所在平面的法向和应力分量的方向同时为正或同时为负时，该应力分量为正值。图1.4中，所有应力分量均为正。图1.4中微元的力和力矩平衡的条件是应力张量对称（即σ_ij = σ_ji）。作为二阶张量的应力张量可以用一个矩阵表示。

图1.4 应力分量

1.5 简化符号

由于应力是对称的，可以适用Voigt简化符号来书写，即

简化规则定义如下

根据式1.9的简化规则，得到式1.7表示的应力矩阵形式，对于式1.6所示的应变矩阵也是由此规则得到。注意，应力的6个分量σ_α（α = 1，..，6）可以排成一列数组，用{ }表示，如式1.10所示，但是{σ}并不是一个向量，只是为了方便地排列这6个独立的分量而采用这种数组的形式来表示一个对称的二阶张量。

1.5.1 简化符号转换

不同有限元软件可能使用不同的简化符号，如表1.1所示。

表1.1 几种有限元软件使用的简化符号汇总

例如，将应力或应变从标准符号转换为Abaqus的符号，可以用下面的转换矩阵来实现

式中，下标( )_A表示使用Abaqus符号表示的量。同时要注意{ }表示一列数组，本例中有6个元素；[ ]表示一个矩阵，本例中是一个6×6的转换矩阵，如下

刚度矩阵转换如下

对于LS-DYNA和ANSYS，转换矩阵如下

1.6 平衡和虚功

用张量符号表示的物体内各点的3个平衡方程如下

式中，f_i是单位体积的体力，

当体力可以忽略时，平衡方程在层压板坐标系x-y-z下的展开形式为

虚功原理可以替代平衡方程。由于虚功原理使用积分表达形式，因此对于有限元公式，虚功原理比式1.14所示的平衡方程更方便。虚功原理如下

式中，t_i是作用在表面S上的单位面积的表面力，负号表示该部分的虚功为外力（t_i，f_i）在物体上所做。力和位移使用相同的符号约定，也就是，当一个分量指向对应的坐标轴的正向时，该分量为正。式1.16中的第一项是由内应力做的虚功，它的正负遵守相同的符号约定。

例1.1一根横截面积为A，长为L，模量为E，密度为ρ的长杆，上端悬挂，下端自由垂下。以上端点为x轴的原点，x轴的正方向沿长杆竖直向下。在自身重力的作用下，计算长杆的位移u(x)。

解1.1设二次位移方程如下

根据上端点的边界条件可得

由于非零应变只有ϵ_x，而且没有表面力，因此虚功原理可以简化。根据胡克定律

根据假设的位移可知

代入可得

积分并对δC₁和δC₂合并同类项可得

由于δC₁和δC₂是任意（虚的）值，因此可以得到含有两个未知数的两个方程，即上式括号中的项为零。求解这两个方程可得

代入u(x)可得

以上计算结果与材料力学的精确解一致。

1.7 边界条件

1.7.1 面力边界条件

固体力学问题的求解要求定义边界条件。边界条件可以是位移、应力或两者的组合。对于任意表面上的任意一点，面力T_i是一个向量，由作用在表面上该点的三个应力分量组成。如图1.4所示，面力向量由一个正应力σ_nn和两个剪应力σ_nt和σ_ns组成。根据柯西定律，面力向量可以写为

式中，n_j是该点所在平面的单位法向量。对于垂直于x₁轴的平面n_j = (1,0,0)，面力的分量为T₁=σ₁₁，T₂=σ₁₂，T₃=σ₁₃。

1.7.2 自由表面边界条件

表面无应力的条件等同于面力的所有分量为零，即T_n = σ_nn = 0，T_t = σ_nt = 0，T_s = σ_ns = 0。另外，面力的某些分量不为零，而其他分量为零也是可以的。例如，纯压力作用时，表面有非零的法向应力，而剪应力都为零。

