有限元工程应用方法-ANSYS单元刚度矩阵计算理论详解

仿真圈

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导读：对于结构有限元计算，有一个关键的步骤就是计算单元刚度矩阵，对于单元刚度矩阵目前的有限元都是采用数值积分方法进行计算。目前ANSYS Wb支持完全积分，缩减积分，增强应变和简化增强应变4种方法。

1、完全积分

低阶单元和高阶单元都支持完全积分计算，例如PLANE182,SOLID185和SOLID186。

图1 SOLID185单元控制面板

图2 SOLID186单元控制面板

图3 SOLID185和SOLID186完全积分点示意图

图4 SOLID187的积分点示意图

如图3给出了SOLID185和SOLID186完全积分点示意图，图4给出了SOLID187积分点的示意图。完全积分属于精确计算，

完全积分 (又名B-bar 方法, 选择缩减性积分) 用低一阶的积分方法对体积项积分，应力状态可分解为静水压力 (p) 和偏差应力 (s)两项 。

       （3-1）

上面的方程中,  是体积应变， 是偏差应变.   是体积模量,  是剪切模量。

应变通过下式和位移相关

     （3-2）

而计算 [B] 时,  对体积项和偏差项使用不同的积分阶数。

[Bv] 以一个积分点计算 (缩减积分)；另一方面,  [Bd] 以 2x2 积分点计算 (完全积分)。

[B] 的体积项和偏差项不是以同一积分阶数计算，只有体积项用缩减积分，这就是该方法称为选择缩减积分的原因。因为[B]在体积项上平均，因此也称为 B-bar 法。

2、缩减积分

如图5和6给出了SOLID185和SOLID186缩减积分的设置方法，SOLID185缩减积分，采用单点积分；SOLID186缩减积分采用8点积分。

图5 SOLID185单元控制面板

图6 SOLID185单元控制面板

一致缩减积分 (URI) 采用比数值精确积分所需要的阶数低一阶的积分公式，这和完全积分类似，但体积和偏差项都用缩减积分。不幸地是，偏差项的缩减积分引起零应变能的变形模式， 称为零能量或沙漏模式。这是不可控制的变形模式，会导致不符合实际的行为，如图5所示。

图5 沙漏

沙漏模式通常只是低阶URI单元中的问题。只要在每一个方向上有多于一个的单元,  高阶URI 单元的零能量模式就不会传播。

为了控制低阶单元中的沙漏模式，添加一个沙漏刚度。这提供了一个抵抗零能量模式的刚度。

除了沙漏刚度，用户还有其它方法防止沙漏:

-不要施加点载荷或单点约束，因为这些能激发沙漏模式；

-细化网格通常有利于防止沙漏模式传播；

-改为其它单元公式防止沙漏。

3、增强应变

增强应变公式 （又名不协调模式）假设应变给低阶四边形/六面体单元添加内部自由度。位移梯度张量用附加的 ‘增强’ 项修正,  因此得名 “增强应变”。该方法仅适用于低阶单元，采用完全积分算法，不会产生沙漏。如图3-6和3-7给出了SOLID185和PLANE182的增强应变设置方法。

图6 SOLID185增强应变设置方法

图7 SOLID182增强应变设置方法

接近矩形时单元表现最好，另一方面，梯形时表现不好， 这是增强应变技术的局限性。一个简单的解释是附加自由度增大了单元的形函数以允许弯曲， 另一项用来处理几乎不可压缩材料的体积锁定，因为它们导致网格中产生缝隙和重迭，所以也称为 “不协调模式”。

图8 增强应变与无增强应变单元变形对比图

增强应变有上述优点，但更耗费计算机时间。

4、简化增强应变

简化增强应变（也叫做附加位移形式，“气泡函数”）可以认为是增强应变的一个子集，也采用的是完全积分，适用于低阶的六面体或四边形单元，如图

图9 SOLID185简化增强应变设置方法

图10 PLANE182简化增强应变设置方法

以上是笔者关于ANSYS单元刚度矩阵计算理论详解，如有不当，欢迎批评指正。