1.8 连续性条件

1.8.1 面力连续性

平衡（作用和反作用力）要求面力分量T_i必须穿过任何表面而连续。从算术上将，可以描述为

根据式1.17，

由于

因此

对于每个应力分量，如图1.5所示，

因此作用在一个表面上的正应力和剪应力在穿过该表面时必须连续。对于其他三个应力分量则没有连续性要求。也就是，

是可以的。两个正应力和一个剪应力不连续是非常普遍的，因为在穿过层板边界时材料特性不连续。

图1.5 界面上面力连续

1.8.2 位移连续性

关于位移的特定条件在连续体内沿着任何表面都必须要满足。考虑图1.6所示的圆管在外压力作用下屈曲的例子。在A-A线两侧，与材料相关的位移必须相同，即

在连续体内每一个点上都要满足连续性条件。然而，在材料开裂或滑移的区域或阶段不要求连续性。如图1.6的例子所示，斜率

的连续性必须要满足，此处w为径向位移。

图1.6 外压作用下的圆管屈曲

1.9 协调性

应变位移方程式1.5中有6个等式，但只有3个未知位移u_i。因此，用这些等式的积分去确定未知位移时，得到的解不唯一，除非应变ε_ij满足特定条件。当ε_ij为任意值时可能导致材料的不连续，包括空缺和/或重叠区域。

位移有唯一的必要条件是协调性条件。虽然有这6个等式，但在此处并没有使用，因为本书中使用的位移法不需要这些等式。也就是，在求解问题过程中，位移u_i的形式通常假设为先验的（已知量）。然后根据式1.5计算应变，使用式1.46计算应力。最后，使用虚功原理（式1.16）确保平衡。

1.10 坐标转换

点P在主坐标系（带符号´）的坐标可以由其在次坐标系的坐标计算而得。根据图1.7，点P的坐标为

或

或用矩阵符号

式中，a_ij为主坐标系单位向量e´_i在次坐标系单位向量e_j上的分量，按行排列为

图1.7 坐标转换

如果图1.7中，lamina坐标系是主坐标系，laminate坐标系是次坐标系，则式1.19表示从laminate坐标系向lamina坐标系的向量转换。逆转换可以使用转置矩阵

例1.2复合材料单层板的纤维方向。通过计算lamina坐标系的方向余弦的方法构建坐标转换矩阵[a]，即计算lamina坐标系（x´_i）的单位向量在laminate坐标系（x_j）的分量。

解1.2由图1.7和式1.19得

例1.3纤维增强复合材料管沿对称面切开，如图1.8所示，环向为1方向，径向为3方向，2方向垂直于1-3平面向下，在1-2-3坐标系下的刚度值（E₁、E₂等）的公式已知。然而，当使用广义平面应变单元（Abaqus的CAX4单元）对该材料的截面进行分析时，将在结构X-Y-Z坐标系中建模。因此，需要提供结构坐标系中的刚度值，例如E_x、E_y等。请构建图1.8中从单层板坐标系（1-2-3）到结构坐标系（X-Y-Z）的转换矩阵[a]^T。

解1.3首先，使用式1.21的定义构建[a]。依次从1-2-3坐标系中一个单位向量构建矩阵[a]的一行。第i行包含第i个单位向量（i=1,2,3）在X-Y-Z坐标系的分量。

本例所要求的转换矩阵[a]^T就是上面所求矩阵[a]的转置矩阵。

图1.8轴对称分析的坐标转换

1.10.1 应力转换

一个二阶张量σ_pq可以看做是两个向量V_p和V_q的外积，如式1.23所示。

这两个向量都按照式1.19转换可得

因此，

或者，用矩阵的符号可表示为

例如，使用简化符号展开σ´₁₁（简化符号见表1.1第1列）

使用简化符号展开σ´₁₂可得

下面的算法用于计算6×6坐标转换矩阵[T]，因此式1.25用简化符号可以写为

如果α≤3，β≤3，并且i = j，p = q，那么

如果α≤3，β>3，并且i = j，p ≠ q，考虑交换p和q时会得到相同的β = 9 － p－ q，根据式1.9可得

如果α>3，则i ≠ j，但是我们只想得到一个应力，也就是σ_ij，而非σ_ji，因为它们在数值上相等。事实上，σ_α = σ_ij = σ_ji，其中α= 9 － i－ j。如果加上β≤3，则p=q，可得

当α>3，β>3，i ≠ j，p ≠ q时，可得

至此，完成了T_αβ的推导。使用式1.21的方式展开式1.30到式1.33，可得

用于生成式1.34所示的矩阵的MATLAB程序如下。

1.10.2 应变转换

应变ε_ij的张量分量的转换与应力分量转换的方法相同，如下

或

式中T_αβ由式1.34给出。然而，通常使用3个工程剪应变γ_xz，γ_yz，γ_xy代替张量剪应变ε_xz，ε_yz，ε_xy。工程应变（ϵ代替ε）由式1.5定义。它们可以由张量分量根据下面的关系而得到。

式中Reuter矩阵R如下

那么，由式1.36和式1.37可得工程应变坐标转换的结果，如下

式中

仅用于工程应变的转换，展开形式如下

1.11 本构方程转换

本构方程表示应力σ和应变ε的关系，使用张量应变（ε，而非ϵ）表示为

式中，使用了张量和索引符号。

为简单起见，考虑一个正交各向异性材料（见1.12.3节）。那么，可以将σ´₁₁和σ´₁₂写为以下形式

使用简化符号重写式1.43，可以看到使用简化符号后，所有的剪应变出现了两次，如下

张量剪应变前面的系数2由两个因素导致，一是张量C和ε（见式1.5，式1.55-1.56）的小对称，二是式1.43中C_ijkl与ε_kl的索引中最后两项的简化。因此，当使用简化符号书写时，任何小对称张量的双简化（二次简化）都需要使用Reuter矩阵（式1.38）进行修正。那么，式1.42可以写为

注意，式1.45中的Reuter矩阵可以与张量应变合并（见式1.37），因此式1.45可以写为工程应变的形式

为了得到层压板坐标系下的刚度矩阵[C]，将式1.29和式1.39代入式1.46可得

可以验证

因此

其中

并且

柔度矩阵式刚度矩阵的逆矩阵，但不是四阶张量C_ijkl的逆。因此，

考虑到式1.48和式1.50，柔度矩阵转换如下

1.12 三维本构方程

三维胡克定律有式1.42的形式。三维刚度张量C_ijkl是一个四阶张量，有81个元素。对于各向异性材料，只有21个元素是独立的。也就是，其余60个元素可以用其他21个元素表达。当除了σ₁₁不等于零，其他应力都等于零时，就是简化为材料力学中研究的一维（1D）的例子。只有在1D情况下，σ₁₁ = σ，ε₁₁ = ϵ，C₁₁₁₁= E，σ = Eϵ。本节中所有的物理量都是在lamina（单层板）坐标系下计算得到的，为了简便，本章中主符号(´)省略。

在式1.42中，下标i和j、k和l互换，可得

因为应力和应变张量是对称的，即σ_ij = σ_ji，ε_kl = ε_lk(原书错误kl)，由此可得

上式可以将独立元素的数量由81个减为36个，例如，C₁₂₁₃ = C₂₁₃₁等。那么，剩余的36个独立元素可以写为一个6×6的矩阵。

此外，弹性材料没有能量耗散。加载时储藏的弹性能在卸载时会恢复。因此，应力-应变曲线上任意点的弹性能独立于到达该点的路径。路径独立函数又叫做势函数。因此，该势就是应变能密度。用泰勒幂级数展开应变能密度如下

上式对ε_ij求偏导可得

式中，β_ij和α_ijkl为常数。因此，可以写出下式

式中，

是残余应力，

（原书有误klik）是对称刚度张量（见式1.56）。包含残余应力的式1.59是式1.55的广义形式。

使用简化符号，广义胡克定律可以写为

由上式可知，1D的情况也包含在内，当σ_α = 0且α≠1时，σ₁ = σ，ϵ₁ = ϵ，C₁₁ = E。

1.12.1 各向异性材料

式1.60表示完全各向异性材料，这种材料不同方向的性能不同。例如，如图9所示的材料体，当在P、T和Q方向上施加相同的力，材料体沿这三个方向的变形不同。描述各向异性材料所需的常数为21个。

图9 各向异性材料

刚度矩阵的逆矩阵是柔度矩阵[S] = [C]^-1。使用柔度矩阵，本构方程（3D胡克定律）可以写为

柔度矩阵[S]同样是对称矩阵，且有21个独立常数。对于1D的情况，当σ_p = 0（原书错误σ）且p≠1时，σ₁ = σ，ϵ₁ = ϵ，S₁₁ = 1/E。

1.12.2 单向材料

如果材料有一个对称面，则该材料称为单向材料，可以用13个常数描述该材料的特性。对称面两侧对称的两个点（图1.10中Z和-Z点）有相同的特性。

图10 单向材料

当材料关于1-2平面对称时，材料特性关于1-2平面的反射完全相同。对于该反射，a矩阵可以写为

式中（”）用于避免与单层板坐标系的符号（’）混淆，虽然本节中单层板坐标系没有用符号（’），但在本书其他章节使用符号（’）表示单层板坐标系。由式1.40可得

式1.63矩阵的作用是将[C]的第4、5行和4、5列乘以-1。对角元素C₄₄和C₅₅仍为正，因为这两个元素乘了两次-1。因此，

其他元素不变。因为单向材料的材料特性不会因为反射而改变，因此

因此，3D胡克定律简化为

用柔度矩阵可表示为

1.12.3 正交各向异性材料

正交各向异性材料有三个对称面，且对称面与坐标平面一致。如果有两个正交的对称面，那么通常也会有第三个正交的对称面。该类型的材料需要9个常数来描述其特性。

对称面可能是图1.11所示的笛卡尔坐标系的平面，也可能是其他坐标系（柱坐标、球坐标等）的平面。例如，树干具有柱坐标系下的正交各向异性，因为树干有年轮。然而，多数材料表现为笛卡尔正交各向异性。单向纤维增强复合材料可以认为是正交各向异性材料。一个对称面与纤维方向垂直，另外两个对称面与纤维方向平行且彼此正交。

图1.11 正交各向异性材料

另外，1.12.2节中讨论了关于1-2平面的反射，而关于1-3平面的反射不会影响正交各向异性材料的特性。因此，a矩阵可以写为

由式1.40可得矩阵为

这将使

因为材料关于1-3平面对称，这意味着

因此，3D胡克定律可以简化为

用柔度矩阵可表示为

注意，如果材料有两个对称面，则它会自动拥有三个对称面，因为使用第三个平面（2-3平面）进行上述处理，式1.68和式1.69不会发生任何变化。

1.12.4 横观各向同性材料

横观各向同性材料有一个对称轴。例如，当纤维在截面内随机分布时（如图1.12所示），单向纤维增强复合材料的纤维方向可以看做是对称轴。因此，任何包含纤维方向的平面都是对称面。横观各向同性材料可由5个常数描述。当对称轴是纤维方向（1方向）时，3D胡克定律可以简化为

用柔度矩阵可表示为

图1.12 放大200倍随机分布的E-glass纤维

注意，如果对称轴不是1方向，则方程会不同。用工程常数形式，考虑到2和3方向不易区分，横观各向同性材料可用下式表示各参数的关系。

另外，在2-3平面内任意两个相互垂直的方向都可以作为轴向。换言之，2-3平面是各向同性的。因此，在2-3平面内下式成立。

就像适用于各向同性材料一样（见问题1.14）。

1.12.5 各向同性材料

工业应用最多的材料是各向同性材料，例如铝、钢等。各向同性材料有无数个对称面，也就是材料特性跟方向无关。只需2个常数即可表示各向同性材料的弹性特性，这两个常数是杨氏模量E和泊松比v，但是为了方便，其他几组常数对也会被使用。然而，任何一个常数对都与其他常数对有关。例如，可以使用E和G描述各向同性材料，但是各向同性材料的剪切模量与E和v有如下关系

同样，拉梅常数也因其方便性而经常应用，拉梅常数如下

以上所述的任何常数都可以用体积弹性模量k代替，以组成其他的常数对。体积弹性模量k定义如下

液体静压力p和体积应变之间的关系如下

对于各向同性材料，3D胡克定律可以使用C₁₁和C₁₂表示如下

仅使用两个常数S₁₁和S₁₂，用柔度矩阵可表示为

不仅是各种常量成对相关，对于真实材料，这些常量的一些约束条件也是成对存在的。因为杨氏模量和剪切模量必须为正，因此泊松比必须。此外，因为体积弹性模量必须为正，因此。最后，各向同性材料的泊松比的约束条件是。

1.13 工程常数

注意，从本节开始符号( )′表示单层板坐标系。接下来的任务就是使用工程常数写出正交各向异性材料的刚度矩阵和柔度矩阵的元素。由于柔度矩阵是刚度矩阵的逆矩阵，因此很容易得到和使用柔度矩阵。在单层板坐标系下

柔度矩阵用于描述式1.69中正交各向异性材料的应变和应力的关系。式1.69中的第一项表示1方向（纤维方向）的应变，可以写为

下面进行逐步推导。注意，[S′]用于强调在单层板坐标系下进行。首先，在1方向施加一个拉应力，如图1.13所示，并使其他方向的应力为0，计算1方向的应变如下

图1.13 纵向加载

然后，仅在2方向施加一个应力，使用泊松比计算1方向的应变

现在，仅在3方向施加一个应力，同样使用泊松比计算1方向的应变

总应变ϵ´₁是式1.81、式1.82和式1.83之和，如下

对比式1.84和式1.80，可以得到

重复上述过程，计算ϵ´₂和ϵ´₃相关的方程，可以得到式1.69中柔度矩阵第2行和第3行的元素。

对于剪切项，使用式1.69中柔度矩阵的第4、5、6行。例如，根据图1.14可以写出

与式1.69的第6行对比可得

(a) 面内剪应力σ₆

_{(a) 层间剪应力σ4}

图1.14 剪切加载

对于正交各向异性材料，柔度矩阵[S′]在单层板坐标系下的定义为

式中，E_i, G_ij和v_ij分别是弹性模量、剪切模量和泊松比。另外，下标表示单层板的坐标，也就是

因为[S′]是对称的，下式必须满足

另外，根据泊松比的定义，横向应变由下式给出（原式错误）。

在ANSYS中，泊松比的定义与本书不同，v_xy, v_xz, v_yz用符号PRXY, PRXZ, PRYZ表示，而v_yx, v_zx, v_zy用符号NUXY, NUXZ, NUYZ表示。相反的，Abaqus使用与本书相同的标准符号，也就是NU12, NU13, NU23与式1.90的描述相同。

计算完S_ij后，可以使用式1.46或1.49得到应力的各分量。当应变很小时，这个方程揭示了有限位移和转动的真实行为。使用这个方程的代价十分昂贵，因为它需要18个状态变量：应变位移矩阵的12个元素，该矩阵在（u_ij和u_riu_rj）初始构建时计算得到；6个方向余弦[a]，用于解释有限转动。

然而，在式1.87中只有9个独立常数，因为矩阵[S′]必须是对称的，因此

刚度矩阵同样可以用工程常数计算得到，只需要对上式进行逆运算，所以

使用工程常数表示刚度矩阵的各元素如下

至此，我们知道对于正交各向异性材料，[C′]和[S′]都是有9个独立常数的6×6矩阵。如果材料是横观各向同性，则

1.13.1 工程常数的限制条件

由于式1.91中的柔度矩阵是对称的，所以对于工程常数有以下约束条件

由事实可知，对于弹性常数的另一约束条件是柔度矩阵和刚度矩阵对角线元素必须为正。因为所有的弹性常数必须为正（E₁, E₂, E₃, G₁₂, G₂₃, G₃₁>0），如果下面的两个条件都能满足，则式1.92中刚度矩阵对角线元素将都为正。第一个条件是

由此可以推出工程常数的约束条件如下

第二个条件是

这些约束条件可以用于检查实验数据。例如，在一个实验项目中，通过纵向加载（加载方向为纤维方向）测量E₁和v₁₂，通过横向拉伸（加载方向与纤维方向垂直）测量E₂和v₂₁。每个试样都贴有两个应变片，一个沿纵向，一个沿横向。为了证明试验过程是有效的，则E₁，E₂，v₁₂和v₂₁四个数据的值在实验误差允许范围内必须满足式1.93到式1.95。

例1.4 Sonti等人对拉挤成型的玻璃纤维增强复合材料进行了系列试验。沿纵轴进行了8次拉伸试验，得到的平均值为E₁=19.981GPa，v₁₂=0.274。横向试验8组数据的平均值为E₂=11.389GPa，v₁₂=0.192。这些数据符合弹性常数的约束吗？

解1.4首先，对i,j = 1,2求解式1.93的两边如下

横向结果比预期低23%。导致该结果的原因是E₂的测量值太低，或者是v₁₂的测量值比实际值高23%。无论如何，23%的差异都不能忽略，应该详细检查。

接着检查式1.94

最后，由于没有充足的数据，因此无法评估试验数据是否满足式1.95对弹性常数的限制条件。

1.14 从三维到平面应力方程

在正交各向异性材料的柔度方程（式1.69）中，设σ₃=0，则柔度矩阵中的第三行和第三列没有用到，即

因此，可以用3×3的柔度矩阵[S´](´为了格式统一)来表示上式中前两行和最后一行的方程，如下所示，其中γ = 2ϵ。

式1.96中的第3个方程如下所示，该方程很少使用。

式1.96中的第4、5个方程可以单独写为如下形式。

若由应变计算应力，则式1.97可以转换为{σ}=[Q´]{ϵ}，或

式1.100中，矩阵

为平面应力的减缩刚度矩阵。注意，减缩柔度矩阵[S′_3×3]中的元素与6×6柔度矩阵中的相应元素在数值上相同，而减缩刚度矩阵[Q´]的元素在数值上并不等于6×6刚度矩阵[C´]中的相应元素，因此改变了刚度矩阵的符号（矩阵中C´→Q´）。这是因为3×3矩阵的逆与6×6矩阵的逆相应元素的值不同。式1.99可以转换为如下形式。

式中和在数值上等于6×6刚度矩阵中的相应元素，因为式1.101中的2×2矩阵为对角阵。

例1.5证明，与板的面内伸长量aϵ1和bϵ2相比时，板厚度方向的变化tϵ3可以忽略。复合材料板的厚度t=0.635mm，尺寸a=279mm、b=203mm。取E1=19.981GPa，E2=11.389GPa，v12=0.274。

解1.5假设0.635mm厚的玻璃纤维增强聚酯板为横观各向同性，去E3=E2=11.389GPa，v13=v12=0.274，G31=G12。Sonti et al.[6]给出了8个扭转实验得到的G12的平均值为3.789GPa。对于缺少的实验数据，根据文献[1]中聚酯基体的材料参数，假设v23≈vm=0.3，G23≈Gm=0.385GPa。式1.91中的其余材料参数可以使用式1.93计算得到，如下。

由于横观各向同性，G13=G12=3.789GPa。现在，假设应力状态为

根据平面应力假设。使用式1.97可得

最终可得

由于横向（厚度方向）伸长非常小，在文献[1]中推导平板方程时将其忽略。

1.15 表观层压板特性

均衡对称层压板（有N个铺层）的刚度矩阵[C]由各单层板在层压板坐标系下的刚度矩阵乘以厚度比t_k/t再相加而得到，如下所示，其中，t是层压板的厚度，t_k是第k层的厚度。

注意，柔度矩阵即不能相加，也不能求均值。层压板的柔度矩阵由6×6刚度矩阵求逆得到，即

均衡层压板是指 θ与-θ铺层在堆叠方向上的总厚度相同。这类层压板有正交的刚度矩阵[C]和柔度矩阵[S]。用层压板的表观工程特性表示的柔度矩阵如下

因为柔度矩阵一定是对称的，所以柔度矩阵中的工程常数必须满足式1.93，其中i,j=x,y,z。因此，由层压板的柔度矩阵也可以计算层压板的表观工程特性参数，如下所示。

例1.6计算铺层为[0/90/±30]s的层压板的特性参数，其中tk=1.5mm，Ef=241GPa，vf=0.2，Em=3.12GPa，vm=0.38，纤维体积比Vf=0.6。下标f、m分别表示纤维、基体。

解1.6首先，根据周期微观结构的微观力学（式6.8）计算单层板的特性参数（单位为MPa）。

然后，使用式1.91计算单层板的柔度矩阵[S’]，使用式1.34计算旋转矩阵[T]，使用式1.53计算层压板坐标系下的单层板的柔度矩阵[S]，则在层压板坐标系下的单层板的刚度矩阵为[C]=[S]^-1。然后，使用式1.102计算层压板的刚度矩阵，对层压板刚度矩阵求逆得到层压板的柔度矩阵。最后，使用式1.105计算得到层压板的特性参数，如下所示。

练习题

问题1.1使用虚功原理（PVW）计算细长锥杆的二次位移方程u(x)，其中0<x<L，L为杆长。杆的一端固支，一端自由且加载轴向拉伸载荷F。杆的固支端x=0，截面积为A1；自由端x=L，截面积为A2，A1>A2，杆的截面积沿杆轴向线性变化。杆的材料为均质各向同性，弹性模量为E。

问题1.2使用虚功原理（PVW）计算细长圆截面锥形轴的二次转角方程θ(x)，其中0<x<L，L为轴的长度。轴的一端固支，一端自由且加载扭矩T。轴的固支端x=0，截面积为A1；自由端x=L，截面积为A2，A1>A2，轴的截面积沿长度方向线性变化。轴的材料为均质各向同性，剪切模量为G。

问题1.3构建一个关于(a) x-y平面、(b) x-z平面、(c) y-z平面连续三次反射的旋转矩阵[a]。得到的坐标系不满足右手定则。

问题1.4构建三个旋转矩阵[a]，分别绕(a) x轴、(b) y轴、(c) z轴的旋转角为θ=π。

问题1.5使用下面的矩阵[σ]和例1.2的矩阵[a]验证式1.29与式1.26得到的结果相同。

问题1.6编写一段计算机程序，评估使用工程特性参数表示的柔度矩阵和刚度矩阵。从一个文件输入数据，并将计算结果写入另一个文件。用你自己的例子验证程序。可以使用文献[1]的图1.3-1.4中的材料参数，并假设材料是横观各向同性的，如同1.12.4节。将所有工作整理成一份报告。

问题1.7编写一段计算机程序，通过绕z轴旋转θ（图1.7），将单层板坐标系下的刚度矩阵C’和柔度矩阵S’转换为另一坐标系下的刚度矩阵C和柔度矩阵S。从一个文件读入C’、S’、θ的数据，将计算结果C、S写入到另一个文件。用你自己的例子验证程序。可以使用文献[1]的图1.3-1.4中的材料参数，并假设材料是横观各向同性的，如同1.12.4节。将所有工作整理成一份报告。

问题1.8使用你选择的材料，验证式1.92的计算结果在数值上与[S]^-1不同。可以使用文献[1]的图1.3-1.4中的材料参数，并假设材料是横观各向同性的，如同1.12.4节。

问题1.9通过实验获得的碳/环氧单向预浸料（MR50碳纤维体积比为63%，基体为LTM25环氧树脂体）的数据如下所示。确定下列数据是否满足弹性常数约束条件。

问题1.10解释应力、应变的简化符号。

问题1.11什么是正交各向异性材料，需要用几个常数描述该材料？

问题1.12什么事横观各向同性材料，需要用几个常数描述该材料？

问题1.13使用问题1.4的三个旋转矩阵从数值上验证式1.48。

问题1.14使用式1.71和式1.91证明式1.73。

问题1.15证明如果一个材料有两个垂直的对称面，则它还有第三个对称面。使用1.12.3节的过程，将关于2-3平面的反射应用于式1.68。

问题1.16什么事平面应力假设？

问题1.17写一段程序评估对称均衡层压板的工程特性参数。所有铺层的材料相同。输入数据包括横观各向同性材料的所有工程常数、层数N、每层的厚度t_k和角度θ_k（k=1...N）。使用1.12.4、1.13和1.15节。